高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修2-2.ppt

1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分,第 1章 1.5 定積分,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.4.能用定積分的定義求簡單的定積分.,學(xué)習(xí)目標(biāo),欄目索引,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點(diǎn)一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示).,答案,yf(x),(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 ，對每個 “以直代曲”，即用矩形的面積近似 代替 的面積，得到每個小曲邊梯形面積的 ，對這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 (如圖所示). (3)求曲邊梯形面積的步驟： ， ， ， . 2.求變速直線運(yùn)動的(位移)路程 如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用 ，_ ， ， 的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.,答案,小曲邊梯形,小曲邊梯形,小曲邊梯形,近似值,求和,近似值,分割,以直代曲,作和,逼近,分割,以直,代曲,作和,逼近,思考 (1)如何計算下列兩圖形的面積？,答案,答案 直接利用梯形面積公式求解. 轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,(2)求曲邊梯形面積時，對曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？ 答案 為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對每個小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.,答案,知識點(diǎn)二 定積分的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有定義，將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為x(x )，在每個小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，xi，xn，作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，如果當(dāng)x0(亦即n)時，SnS(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作S .其中a與b分別叫做 與 ，區(qū)間a，b叫做 ，函數(shù)f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,答案,積分下限,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,思考 (1)如何理解定積分？ 答案 定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，,答案,答案,答案 分割：將區(qū)間a，bn等分，記第i個小區(qū)間為xi1，xi，區(qū)間長度xxixi1；,逼近.,知識點(diǎn)三 定積分的幾何意義與性質(zhì) 1.定積分的幾何意義 由直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有： (1)在區(qū)間a，b上，若f(x)0， 則S ，如圖(1)所示， 即 . (2)在區(qū)間a，b上，若f(x)0， 則S ，如圖(2)所示， 即 .,答案,答案,即 (SA，SB表示所在區(qū)域的面積).,答案,返回,思考 設(shè)vv(t)在時間區(qū)間t1，t2上連續(xù)且恒有v(t)0，定積分 的意義是什么？ 答案 定積分 表示做變速直線運(yùn)動的物體在時間區(qū)間t1，t2內(nèi)經(jīng)過的路程，這就是定積分 的物理意義.,題型探究 重點(diǎn)突破,解析答案,題型一 對定積分的理解 例1 用定積分的定義求曲線yx31與x0，x1及y0所圍成的曲邊梯形的面積.,過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，它們的面積分別記為S1，S2，Si，Sn.,解析答案,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,對圖形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細(xì)，近似程度就會越高，這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 求由直線x0，x1，y0和曲線yx(x1)圍成的圖形的面積.,解析答案,解 (1)分割： 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，,過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Si，Sn.,(2)以直代曲： 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，,解析答案,解析答案,(3)作和： 因?yàn)槊恳粋€小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值， 所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.,(4)逼近： 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即x愈小時，和式的值就愈接近曲邊梯形的面積S， 因此，當(dāng)n，即x0時，和式的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,解析答案,題型二 求汽車行駛的路程 例2 汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程為svt.如果汽車做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)t22(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1t2這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？,反思與感悟,解 將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，,反思與感悟,反思與感悟,利用類比轉(zhuǎn)化的思想，把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時間速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g9.8 m/s2).,解 自由落體的下落速度為v(t)gt.,以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,解析答案,題型三 由定積分的幾何意義求定積分 例3 利用定積分的幾何意義，求：,以3為半徑的上半圓，如圖(1)所示.,解析答案,解 在坐標(biāo)平面上，f(x)2x1為一條直線.,反思與感悟 利用定積分的幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點(diǎn)的選取.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 利用定積分的幾何意義計算.,解 如圖所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,解 如圖所示，定積分為圖中陰影部分面積，,例4 如圖所示，f(x)在區(qū)間a，b上，則陰影部分的 面積S為 .,易錯易混,因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤,解析答案,返回,防范措施,錯解 錯填或或. 錯因分析 錯誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,防范措施,若在a，c上，f(x)0，在c，b上，f(x)0，,返回,定積分的幾何意義是在x軸上半部計算的面積取正值，在x軸下半部計算的面積取負(fù)值.,防范措施,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,解析答案,1.把區(qū)間1,3n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為 .,與f(x)和積分區(qū)間a，b有關(guān)，與i的取法無關(guān)； 與f(x)有關(guān)，與區(qū)間a，b以及i的取法無關(guān)； 與f(x)以及i的取法有關(guān)，與區(qū)間a，b無關(guān)； 與f(x)、積分區(qū)間a，b和i的取法都有關(guān).,答案,1,2,3,4,3.求由曲線y x2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點(diǎn))是 .,解析答案,1.02,1,2,3,4,4.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：,答案,1,2,3,4,課堂小結(jié),1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟： (1)分割：n等分區(qū)間a，b； (2)以直代曲：取點(diǎn)ixi1，xi；,(4)逼近.“以直代曲”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn)).,返回,3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算.,