2019年河南開封中考數(shù)學真題及答案

2019年河南開封中考數(shù)學真題及答案一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。1（3分）的絕對值是（）ABC2D22（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學記數(shù)法表示為（）A46107B4.6107C4.6106D0.461053（3分）如圖，ABCD，B75，E27，則D的度數(shù)為（）A45B48C50D584（3分）下列計算正確的是（）A2a+3a6aB（3a）26a2C（xy）2x2y2D325（3分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（）A主視圖相同B左視圖相同C俯視圖相同D三種視圖都不相同6（3分）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3的根的情況是（）A有兩個不相等的實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C只有一個實數(shù)根D沒有實數(shù)根7（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3元、2元、1元某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（）A1.95元B2.15元C2.25元D2.75元8（3分）已知拋物線yx2+bx+4經(jīng)過（2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（）A2B4C2D49（3分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O若點O是AC的中點，則CD的長為（）A2B4C3D10（3分）如圖，在OAB中，頂點O（0，0），A（3，4），B（3，4），將OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）二、填空題（每小題3分，共15分。）11（3分）計算：21 12（3分）不等式組的解集是 13（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是 14（3分）如圖，在扇形AOB中，AOB120，半徑OC交弦AB于點D，且OCOA若OA2，則陰影部分的面積為 15（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa，點E在邊BC上，且BE連接AE，將ABE沿AE折疊，若點B的對應點B落在矩形ABCD的邊上，則a的值為 三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16（8分）先化簡，再求值：（1），其中x17（9分）如圖，在ABC中，BABC，ABC90，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G（1）求證：ADFBDG；（2）填空：若AB4，且點E是的中點，則DF的長為 ；取的中點H，當EAB的度數(shù)為 時，四邊形OBEH為菱形18（9分）某校為了解七、八年級學生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析部分信息如下：a七年級成績頻數(shù)分布直方圖：b七年級成績在70x80這一組的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：年級平均數(shù)中位數(shù)七76.9m八79.279.5根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有 人；（2）表中m的值為 ；（3）在這次測試中，七年級學生甲與八年級學生乙的成績都是78分，請判斷兩位學生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；（4）該校七年級學生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)19（9分）數(shù)學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60，求炎帝塑像DE的高度（精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73）20（9分）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由21（10分）模具廠計劃生產(chǎn)面積為4，周長為m的矩形模具對于m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下：（1）建立函數(shù)模型設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy4，即y；由周長為m，得2（x+y）m，即yx+滿足要求的（x，y）應是兩個函數(shù)圖象在第 象限內(nèi)交點的坐標（2）畫出函數(shù)圖象函數(shù)y（x0）的圖象如圖所示，而函數(shù)yx+的圖象可由直線yx平移得到請在同一直角坐標系中直接畫出直線yx（3）平移直線yx，觀察函數(shù)圖象當直線平移到與函數(shù)y（x0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為 ；在直線平移過程中，交點個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點個數(shù)及對應的周長m的取值范圍（4）得出結(jié)論若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為 22（10分）在ABC中，CACB，ACB點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DP，連接AD，BD，CP（1）觀察猜想如圖1，當60時，的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 （2）類比探究如圖2，當90時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由（3）解決問題當90時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值23（11分）如圖，拋物線yax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C直線yx2經(jīng)過點A，C（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設(shè)點P的橫坐標為m當PCM是直角三角形時，求點P的坐標；作點B關(guān)于點C的對稱點B，則平面內(nèi)存在直線l，使點M，B，B到該直線的距離都相等當點P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：ykx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）2019年河南省中考數(shù)學試卷答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。