高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2＋1＋2”壓軸滿分練（一）理（重點(diǎn)生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、“2＋1＋2”壓軸滿分練(一) 1．過拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線y＝－1上，若△ABC為正三角形，則其邊長(zhǎng)為(　　) A．11　　　　　　　　　　 B．12 C．13 D．14 解析：選B　由題意可知，焦點(diǎn)F(0,1)，易知過焦點(diǎn)F的直線的斜率存在且不為零，設(shè)為k(k≠0)，則該直線方程為y＝kx＋1(k≠0)，聯(lián)立方程得∴x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M(2k，2k2＋1)，|AB|＝＝＝4(1＋k2)，設(shè)C(m，－1)，連接MC，∵

2、△ABC為等邊三角形，∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，點(diǎn)C(m，－1)到直線y＝kx＋1的距離|MC|＝＝|AB|，∴＝×4(1＋k2)，∴＝2(1＋k2)，∴＝，∴k＝±，∴|AB|＝4(1＋k2)＝12. 2．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ＝，f ＝0，且f(x)在(0，π)上單調(diào)．下列說法正確的是(　　) A．ω＝ B．f ＝ C．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 解析：選C　由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝， 因?yàn)閒(x)在(0，π)上單調(diào)，所以＝≥π，得0<ω≤1. 因?yàn)閒 ＝，f ＝0，所以f(

3、x)在(0，π)上單調(diào)遞減，又0<φ<π，0<ω≤1， 所以解得 所以f(x)＝2sin.選項(xiàng)A顯然不正確． 因?yàn)閒 ＝2sin－×＋＝2sin＝，所以B不正確． 因?yàn)楫?dāng)－π≤x≤－時(shí)，0≤x＋≤，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，故C正確． 因?yàn)閒 ＝2sin＝2sin≠0，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心，故D不正確． 3．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，若函數(shù)y＝f(g(x))＋a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(其中x1

4、(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．作出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示， 令g(x)＝t，由f(t)＋a＝＋a＝0，得關(guān)于t的一元二次方程t2＋(a－1)t＋1－a＝0，又f(g(x))＋a＝0有三個(gè)根x1，x2，x3，且x10，得1－a<0或1－a>4.當(dāng)0

5、，g(x2)＝g(x3)＝t2，∴2g(x1)＋g(x2)＋g(x3)＝2t1＋2t2＝2(t1＋t2)＝2(1－a)． 令λ＝1－a，φ(t)＝t2＋(a－1)t＋1－a＝t2－λt＋λ， 由t1<0b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)∠F1MF2＝90°時(shí)，△F1MF2的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)已知A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)AF1，AF2，分別與橢圓交于點(diǎn)B，D，設(shè)直線BD的斜率

6、為k1，直線OA的斜率為k2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：k1·k2為定值． 解：(1)設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2， 由題意，得 ∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝1， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：易知直線AF1，AF2的斜率均不為0.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)， 當(dāng)直線AF1的斜率不存在時(shí)，不妨令A(yù)，則B，又F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， ∴直線AF2的方程為y＝－(x－1)，將其代入＋y2＝1，整理可得5x2－2x－7＝0， ∴x2＝，y2＝－，則D ， ∴直線BD的斜率k1＝＝， 直線OA的斜率k2＝－， ∴k1·k2＝×＝－.

7、當(dāng)直線AF2的斜率不存在時(shí)，同理可得k1·k2＝－. 當(dāng)直線AF1，AF2的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)A(x0，y0)，則x0y0≠0， 則直線AF1的方程為y＝(x＋1)， 聯(lián)立，得消去y可得， [(x0＋1)2＋2y]x2＋4yx＋2y－2(x0＋1)2＝0， 又＋y＝1，∴2y＝2－x， ∴(3＋2x0)x2＋2(2－x)x－3x－4x0＝0， ∴x1·x0＝， ∴x1＝， 則y1＝＝－， ∴B . 直線AF2的方程為y＝(x－1)， 同理可得D，， ∴直線BD的斜率 k1＝＝＝， ∵直線OA的斜率k2＝， ∴k1·k2＝·＝＝＝－. 綜上，k1·k2為定

8、值，且定值為－. 5.已知函數(shù)f(x)＝(x＋b)(ex－a)(b>0)的圖象在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線方程為(e－1)x＋ey＋e－1＝0. (1)求a，b； (2)若方程f(x)＝m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x10矛盾，故a＝1，b＝1. (2)證明：由(1)可知f(x)＝(x＋1)(ex－1)，f(0)＝0，f(－1)＝0， 設(shè)曲線y＝f(

9、x)在點(diǎn)(－1,0)處的切線方程為y＝h(x)， 則h(x)＝(x＋1)， 令F(x)＝f(x)－h(huán)(x)， 則F(x)＝(x＋1)(ex－1)－(x＋1)， F′(x)＝(x＋2)ex－， 當(dāng)x≤－2時(shí)，F(xiàn)′(x)＝(x＋2)ex－≤－<0， 當(dāng)x>－2時(shí)，設(shè)G(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－，則G′(x)＝(x＋3)ex>0， 故函數(shù)F′(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，又F′(－1)＝0， 所以當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0， 所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(－1，＋∞)上單調(diào)遞增， 故F(x

10、)≥F(－1)＝0，所以f(x)≥h(x)， 所以f(x1)≥h(x1)． 設(shè)h(x)＝m的根為x1′，則x1′＝－1＋， 又函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，且h(x1′)＝f(x1)≥h(x1)，所以x1′≤x1， 設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝t(x)，易得t(x)＝x， 令T(x)＝f(x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x，T′(x)＝(x＋2)ex－2， 當(dāng)x≤－2時(shí)，T′(x)＝(x＋2)ex－2≤－2<0， 當(dāng)x>－2時(shí)，設(shè)H(x)＝T′(x)＝(x＋2)ex－2，則H′(x)＝(x＋3)ex>0， 故函數(shù)T′(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，又T′(0)＝0， 所以當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，T′(x)<0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，T′(x)>0， 所以函數(shù)T(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以T(x)≥T(0)＝0，所以f(x)≥t(x)， 所以f(x2)≥t(x2)． 設(shè)t(x)＝m的根為x2′，則x2′＝m， 又函數(shù)t(x)單調(diào)遞增，且t(x2′)＝f(x2)≥t(x2)， 所以x2′≥x2. 又x1′≤x1， 所以x2－x1≤x2′－x1′＝m－＝1＋.