2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-2第2課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步檢測 新人教版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-2第2課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步檢測 新人教版選修2-1 一、選擇題 1．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1) 、B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于( ) A．8 B．10 C．6 D．4 [答案] A [解析] 由題意，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8，選A. 2．到點(－1,0)與直線x＝3的距離相等的點的軌跡方程為( ) A．x2＝－4y＋4 B．y2＝－4x＋4 C．x2＝－8y＋8 D．y2＝－8x＋8 [答案] D [解析] 由已知得＝|x－3|， 變形為：y2＝－8x＋8，故選D. 3．(xx湖南文，5)設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A．4 B．6 C．8 D．12 [答案] B [解析] 本題考查拋物線的定義． 由拋物線的定義可知，點P到拋物線焦點的距離是4＋2＝6. 4．已知A、B在拋物線y2＝2px(p>0)上，O為坐標(biāo)原點，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是( ) A．x－p＝0 B．4x－3p＝0 C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0 [答案] C [解析] 如圖所示： ∵F為垂心，F(xiàn)為焦點，OA＝OB，∴OF垂直平分AB. ∴AB為垂直于x軸的直線 設(shè)A為(2pt2,2pt)(t>0)，B為(2pt2，－2pt)， ∵F為垂心，∴OB⊥AF ∴kOBkAF＝－1， 即＝－1，解得t2＝ ∴AB為x＝2pt2＝p，∴選C. 5．過拋物線y2＝4x的焦點的直線交拋物線于A、B兩點O為坐標(biāo)原點，則的值是( ) A．12 B．－12 C．3 D．－3 [答案] D [解析] 設(shè)A(，y1)，B(，y2)，則＝(，y1)，＝(，y2)，則＝(，y1)(，y2)＝＋y1y2，又∵AB過焦點，則有y1y2＝－p2＝－4， ∴＝＋y1y2＝－4＝－3，故選D. 6．(xx中山市高二期末)若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為( ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 [答案] D 7．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，到點(1,1)和直線x＋2y＝3距離相等的點的軌跡是( ) A．直線 B．拋物線 C．圓 D．雙曲線 [答案] A [解析] 點(1,1)在直線x＋2y＝3上，∴軌跡為過點(1,1)且與x＋2y＝3垂直的直線． 8．拋物線y＝－x2上的點，到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是( ) A. B. C. D．3 [答案] A [解析] 拋物線y＝－x2上到直線4x＋3y－8＝0的距離最小的點也就是拋物線y＝－x2的與4x＋3y－8＝0平行的切線的切點． 設(shè)切線方程為4x＋3y＋b＝0，聯(lián)立與y＝－x2組成的方程組，解得切點為(，－) ∴最小距離為d＝＝. 9．過拋物線y2＝4x的焦點，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線( ) A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 [答案] B [解析] 由定義|AB|＝5＋2＝7， ∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有兩條． 10．直線l經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，且與拋物線交于P、Q兩點，由P、Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR、QS，垂足分別為R、S.如果|PF|＝a，|QF|＝b，M為RS的中點，則|MF|的值為( ) A．a(chǎn)＋b B.(a＋b) C．a(chǎn)b D. [答案] D [解析] 根據(jù)拋物線的定義，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|. ∵∠RFO＝∠FRP＝∠RFP，∠SFO＝∠FSQ＝∠SFQ， ∴∠RFS＝∠RFP＋∠SFQ. ∴△RFS為直角三角形，故|MF|為直角三角形斜邊上的中線．在直角梯形PRSQ中，|RS|＝＝2. 故|FM|＝|RS|＝. 二、填空題 11．已知點A(2,0)、B(4,0)，動點P在拋物線y2＝－4x上運動，則取得最小值時的點P的坐標(biāo)是______． [答案] (0,0) [解析] 設(shè)P，則＝，＝，＝＋y2＝＋y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時取等號，此時點P的坐標(biāo)為(0,0)． 12．已知點A(4,0)，M是拋物線y2＝6x上的動點，當(dāng)點M到A距離最小時，M點坐標(biāo)為________． [答案] (1，) [解析] 設(shè)M，則|MA|2＝2＋y ＝y(tǒng)－y＋16＝(y－6)2＋15≥15， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝6，即y1＝，x1＝＝1時，|MA|取最小值，此時M(1，)． 13．(xx全國Ⅱ文，15)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若A＝M，則p＝________. [答案] 2 [解析] 本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系． 由斜率為，∠M＝60， 又＝，∴M為中點． ∴BP＝BM，∴M為焦點， 即＝1，∴p＝2. 14．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上一點(－3，m)到焦點的距離為5，則拋物線的方程為________． [答案] x2＝2y，x2＝－2y，x2＝18y，x2＝－18y [分析] 應(yīng)分焦點在y軸正半軸，負(fù)半軸兩種情況考慮，利用拋物線的定義，結(jié)合待定系數(shù)法求拋物線方程． [解析] 解法一：若焦點在y軸的正半軸上，則可設(shè)方程為x2＝2py(p>0) 準(zhǔn)線方程為y＝－，所以m－＝5. 又因為9＝2pm，所以m＝，所以＋＝5. 得p＝1或p＝9. 所以拋物線方程為x2＝2y，或x2＝18y. 若焦點在y軸負(fù)半軸上，則方程為x2＝－2py(p>0)， 準(zhǔn)線方程為y＝，所以－m＝5，所以＋＝5，得p＝1或p＝9， 所以拋物線的方程為x2＝－2y，或x2＝－18y. 解法二：設(shè)拋物線的方程為x2＝2ay(a≠0)， 則p＝|a|，準(zhǔn)線方程為y＝－. 依題意有 解此方程組可得四組解： 所以所求拋物線方程為： x2＝2y，x2＝－2y，x2＝18y，x2＝－18y. [點評] 注意焦點在x軸或y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2＝2ax(a≠0)或x2＝2ay(a≠0)的形式，以簡化運算． 此題沒要求求m的值，故解方程組可只求a即可，這樣，解法二就更加簡捷． 三、解答題 15．已知點A在平行于y軸的直線l上，且l與x軸的交點為(4,0)．動點P滿足平行于x軸，且⊥，求P點的軌跡． [解析] 設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知有A的坐標(biāo)為(4，y)，所以＝(4，y)，＝(x，y)． 因為⊥，所以＝0，因此4x＋y2＝0， 即P的軌跡方程為4x＋y2＝0.∴軌跡是拋物線． 16．(xx湖北文，20)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． [分析] 本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查推理運算的能力． [解析] (1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足： －x＝1(x>0) 化簡得y2＝4x(x>0) (2)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0， 此時Δ＝16(t2＋m)>0. 于是① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2) <0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0② 又x＝，于是不等式②等價于＋y1y2－(＋)＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0③ 由①式，不等式③等價于m2－6m＋1<4t2④ 對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1<0，即3－20)的準(zhǔn)線為x＝－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋， 于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p；x1＋x2＝p. 當(dāng)x1＝x2時，|AB|＝2p
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