1（3分）的絕對值是（）ABC2D2【分析】根據(jù)一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進行解答即可【解答】解：|，故選：B【點評】本題考查的是絕對值的性質(zhì)，掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0是解題的關(guān)鍵2（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學記數(shù)法表示為（）A46107B4.6107C4.6106D0.46105【分析】本題用科學記數(shù)法的知識即可解答【解答】解：0.00000464.6106故選：C【點評】本題用科學記數(shù)法的知識點，關(guān)鍵是很小的數(shù)用科學記數(shù)法表示時負指數(shù)與0的個數(shù)的關(guān)系要掌握好3（3分）如圖，ABCD，B75，E27，則D的度數(shù)為（）A45B48C50D58【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可【解答】解：ABCD，B1，1D+E，DBE752748，故選：B【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答4（3分）下列計算正確的是（）A2a+3a6aB（3a）26a2C（xy）2x2y2D32【分析】根據(jù)合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則進行運算即可；【解答】解：2a+3a5a，A錯誤；（3a）29a2，B錯誤；（xy）2x22xy+y2，C錯誤；2，D正確；故選：D【點評】本題考查整式的運算；熟練掌握合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵5（3分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（）A主視圖相同B左視圖相同C俯視圖相同D三種視圖都不相同【分析】根據(jù)三視圖解答即可【解答】解：圖的三視圖為：圖的三視圖為：故選：A【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是學生的觀察能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力6（3分）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3的根的情況是（）A有兩個不相等的實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C只有一個實數(shù)根D沒有實數(shù)根【分析】先化成一般式后，在求根的判別式【解答】解：原方程可化為：x22x40，a1，b2，c4，（2）241（4）200，方程由兩個不相等的實數(shù)根故選：A【點評】本題運用了根的判別式的知識點，把方程轉(zhuǎn)化為一般式是解決問題的關(guān)鍵7（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3元、2元、1元某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（）A1.95元B2.15元C2.25元D2.75元【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價是510%+315%+255%+120%2.25（元），故選：C【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義8（3分）已知拋物線yx2+bx+4經(jīng)過（2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（）A2B4C2D4【分析】根據(jù)（2，n）和（4，n）可以確定函數(shù)的對稱軸x1，再由對稱軸的x即可求解；【解答】解：拋物線yx2+bx+4經(jīng)過（2，n）和（4，n）兩點，可知函數(shù)的對稱軸x1，1，b2；yx2+2x+4，將點（2，n）代入函數(shù)解析式，可得n4；故選：D【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的對稱性是解題的關(guān)鍵9（3分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O若點O是AC的中點，則CD的長為（）A2B4C3D【分析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AFFC再根據(jù)ASA證明FOABOC，那么AFBC3，等量代換得到FCAF3，利用線段的和差關(guān)系求出FDADAF1然后在直角FDC中利用勾股定理求出CD的長【解答】解：如圖，連接FC，則AFFCADBC，F(xiàn)AOBCO在FOA與BOC中，F(xiàn)OABOC（ASA），AFBC3，F(xiàn)CAF3，F(xiàn)DADAF431在FDC中，D90，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD2故選：A【點評】本題考查了作圖基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中求出CF與DF是解題的關(guān)鍵10（3分）如圖，在OAB中，頂點O（0，0），A（3，4），B（3，4），將OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【分析】先求出AB6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（3，10），由于70417+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當于OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90，此時旋轉(zhuǎn)前后的點D關(guān)于原點對稱，于是利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征可出旋轉(zhuǎn)后的點D的坐標【解答】解：A（3，4），B（3，4），AB3+36，四邊形ABCD為正方形，ADAB6，D（3，10），70417+2，每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當于OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90，點D的坐標為（3，10）故選：D【點評】本題考查了坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30，45，60，90，180二、填空題（每小題3分，共15分。）11（3分）計算：211【分析】本題涉及二次根式化簡、負整數(shù)指數(shù)冪兩個考點針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果【解答】解：2121故答案為：1【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式等考點的運算12（3分）不等式組的解集是x2【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集【解答】解：解不等式1，得：x2，解不等式x+74，得：x3，則不等式組的解集為x2，故答案為：x2【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵13（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算可得【解答】解：列表如下：黃紅紅紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）白（黃，白）（紅，白）（紅，白）由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結(jié)果，所以摸出的兩個球顏色相同的概率為，故答案為：【點評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結(jié)果列舉出來，難度不大14（3分）如圖，在扇形AOB中，AOB120，半徑OC交弦AB于點D，且OCOA若OA2，則陰影部分的面積為+【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去BDO的面積，本題得以解決【解答】解：作OEAB于點F，在扇形AOB中，AOB120，半徑OC交弦AB于點D，且OCOAOA2，AOD90，BOC90，OAOB，OABOBA30，ODOAtan302，AD4，AB2AF226，OF，BD2，陰影部分的面積是：SAOD+S扇形OBCSBDO+，故答案為：+【點評】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答15（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa，點E在邊BC上，且BE連接AE，將ABE沿AE折疊，若點B的對應點B落在矩形ABCD的邊上，則a的值為或【分析】分兩種情況：點B落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得ABBE，即可求出a的值；點B落在CD邊上，證明ADBBCE，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出a的值【解答】解：分兩種情況：當點B落在AD邊上時，如圖1四邊形ABCD是矩形，BADB90，將ABE沿AE折疊，點B的對應點B落在AD邊上，BAEBAEBAD45，ABBE，a1，a；當點B落在CD邊上時，如圖2四邊形ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa將ABE沿AE折疊，點B的對應點B落在CD邊上，BABE90，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaa在ADB與BCE中，ADBBCE，即，解得a1，a20（舍去）綜上，所求a的值為或故答案為或【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)進行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16（8分）先化簡，再求值：（1），其中x【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得【解答】解：原式（），當x時，原式【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則17（9分）如圖，在ABC中，BABC，ABC90，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G（1）求證：ADFBDG；（2）填空：若AB4，且點E是的中點，則DF的長為42；取的中點H，當EAB的度數(shù)為30時，四邊形OBEH為菱形【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得ADBAEB90，再應用同角的余角相等可得DAFDBG，易得ADBD，ADFBDG得證；（2）作FHAB，應用等弧所對的圓周角相等得BAEDAE，再應用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得BEOB，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得EAB30【解答】解：（1）證明：如圖1，BABC，ABC90，BAC45AB是O的直徑，ADBAEB90，DAF+BGDDBG+BGD90DAFDBGABD+BAC90ABDBAC45ADBDADFBDG（ASA）；（2）如圖2，過F作FHAB于H，點E是的中點，BAEDAEFDAD，F(xiàn)HABFHFDsinABDsin45，即BFFDAB4，BD4cos452，即BF+FD2，（+1）FD2FD42故答案為連接OE，EH，點H是的中點，OHAE，AEB90BEAEBEOH四邊形OBEH為菱形，BEOHOBABsinEABEAB30故答案為：30【點評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵在靈活應用性質(zhì)定理18（9分）某校為了解七、八年級學生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析部分信息如下：a七年級成績頻數(shù)分布直方圖：b七年級成績在70x80這一組的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：年級平均數(shù)中位數(shù)七76.9m八79.279.5根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有23人；（2）表中m的值為77.5；（3）在這次測試中，七年級學生甲與八年級學生乙的成績都是78分，請判斷兩位學生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；（4）該校七年級學生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)【分析】（1）根據(jù)條形圖及成績在70x80這一組的數(shù)據(jù)可得；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；（3）將各自成績與該年級的中位數(shù)比較可得答案；（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)所占比例可得【解答】解：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有15+823人，故答案為：23；（2）七年級50人成績的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)分別為78、79，m77.5，故答案為：77.5；（3）甲學生在該年級的排名更靠前，七年級學生甲的成績大于中位數(shù)78分，其名次在該班25名之前，八年級學生乙的成績小于中位數(shù)78分，其名次在該班25名之后，甲學生在該年級的排名更靠前（4）估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)為400224（人）【點評】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得出解題所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義和意義、樣本估計總體思想的運用19（9分）數(shù)學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60，求炎帝塑像DE的高度（精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73）【分析】由三角函數(shù)求出AC82.1m，得出BCACAB61.1m，在RtBCD中，由三角函數(shù)得出CDBC105.7m，即可得出答案【解答】解：ACE90，CAE34，CE55m，tanCAE，AC82.1m，AB21m，BCACAB61.1m，在RtBCD中，tan60，CDBC1.7361.1105.7m，DECDEC105.75551m，答：炎帝塑像DE的高度約為51m【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中20（9分）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由【分析】（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30z）個，購買獎品的花費為W元，根據(jù)題意得到由題意可知，z（30z），W30z+15（30z）450+15z，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；【解答】解：（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，A的單價30元，B的單價15元；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30z）個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，z（30z），z，W30z+15（30z）450+15z，當z8時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【點評】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用；能夠根據(jù)條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵21（10分）模具廠計劃生產(chǎn)面積為4，周長為m的矩形模具對于m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下：（1）建立函數(shù)模型設