2019年河南開封中考數(shù)學(xué)真題及答案

2019 年河南開封中考數(shù)學(xué)真題及答案 一、選擇題（每小題 3 分，共 30 分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。 1 （3 分） 的絕對(duì)值是（） A B C2 D2 2 （3 分）成人每天維生素 D 的攝入量約為 0.0000046 克數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 3 （3 分）如圖， AB CD， B75， E27，則 D 的度數(shù)為（） A45 B48 C50 D58 4 （3 分）下列計(jì)算正確的是（） A2 a+3a6 a B （3 a） 26 a2 C （ x y） 2 x2 y2 D3 2 5 （3 分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖關(guān)于平移 前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（） A主視圖相同 B左視圖相同 C俯視圖相同 D三種視圖都不相同 6 （3 分）一元二次方程（ x+1） （ x1）2 x+3 的根的情況是（） A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D沒有實(shí)數(shù)根 7 （3 分）某超市銷售 A， B， C， D 四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的銷售 情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（） A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元 8 （3 分）已知拋物線 y x2+bx+4 經(jīng)過（2， n）和（4， n）兩點(diǎn)，則 n 的值為（） A2 B4 C2 D4 9 （3 分）如圖，在四邊形 ABCD 中， AD BC， D90， AD4， BC3分別以點(diǎn) A， C 為圓心，大于 AC 長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) E，作射線 BE 交 AD 于點(diǎn) F，交 AC 于點(diǎn) O若點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)，則 CD 的長(zhǎng)為（） A2 B4 C3 D 10 （3 分）如圖，在 OAB 中，頂點(diǎn) O（0，0） ， A（3，4） ， B（3，4） ，將 OAB 與正方形 ABCD 組成的 圖形繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn) 90，則第 70 次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分。 ） 11 （3 分）計(jì)算： 2 1 12 （3 分）不等式組 的解集是 13 （3 分）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有 2 個(gè)紅球、1 個(gè)白球，另一個(gè)裝有 1 個(gè)黃球、2 個(gè)紅球，這 些球除顏色外完全相同從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是 14 （3 分）如圖，在扇形 AOB 中， AOB120，半徑 OC 交弦 AB 于點(diǎn) D，且 OC OA若 OA2 ，則 陰影部分的面積為 15 （3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a，點(diǎn) E 在邊 BC 上，且 BE 連接 AE，將 ABE 沿 AE 折疊，若點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B落在矩形 ABCD 的邊上，則 a 的值為 三、解答題（本大題共 8 個(gè)小題，滿分 75 分） 16 （8 分）先化簡(jiǎn)，再求值：（ 1） ，其中 x 17 （9 分）如圖，在 ABC 中， BA BC， ABC90，以 AB 為直徑的半圓 O 交 AC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 上 不與點(diǎn) B， D 重合的任意一點(diǎn)，連接 AE 交 BD 于點(diǎn) F，連接 BE 并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) G （1）求證： ADF BDG； （2）填空： 若 AB4，且點(diǎn) E 是 的中點(diǎn)，則 DF 的長(zhǎng)為 ； 取 的中點(diǎn) H，當(dāng) EAB 的度數(shù)為 時(shí)，四邊形 OBEH 為菱形 18 （9 分）某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)“防溺水”安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析部分信息如下： a七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖： b七年級(jí)成績(jī)?cè)?70 x80 這一組的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)如下： 年級(jí) 平均數(shù) 中位數(shù) 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根據(jù)以上信息，回答下列問題： （1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在 80 分以上（含 80 分）的有 人； （2）表中 m 的值為 ； （3）在這次測(cè)試中，七年級(jí)學(xué)生甲與八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)都是 78 分，請(qǐng)判斷兩位學(xué)生在各自年級(jí)的 排名誰(shuí)更靠前，并說明理由； （4）該校七年級(jí)學(xué)生有 400 人，假設(shè)全部參加此次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)成績(jī)超過平均數(shù) 76.9 分的人 數(shù) 19 （9 分）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 處測(cè)得塑像底部 E 的仰角為 34，再沿 AC 方向前進(jìn) 21m 到達(dá) B 處，測(cè) 得塑像頂部 D 的仰角為 60，求炎帝塑像 DE 的高度 （精確到 1m參考數(shù)據(jù)：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73） 