2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案【含解析】新人教A版必修4
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1、 2.3.2 & 2.3.3 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 [提出問題] 問題1:在平面內(nèi),規(guī)定e1,e2為基底,那么一個(gè)向量對e1,e2的分解是唯一的嗎? 提示:唯一. 問題2:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,任作一向量.根據(jù)平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)與A點(diǎn)的坐標(biāo)相同嗎? 提示:相同. 問題3:如果向量也用(x,y)表示,那么這種向量與實(shí)數(shù)對(x,y)之間是否一一對應(yīng)? 提示:一一對應(yīng). [導(dǎo)入新知] 1.平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互
2、相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,則(x,y)叫做a的坐標(biāo),記作a=(x,y),此式叫做向量的坐標(biāo)表示. 3.向量i,j,0的坐標(biāo)表示 i=(1,0),j=(0,1),0(0,0). [化解疑難] 辨析點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo) (1)當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的坐標(biāo). (2)書寫不同,如:a=(1,2),A(1,2). (3)給定一個(gè)向量,它的坐標(biāo)是唯一的;給定一對實(shí)數(shù),由于向量可以平
3、移,故以這對實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè). (4)兩個(gè)向量相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同. 即若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則a=b? 注意:相等向量的坐標(biāo)是相同的,但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [提出問題] 設(shè)a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 問題1:a,b的坐標(biāo)分別是什么? 提示:(x1,y1),(x2,y2). 問題2:試求3a和2a-b. 提示:3a=3(x1i+y1j)=3x1i+3y1j, 2a-b=(2x1-x2)i+(2y1-y2)j. 問題3:3a與2a-b的坐標(biāo)分別是什么? 提示:(3x
4、1,3y1),(2x1-x2,2y1-y2). 問題4:若把向量平移到,則和的坐標(biāo)相同嗎?的坐標(biāo)是C點(diǎn)的坐標(biāo)嗎? 提示:相同.的坐標(biāo)不是C點(diǎn)坐標(biāo). [導(dǎo)入新知] 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 文字 符號 加法 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2) 減法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2) 數(shù)乘向量 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo) 若a=(x,y),λ∈R,則λa=(λ
5、x,λy) 重要結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) 已知向量的起點(diǎn)A(x1,y1),終點(diǎn)B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1) [化解疑難] 向量坐標(biāo)的特點(diǎn) (1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān). (2)當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變. 平面向量的坐標(biāo)表示 [例1] 已知邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo). [解] 由題知B,D分別是30,120角的終邊與單位圓的交點(diǎn). 設(shè)B(x1,y1),
6、D(x2,y2). 由三角函數(shù)的定義,得 x1=cos 30=,y1=sin 30=, ∴B. x2=cos 120=-,y2=sin 120=, ∴D. ∴=,=. [類題通法] 求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法 (1)在求一個(gè)向量時(shí),可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo). (2)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo). [活學(xué)活用] 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=4,∠xOA=60. (1)求向量的坐標(biāo); (2)若B(,-1),求的坐標(biāo). 答案:(1)=(2,6) (2)=(,7)
7、 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [例2] (1)已知三點(diǎn)A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),則向量3+2=__________,-2=________. (2)已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐標(biāo). [解] (1)(11,13) (-7,-14) (2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3); a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7); 3a=3(-1,2)=(-3,6); 2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5) =(-2,4)+(9,-15) =(7,-11). [類題通法] 平面向量的坐標(biāo)
8、運(yùn)算技巧 在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來,再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算(直角坐標(biāo)運(yùn)算法則即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差,數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積). [活學(xué)活用] 1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于( ) A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a+b 答案:B 2.若向量=(2,3),=(4,7),則等于( ) A.(-2,-4) B.(3,4) C.(6,10) D.(-6,-10) 答案:A 由向量相等求坐標(biāo) [例3
9、] (1)若a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,則p=________,q=________. (2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐標(biāo). [解] (1)1 4 (2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以=3=3(1,8)=(3,24), =2=2(6,3)=(12,6). 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20
10、; =(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2, 所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18). [類題通法] 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 (1)坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等;對應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量. (2)應(yīng)用:利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件,可以建立相等關(guān)系,由此可求某些參數(shù)的值. [活學(xué)活用] 已知a=,B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c,求點(diǎn)A的坐標(biāo). 答案:A(8,-10) [典例] (12分)已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),
11、B(4,5),且=+t,試問:
(1)t為何值時(shí),P在x軸上?P在y軸上?P在第二象限?