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy4，即y；由周長為m，得2（x+y）m，即yx+滿足要求的（x，y）應是兩個函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標（2）畫出函數(shù)圖象函數(shù)y（x0）的圖象如圖所示，而函數(shù)yx+的圖象可由直線yx平移得到請在同一直角坐標系中直接畫出直線yx（3）平移直線yx，觀察函數(shù)圖象當直線平移到與函數(shù)y（x0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為8；在直線平移過程中，交點個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點個數(shù)及對應的周長m的取值范圍（4）得出結(jié)論若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為m8【分析】（1）x，y都是邊長，因此，都是正數(shù)，即可求解；（2）直接畫出圖象即可；（3）把點（2，2）代入yx+即可求解；在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y和yx+并整理得：x2mx+40，即可求解；（4）由（3）可得【解答】解：（1）x，y都是邊長，因此，都是正數(shù)，故點（x，y）在第一象限，答案為：一；（2）圖象如下所示：（3）把點（2，2）代入yx+得：22+，解得：m8；在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y和yx+并整理得：x2mx+40，m2440時，兩個函數(shù)有交點，解得：m8；（4）由（3）得：m8【點評】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)平移等知識點，此類探究題，通常按照題設(shè)條件逐次求解，一般難度不大22（10分）在ABC中，CACB，ACB點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DP，連接AD，BD，CP（1）觀察猜想如圖1，當60時，的值是1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60（2）類比探究如圖2，當90時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由（3）解決問題當90時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點O證明CAPBAD（SAS），即可解決問題（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點O，BD交PC于點E證明DABPAC，即可解決問題（3）分兩種情形：如圖31中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H證明ADDC即可解決問題如圖32中，當點P在線段CD上時，同法可證：DADC解決問題【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點OPADCAB60，CAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60，故答案為1，60（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點O，BD交PC于點EPADCAB45，PACDAB，DABPAC，PCADBA，EOCAOB，CEOOABB45，直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45（3）如圖31中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于HCEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5，ADBACB90，A，D，C，B四點共圓，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，設(shè)ADa，則DCADa，PDa，2如圖32中，當點P在線段CD上時，同法可證：DADC，設(shè)ADa，則CDADa，PDa，PCaa，2+【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題23（11分）如圖，拋物線yax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C直線yx2經(jīng)過點A，C（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設(shè)點P的橫坐標為m當PCM是直角三角形時，求點P的坐標；作點B關(guān)于點C的對稱點B，則平面內(nèi)存在直線l，使點M，B，B到該直線的距離都相等當點P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：ykx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，根據(jù)點A，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)解析式；（2）由PMx軸可得出PMC90，分MPC90及PCM90兩種情況考慮：（i）當MPC90時，PCx軸，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；（ii）當PCM90時，設(shè)PC與x軸交于點D，易證AOCCOD，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點D的坐標，根據(jù)點C，D的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標綜上，此問得解；利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點B，P的坐標，根據(jù)點P，B的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PB的解析式，結(jié)合題意可知：直線l過點C，且直線l直線PB，再結(jié)合點C的坐標即可求出直線l的解析式【解答】解：（1）當x0時，yx22，點C的坐標為（0，2）；當y0時，x20，解得：x4，點A的坐標為（4，0）將A（4，0），C（0，2）代入yax2+x+c，得：，解得：，拋物線的解析式為yx2+x2（2）PMx軸，PMC90，分兩種情況考慮，如圖1所示（i）當MPC90時，PCx軸，點P的縱坐標為2當y2時，x2+x22，解得：x12，x20，點P的坐標為（2，2）；（ii）當PCM90時，設(shè)PC與x軸交于點DOAC+OCA90，OCA+OCD90，OACOCD又AOCCOD90，AOCCOD，即，OD1，點D的坐標為（1，0）設(shè)直線PC的解析式為ykx+b（k0），將C（0，2），D（1，0）代入ykx+b，得：，解得：，直線PC的解析式為y2x2聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，解得：，點P的坐標為（6，10）綜上所述：當PCM是直角三角形時，點P的坐標為（2，2）或（6，10）當y0時，x2+x20，解得：x14，x22，點B的坐標為（2，0）點P的橫坐標為m（m0且m0），點P的坐標為（m，m2+m2），直線PB的解析式為y（m+4）x（m+4）（可利用待定系數(shù)求出）點B，B關(guān)于點C對稱，點B，B，P到直線l的距離都相等，直線l過點C，且直線l直線PB，直線l的解析式為y（m+4）x2【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）分MPC90及PCM90兩種情況求出點P的坐標；利用待定系數(shù)法及平行線的性質(zhì)，求出直線l的解析式聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2019/7/1 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