高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教版選修2-2.ppt
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1.3.2 函數的極值與導數,第一章 1.3 導數在研究函數中的應用,1.了解函數極值的概念,會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系,并會靈活應用. 2.掌握函數極值的判定及求法. 3.掌握函數在某一點取得極值的條件.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數極值的概念,答案,f(x)0,1.極小值點與極小值 如圖,函數yf(x)在點xa的函數值f(a)比它在點xa附近其他點的函數值都小,f(a)0;而且在點xa附近的左側 ,右側 ,則把點a叫做函數yf(x)的極小值點,f(a)叫做函數yf(x)的極小值.,f(x)0,答案,f(x)0,2.極大值點與極大值 如圖,函數yf(x)在點xb的函數值f(b)比它在點xb附近其他點的函數值都大,f(b)0;而且在點xb的左側 ,右側 , 則把點b叫做函數 的極大值點,f(b)叫做函數yf(x)的極大值. 、 統(tǒng)稱為極值點, 和 統(tǒng)稱為極值.,f(x)0,yf(x),極大值點,極小值點,極大值,極小值,思考 (1)可導函數f(x)在點x0處取極值的充要條件是什么?,答案,答案 可導函數的極值點是導數為零的點,但是導數為零的點不一定是極值點, 即“函數yf(x)在一點的導數值為零是函數yf(x)在這點取極值的必要條件,而非充分條件”. 可導函數f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側和右側f(x)符號不同. 如果在x0的兩側f(x)符號相同,則x0不是f(x)的極值點.,(2)函數在某個區(qū)間上有多個極值點,那么一定既有極大值也有極小值嗎?,答案 不一定.,知識點二 求可導函數f(x)的極值方法與步驟,答案,極大值,1.求函數yf(x)的極值的方法 解方程f(x)0,當f(x0)0時: (1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是 ; (2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是 . 2.求可導函數f(x)的極值的步驟 (1)確定函數的定義區(qū)間,求導數f(x). (2)求f(x)的拐點,即求方程 的根. (3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表,根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值.,極小值,f(x)0,思考 可導函數f(x)若存在極值點x0,則x0能否為相應區(qū)間的端點嗎?,答案 不能.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求函數的極值,解析答案,反思與感悟,解析答案,反思與感悟,解 由題意可知f(x)x24. 解方程x240,得x12,x22. 由f(x)0得x2或x2; 由f(x)0得2x2. 當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,反思與感悟,反思與感悟,求可導函數 f(x)的極值的步驟: (1)確定函數的定義區(qū)間,求導數 f(x); (2)求方程 f(x)0的根; (3)用函數的導數為0的點,順次將函數的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.檢測 f(x)在方程根左右兩側的值的符號, 如果左正右負,那么 f(x)在這個根處取得極大值; 如果左負右正,那么 f(x)在這個根處取得極小值; 如果左右不改變符號,那么 f(x)在這個根處無極值.,跟蹤訓練1 求下列函數的極值. (1)y2x36x218x3;,解析答案,解 函數的定義域為R. y6x212x186(x3)(x1), 令y0,得x3或x1. 當x變化時,y,y的變化情況如下表:,從上表中可以看出,當x3時,函數取得極大值,且y極大值57. 當x1時,函數取得極小值,且y極小值7.,解析答案,解 函數的定義域為(,0)(0,),,令y0,得x2或x2. 當x2時,y0;當2x0時,y0. 即x2時,y取得極大值,且極大值為8. 當0x2時,y0;當x2時,y0. 即x2時,y取得極小值,且極小值為8.,題型二 利用函數極值確定參數的取值范圍(或值),解析答案,例2 已知函數 f(x)6ln xax28xb(a,b為常數),且x3為 f(x)的一個極值點. (1)求a的值;,(2)求函數 f(x)的單調區(qū)間;,解 函數 f(x)的定義域為(0,). 由(1)知 f(x)6ln xx28xb.,解析答案,由 f(x)0可得x3或0x1, 由 f(x)0可得1x3(x0舍去). 函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(3,),單調遞減區(qū)間為(1,3).,(3)若yf(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個交點,求實數b的取值范圍.,解析答案,反思與感悟,解 由(2)可知函數 f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,在(3,)上單調遞增.且當x1和x3時,f(x)0. f(x)的極大值為 f(1)6ln 118bb7, f(x)的極小值為 f(3)6ln 3924b6ln 3b15. 