20 （9 分）學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國(guó)”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品已知購(gòu)買 3 個(gè) A 獎(jiǎng)品和 2 個(gè) B 獎(jiǎng)品共需 120 元；購(gòu)買 5 個(gè) A 獎(jiǎng)品和 4 個(gè) B 獎(jiǎng)品共需 210 元 （1）求 A， B 兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)； （2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買 A， B 兩種獎(jiǎng)品共 30 個(gè)，且 A 獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于 B 獎(jiǎng)品數(shù)量的 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢 的購(gòu)買方案，并說明理由 21 （10 分）模具廠計(jì)劃生產(chǎn)面積為 4，周長(zhǎng)為 m 的矩形模具對(duì)于 m 的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)” 的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下： （1）建立函數(shù)模型 設(shè)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為 x， y，由矩形的面積為 4，得 xy4，即 y ；由周長(zhǎng)為 m，得 2（ x+y） m，即 y x+ 滿足要求的（ x， y）應(yīng)是兩個(gè)函數(shù)圖象在第 象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo) （2）畫出函數(shù)圖象 函數(shù) y （ x0）的圖象如圖所示，而函數(shù) y x+ 的圖象可由直線 y x 平移得到請(qǐng)?jiān)谕?直角坐標(biāo)系中直接畫出直線 y x （3）平移直線 y x，觀察函數(shù)圖象 當(dāng)直線平移到與函數(shù) y （ x0）的圖象有唯一交點(diǎn)（2，2）時(shí)，周長(zhǎng) m 的值為 ； 在直線平移過程中，交點(diǎn)個(gè)數(shù)還有哪些情況？請(qǐng)寫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng) m 的取值范圍 （4）得出結(jié)論 若能生產(chǎn)出面積為 4 的矩形模具，則周長(zhǎng) m 的取值范圍為 22 （10 分）在 ABC 中， CA CB， ACB點(diǎn) P 是平面內(nèi)不與點(diǎn) A， C 重合的任意一點(diǎn)連接 AP，將 線段 AP 繞點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段 DP，連接 AD， BD， CP （1）觀察猜想 如圖 1，當(dāng) 60時(shí)， 的值是 ，直線 BD 與直線 CP 相交所成的較小角的度數(shù)是 （2）類比探究 如圖 2，當(dāng) 90時(shí)，請(qǐng)寫出 的值及直線 BD 與直線 CP 相交所成的小角的度數(shù)，并就圖 2 的情形 說明理由 （3）解決問題 當(dāng) 90時(shí)，若點(diǎn) E， F 分別是 CA， CB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在直線 EF 上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) C， P， D 在同一 直線上時(shí) 的值 23 （11 分）如圖，拋物線 y ax2+ x+c 交 x 軸于 A， B 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) C直線 y x2 經(jīng)過點(diǎn) A， C （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn) P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交直線 AC 于點(diǎn) M，設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m 當(dāng) PCM 是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； 作點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) B，則平面內(nèi)存在直線 l，使點(diǎn) M， B， B到該直線的距離都相等當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn) B 不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線 l： y kx+b 的解析式 （ k， b 可用含 m 的式子表示） 2019 年河南省中考數(shù)學(xué)試卷 答案與試題解析 一、選擇題（每小題 3 分，共 30 分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。 1 （3 分） 的絕對(duì)值是（） A B C2 D2 【分析】根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)進(jìn)行解答即可 【解答】解：| | ， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相 反數(shù)；0 的絕對(duì)值是 0 是解題的關(guān)鍵 2 （3 分）成人每天維生素 D 的攝入量約為 0.0000046 克數(shù)據(jù)“0.0000046”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 【分析】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)即可解答 【解答】解：0.00000464.610 6 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是很小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)負(fù)指數(shù)與 0 的個(gè)數(shù)的關(guān)系 要掌握好 3 （3 分）如圖， AB CD， B75， E27，則 D 的度數(shù)為（） A45 B48 C50 D58 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可 