高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)課件 新人教版選修2-2.ppt

1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù),第一章 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系，并會靈活應(yīng)用. 2.掌握函數(shù)極值的判定及求法. 3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數(shù)極值的概念,答案,f(x)0,1.極小值點與極小值 如圖，函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值.,f(x)0,答案,f(x)0,2.極大值點與極大值 如圖，函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb的左側(cè) ，右側(cè) ， 則把點b叫做函數(shù) 的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值. 、 統(tǒng)稱為極值點， 和 統(tǒng)稱為極值.,f(x)0,yf(x),極大值點,極小值點,極大值,極小值,思考 (1)可導函數(shù)f(x)在點x0處取極值的充要條件是什么？,答案,答案 可導函數(shù)的極值點是導數(shù)為零的點，但是導數(shù)為零的點不一定是極值點， 即“函數(shù)yf(x)在一點的導數(shù)值為零是函數(shù)yf(x)在這點取極值的必要條件，而非充分條件”. 可導函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f(x)符號不同. 如果在x0的兩側(cè)f(x)符號相同，則x0不是f(x)的極值點.,(2)函數(shù)在某個區(qū)間上有多個極值點，那么一定既有極大值也有極小值嗎？,答案 不一定.,知識點二 求可導函數(shù)f(x)的極值方法與步驟,答案,極大值,1.求函數(shù)yf(x)的極值的方法 解方程f(x)0，當f(x0)0時： (1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是 . 2.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x). (2)求f(x)的拐點，即求方程 的根. (3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.,極小值,f(x)0,思考 可導函數(shù)f(x)若存在極值點x0，則x0能否為相應(yīng)區(qū)間的端點嗎？,答案 不能.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求函數(shù)的極值,解析答案,反思與感悟,解析答案,反思與感悟,解 由題意可知f(x)x24. 解方程x240，得x12，x22. 由f(x)0得x2或x2； 由f(x)0得2x2. 當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,反思與感悟,反思與感悟,求可導函數(shù) f(x)的極值的步驟： (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù) f(x)； (2)求方程 f(x)0的根； (3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間，并列成表格.檢測 f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號， 如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值； 如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值； 如果左右不改變符號，那么 f(x)在這個根處無極值.,跟蹤訓練1 求下列函數(shù)的極值. (1)y2x36x218x3；,解析答案,解 函數(shù)的定義域為R. y6x212x186(x3)(x1)， 令y0，得x3或x1. 當x變化時，y，y的變化情況如下表：,從上表中可以看出，當x3時，函數(shù)取得極大值，且y極大值57. 當x1時，函數(shù)取得極小值，且y極小值7.,解析答案,解 函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，,令y0，得x2或x2. 當x2時，y0；當2x0時，y0. 即x2時，y取得極大值，且極大值為8. 當0x2時，y0；當x2時，y0. 即x2時，y取得極小值，且極小值為8.,題型二 利用函數(shù)極值確定參數(shù)的取值范圍(或值),解析答案,例2 已知函數(shù) f(x)6ln xax28xb(a，b為常數(shù))，且x3為 f(x)的一個極值點. (1)求a的值；,(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解 函數(shù) f(x)的定義域為(0，). 由(1)知 f(x)6ln xx28xb.,解析答案,由 f(x)0可得x3或0x1， 由 f(x)0可得1x3(x0舍去). 函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).,(3)若yf(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個交點，求實數(shù)b的取值范圍.,解析答案,反思與感悟,解 由(2)可知函數(shù) f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增.且當x1和x3時，f(x)0. f(x)的極大值為 f(1)6ln 118bb7， f(x)的極小值為 f(3)6ln 3924b6ln 3b15. 當x充分接近0時，f(x)0，當x充分大時，f(x)0， 要使 f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，,b的取值范圍是7b156ln 3.,解決參數(shù)問題時，要結(jié)合函數(shù)的圖象，同時準確理解函數(shù)極值的應(yīng)用.,反思與感悟,解析答案,解 因為a0，所以“f(x) x3bx2cxd在(，)內(nèi)無極值點”等價于“f(x)ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立”. 