當x充分接近0時,f(x)0,當x充分大時,f(x)0, 要使 f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點,,b的取值范圍是7b156ln 3.,解決參數問題時,要結合函數的圖象,同時準確理解函數極值的應用.,反思與感悟,解析答案,解 因為a0,所以“f(x) x3bx2cxd在(,)內無極值點”等價于“f(x)ax22bxc0在(,)內恒成立”. 由f(x)9x0(即ax2(2b9)xc0)的兩實數根分別為1,4,,所以對于一元二次方程ax22bxc0,(2b)24ac9(a1)(a9). 不等式ax22bxc0在(,)內恒成立,易驗證a1與a9均滿足題意,故a的取值范圍是1,9.,題型三 函數極值的綜合應用,解析答案,反思與感悟,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,則函數yg(t)的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點.,即a2,使函數圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點. 所以實數a的取值范圍為(2,).,求出函數的所有極值,有利于我們整體把握函數圖象的特征,也就為我們證明有關不等式、解決某些方程根的個數等問題提供了有力的依據,因而函數的極值在中學數學中應用廣泛,是高考命題的熱點.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數 f(x)x3ax2b(a,bR). (1)求函數 f(x)的單調遞增區(qū)間;,解析答案,(2)若對任意a3,4,函數 f(x)在R上都有三個零點,求實數b的取值范圍.,解析答案,所以實數b的取值范圍為(4,0).,解析答案,因忽視對所得參數進行檢驗而致誤,例4 若函數f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10,試求a,b的值.,返回,防范措施,易錯易混,錯解 由導數公式表和求導法則得, f(x)3x22axb,,解析答案,錯因分析 由于函數在一點的導數值為0是函數在這點取得極值的必要條件,而非充分條件. 因此,本題在解答時很容易忽略對得出的兩組解進行檢驗而出錯.,防范措施,正解 由導數公式表和求導法則得,f(x)3x22axb,,但由于當a3,b3時,f(x)3x26x33(x1)20, 故 f(x)在R上單調遞增,不可能在x1處取得極值,,解析答案,防范措施,故a,b的值分別為4,11.,防范措施,根據極值條件求參數的值的問題中,在得到參數的兩組解后,應按照函數在這一點處取得極值所對應的條件進行檢驗,考查每一組解所對應的函數在該點處是否能取得極值,從而進行取舍.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.已知函數 f(x)2x3ax236x24在x2處有極值,則該函數的一個遞增區(qū)間是( ) A.(2,3) B.(3,) C.(2,) D.(,3),B,解析答案,解析 f(x)6x22ax36,且在x2處有極值, f(2)0,244a360,a15, f(x)6x230x366(x2)(x3), 由 f(x)0得x2或x3.,1,2,3,4,5,2.下列關于函數的極值的說法正確的是( ) A.導數值為0的點一定是函數的極值點 B.函數的極小值一定小于它的極大值 C.函數在定義域內有一個極大值和一個極小值 D.若 f(x)在(a,b)內有極值,那么 f(x)在(a,b)內不是單調函數,D,解析答案,解析 由極值的概念可知只有D正確.,1,2,3,4,5,3.函數 f(x)的定義域為R,導函數 f(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)( ) A.無極大值點,有四個極小值點 B.有三個極大值點,兩個極小值點 C.有兩個極大值點,兩個極小值點 D.有四個極大值點,無極小值點,解析答案,C,解析 在xx0的兩側,f(x)的符號由正變負,則 f(x0)是極大值; f(x)的符號由負變正,則 f(x0)是極小值, 由圖象易知有兩個極大值點,兩個極小值點.,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知 f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值,則a的取值范圍為( ) A.1a2 B.3a6 C.a1或a2 D.a3或a6,D,解析 f(x)3x22ax(a6), 因為 f(x)既有極大值又有極小值,那么(2a)243(a6)0, 解得a6或a3.,1,2,3,4,5,解析答案,5.設函數 f(x)6x33(a2)x22ax.若 f(x)的兩個極值點為x1,x2,且x1x21,則實數a的值為_.,9,課堂小結,返回,1.求函數極值的基本步驟: (1)求函數定義域;(2)求 f(x);(3)解 f(x)0;(4)列表( f(x),f(x)隨x的變化情況);(5)下結論. 2.函數的極值的應用: (1)確定參數的值,一般用待定系數法; (2)判斷方程根的情況時,利用導數研究函數單調性、極值,畫出函數大致圖象,利用數形結合思想來討論根的情況.,- 配套講稿:
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- 關 鍵 詞:
- 高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教版選修2-2 導數 及其 應用 1.3 函數 極值 課件 新人 選修
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