(2)四邊形OABP可能為平行四邊形嗎?若可能,求出相應(yīng)的t值;若不可能,請說明理由.
[解題流程]
[規(guī)范解答]
由題可知=(1,2),=(3,3),
=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).(2分)
(1)若P在x軸上,
則有2+3t=0,t=-;(3分)
若P在y軸上,則有1+3t=0,t=-;(4分)
解得- 12、3-3t).(8分)
若四邊形OABP是平行四邊形,則有= ,(10分)
即方程組顯然無解.(11分)
∴四邊形OABP不可能是平行四邊形.(12分)
[名師批注]
由向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系可知,向量的坐標(biāo)就是P點(diǎn)坐標(biāo).正確求解的坐標(biāo)是后續(xù)解題的關(guān)鍵.
點(diǎn)在x軸上,只需縱坐標(biāo)為0即可.
點(diǎn)在y軸上,只需橫坐標(biāo)為0即可.
點(diǎn)在第二象限,需橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0.此處易搞混坐標(biāo)符號而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形,則=.由=相等求t,依據(jù)t是否有解判斷假設(shè)是否成立即可.此處易出現(xiàn)找不到關(guān)于t的關(guān)系式而造成無法求解的情況. 13、
[活學(xué)活用]
如圖,已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,3),B(3,-1),C(1,-2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
答案:點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(6,4)或(0,-6)
[隨堂即時(shí)演練]
1.(全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
答案:A
2.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),則a=( )
A.(-3,4) B.(5,-12)
C.(1,-4) D.(-4,8)
答案 14、:A
3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),則+2=________.
答案:(-4,9)
4.已知a=(3,4),點(diǎn)A(1,-3),若=2a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.
答案:(7,5)
5.已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),則λ為何值時(shí),
(1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上?
(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)?
答案:(1)λ= (2)λ<-1
[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]
一、選擇題
1.已知向量=(1,-2),=(-3,4),則等于( )
A.(-2,3) B.(2,-3)
C.(2,3) D.(-2,-3)
15、
答案:A
2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
答案:D
3.已知a=(3,-1),b=(-1,2),若ma+nb=(10,0)(m,n∈R),則( )
A.m=2,n=4 B.m=3,n=-2
C.m=4,n=2 D.m=-4,n=-2
答案:C
4.已知A(7,1),B(1,4),直線y=ax與線段AB交于C,且=2,則實(shí)數(shù)a等于( )
A.2 B.1
C. D.
答案:A
5.設(shè)向量a=(1,-3),b= 16、(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形,則向量d為( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
答案:D
二、填空題
6.已知A(2,3),B(1,4),且=(sin α,cos β),α,β∈,則α+β=________.
答案:或-
7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),試以e1,e2為基底,將a分解成λ1e1+λ2e2的形式為________.
答案:a=e1+e2
8.已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在∠AOB 17、內(nèi),|OC|=2,且∠AOC=.設(shè)=
λ+ (λ∈R),則λ= ________.
答案:
三、解答題
9.已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求點(diǎn)C,D和的坐標(biāo).
解:設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).由題意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),
=(-3,-6).
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2).
則有
解得
∴C,D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(-2,0),
因此=(-2,-4).
10.已知三點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C( 18、7,10),點(diǎn)P滿足=+λ (λ∈R).
(1)λ為何值時(shí),點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上?
(2)設(shè)點(diǎn)P在第三象限,求λ的取值范圍.
解:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),則=(x1-2,y1-3).
+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3),
即+λ=(3+5λ,1+7λ),
由=+λ,
可得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ),
則解得
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(5+5λ,4+7λ).
(1)令5+5λ=4+7λ,得λ=,
∴當(dāng)λ=時(shí),P點(diǎn)在函數(shù)y=x的圖象上.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限,∴解得λ<-1,
∴λ的取值范圍是{λ|λ<-1}.
11.已知向 19、量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.
(1)證明:對任意向量a,b及常數(shù)m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)設(shè)a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo);
(3)求使f(c)=(p,q)(p,q是常數(shù))的向量c的坐標(biāo).
解:(1)證明:設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),
則ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)
=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(2)f(a)=(1,21-1)=(1,1),
f(b)=(0,20-1)=(0,-1).
(3)設(shè)c=(x,y),
則f(c)=(y,2y-x)=(p,q),
∴y=p,2y-x=q,
∴x=2p-q,
即向量c=(2p-q,p).
- 10 -
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