由f(x)9x0(即ax2(2b9)xc0)的兩實數(shù)根分別為1,4，,所以對于一元二次方程ax22bxc0，(2b)24ac9(a1)(a9). 不等式ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立,易驗證a1與a9均滿足題意，故a的取值范圍是1,9.,題型三 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用,解析答案,反思與感悟,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,則函數(shù)yg(t)的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點.,即a2，使函數(shù)圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點. 所以實數(shù)a的取值范圍為(2，).,求出函數(shù)的所有極值，有利于我們整體把握函數(shù)圖象的特征，也就為我們證明有關(guān)不等式、解決某些方程根的個數(shù)等問題提供了有力的依據(jù)，因而函數(shù)的極值在中學數(shù)學中應(yīng)用廣泛，是高考命題的熱點.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數(shù) f(x)x3ax2b(a，bR). (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；,解析答案,(2)若對任意a3,4，函數(shù) f(x)在R上都有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍.,解析答案,所以實數(shù)b的取值范圍為(4,0).,解析答案,因忽視對所得參數(shù)進行檢驗而致誤,例4 若函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10，試求a，b的值.,返回,防范措施,易錯易混,錯解 由導數(shù)公式表和求導法則得， f(x)3x22axb，,解析答案,錯因分析 由于函數(shù)在一點的導數(shù)值為0是函數(shù)在這點取得極值的必要條件，而非充分條件. 因此，本題在解答時很容易忽略對得出的兩組解進行檢驗而出錯.,防范措施,正解 由導數(shù)公式表和求導法則得，f(x)3x22axb，,但由于當a3，b3時，f(x)3x26x33(x1)20， 故 f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x1處取得極值，,解析答案,防范措施,故a，b的值分別為4，11.,防范措施,根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中，在得到參數(shù)的兩組解后，應(yīng)按照函數(shù)在這一點處取得極值所對應(yīng)的條件進行檢驗，考查每一組解所對應(yīng)的函數(shù)在該點處是否能取得極值，從而進行取舍.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.已知函數(shù) f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是( ) A.(2,3) B.(3，) C.(2，) D.(，3),B,解析答案,解析 f(x)6x22ax36，且在x2處有極值， f(2)0,244a360，a15， f(x)6x230x366(x2)(x3)， 由 f(x)0得x2或x3.,1,2,3,4,5,2.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是( ) A.導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點 B.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值 C.函數(shù)在定義域內(nèi)有一個極大值和一個極小值 D.若 f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么 f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),D,解析答案,解析 由極值的概念可知只有D正確.,1,2,3,4,5,3.函數(shù) f(x)的定義域為R，導函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)( ) A.無極大值點，有四個極小值點 B.有三個極大值點，兩個極小值點 C.有兩個極大值點，兩個極小值點 D.有四個極大值點，無極小值點,解析答案,C,解析 在xx0的兩側(cè)，f(x)的符號由正變負，則 f(x0)是極大值； f(x)的符號由負變正，則 f(x0)是極小值， 由圖象易知有兩個極大值點，兩個極小值點.,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知 f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為( ) A.1a2 B.3a6 C.a1或a2 D.a3或a6,D,解析 f(x)3x22ax(a6)， 因為 f(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,1,2,3,4,5,解析答案,5.設(shè)函數(shù) f(x)6x33(a2)x22ax.若 f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，則實數(shù)a的值為_.,9,課堂小結(jié),返回,1.求函數(shù)極值的基本步驟： (1)求函數(shù)定義域；(2)求 f(x)；(3)解 f(x)0；(4)列表( f(x)，f(x)隨x的變化情況)；(5)下結(jié)論. 2.函數(shù)的極值的應(yīng)用： (1)確定參數(shù)的值，一般用待定系數(shù)法； (2)判斷方程根的情況時，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值，畫出函數(shù)大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想來討論根的情況.,