【解答】解： AB CD， B1， 1 D+ E， D B E752748， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答 4 （3 分）下列計(jì)算正確的是（） A2 a+3a6 a B （3 a） 26 a2 C （ x y） 2 x2 y2 D3 2 【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可； 【解答】解：2 a+3a5 a， A 錯(cuò)誤； （3 a） 29 a2， B 錯(cuò)誤； （ x y） 2 x22 xy+y2， C 錯(cuò)誤； 2 ， D 正確； 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算；熟練掌握合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn) 算法則是解題的關(guān)鍵 5 （3 分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖關(guān)于平移 前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（） A主視圖相同 B左視圖相同 C俯視圖相同 D三種視圖都不相同 【分析】根據(jù)三視圖解答即可 【解答】解：圖的三視圖為： 圖的三視圖為： 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是學(xué)生的觀察能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間 想象能力 6 （3 分）一元二次方程（ x+1） （ x1）2 x+3 的根的情況是（） A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D沒有實(shí)數(shù)根 【分析】先化成一般式后，在求根的判別式 【解答】解：原方程可化為： x22 x40， a1， b2， c4， （2） 241（4）200， 方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了根的判別式的知識(shí)點(diǎn)，把方程轉(zhuǎn)化為一般式是解決問題的關(guān)鍵 7 （3 分）某超市銷售 A， B， C， D 四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的銷售 情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（） A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元 【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算可得 【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是 510%+315%+255%+120%2.25（元） ， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義 8 （3 分）已知拋物線 y x2+bx+4 經(jīng)過（2， n）和（4， n）兩點(diǎn)，則 n 的值為（） A2 B4 C2 D4 【分析】根據(jù)（2， n）和（4， n）可以確定函數(shù)的對(duì)稱軸 x1，再由對(duì)稱軸的 x 即可求解； 【解答】解：拋物線 y x2+bx+4 經(jīng)過（2， n）和（4， n）兩點(diǎn)， 可知函數(shù)的對(duì)稱軸 x1， 1， b2； y x2+2x+4， 將點(diǎn)（2， n）代入函數(shù)解析式，可得 n4； 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵 9 （3 分）如圖，在四邊形 ABCD 中， AD BC， D90， AD4， BC3分別以點(diǎn) A， C 為圓心，大于 AC 長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) E，作射線 BE 交 AD 于點(diǎn) F，交 AC 于點(diǎn) O若點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)，則 CD 的長(zhǎng)為（） A2 B4 C3 D 【分析】連接 FC，根據(jù)基本作圖，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出 AF FC再根據(jù) ASA 證明 FOA BOC，那么 AF BC3，等量代換得到 FC AF3，利用線段的和差關(guān)系求出 FD AD AF1然后在直角 FDC 中利用勾股定理求出 CD 的長(zhǎng) 【解答】解：如圖，連接 FC，則 AF FC AD BC， FAO BCO 在 FOA 與 BOC 中， ， FOA BOC（ ASA） ， AF BC3， FC AF3， FD AD AF431 在 FDC 中， D90， CD2+DF2 FC2， CD2+123 2， CD2 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定 與性質(zhì)，難度適中求出 CF 與 DF 是解題的關(guān)鍵 10 （3 分）如圖，在 OAB 中，頂點(diǎn) O（0，0） ， A（3，4） ， B（3，4） ，將 OAB 與正方形 ABCD 組成的 圖形繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn) 90，則第 70 次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 【分析】先求出 AB6，再利用正方形的性質(zhì)確定 D（3，10） ，由于 70417+2，所以第 70 次旋 轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于 OAB 與正方形 ABCD 組成的圖形繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2 次，每次旋轉(zhuǎn) 90，此時(shí)旋轉(zhuǎn) 前后的點(diǎn) D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn) D 的坐標(biāo) 【解答】解： A（3，4） ， B（3，4） ， AB3+36， 四邊形 ABCD 為正方形， AD AB6， D（3，10） ， 70417+2， 每 4 次一個(gè)循環(huán)，第 70 次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于 OAB 與正方形 ABCD 組成的圖形繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2 次，每次旋轉(zhuǎn) 90， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（3，10） 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì) 來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30，45，60，90，180 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分。 ） 11 （3 分）計(jì)算： 2 1 1 【分析】本題涉及二次根式化簡(jiǎn)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪兩個(gè)考點(diǎn)針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí) 數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果 【解答】解： 2 1 2 1 故答案為：1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型解決此類題目的關(guān)鍵是熟 練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算 12 （3 分）不等式組 的解集是 x2 【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小 小無解了確定不等式組的解集 【解答】解：解不等式 1，得： x2， 解不等式 x+74，得： x3， 則不等式組的解集為 x2， 故答案為： x2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大； 同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵 13 （3 分）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有 2 個(gè)紅球、1 個(gè)白球，另一個(gè)裝有 1 個(gè)黃球、2 個(gè)紅球，這 些球除顏色外完全相同從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是 【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個(gè)球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得 【解答】解：列表如下： 黃 紅 紅 紅 （黃，紅） （紅，紅） （紅，紅） 紅 （黃，紅） （紅，紅） （紅，紅） 白 （黃，白） （紅，白） （紅，白） 由表知，共有 9 種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)球顏色相同的有 4 種結(jié)果， 所以摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為 ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結(jié) 果列舉出來，難度不大 14 （3 分）如圖，在扇形 AOB 中， AOB120，半徑 OC 交弦 AB 于點(diǎn) D，且 OC OA若 OA2 ，則 陰影部分的面積為 + 【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是 AOD 的面積與扇形 OBC 的面積之和再減去 BDO 的面積，本題得以解決 【解答】解：作 OE AB 于點(diǎn) F， 在扇形 AOB 中， AOB120，半徑 OC 交弦 AB 于點(diǎn) D，且 OC OA OA2 ， AOD90， BOC90， OA OB， OAB OBA30， OD OAtan30 2， AD4， AB2 AF22 6， OF ， BD2， 陰影部分的面積是： S AOD+S 扇形 OBC S BDO +， 故答案為： + 【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答 15 （3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a，點(diǎn) E 在邊 BC 上，且 BE 連接 AE，將 ABE 沿 AE 折疊，若點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B落在矩形 ABCD 的邊上，則 a 的值為 或 【分析】分兩種情況：點(diǎn) B落在 AD 邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得 AB BE，即可求出 a 的值； 點(diǎn) B落在 CD 邊上，證明 ADB B CE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出 a 的值 【解答】解：分兩種情況： 當(dāng)點(diǎn) B落在 AD 邊上時(shí)，如圖 1 四邊形 ABCD 是矩形， BAD B90， 將 ABE 沿 AE 折疊，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B落在 AD 邊上， BAE B AE BAD45， AB BE， a1， a ； 當(dāng)點(diǎn) B落在 CD 邊上時(shí)，如圖 2 四邊形 ABCD 是矩形， BAD B C D90， AD BC a 將 ABE 沿 AE 折疊，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B落在 CD 邊上， B AB E90， AB AB1， EB EB a， DB ， EC BC BE a a 在 ADB與 B CE 中， ， ADB B CE， ，即 ， 解得 a1 ， a20（舍去） 綜上，所求 a 的值為 或 故答案為 或 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小 不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性 質(zhì)進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵 三、解答題（本大題共 8 個(gè)小題，滿分 75 分） 16 （8 分）先化簡(jiǎn)，再求值：（ 1） ，其中 x 【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將 x 的值代入計(jì)算可得 【解答】解：原式（ ） ， 當(dāng) x 時(shí)，原式 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則 17 （9 分）如圖，在 ABC 中， BA BC， ABC90，以 AB 為直徑的半圓 O 交 AC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 上 不與點(diǎn) B， D 重合的任意一點(diǎn)，連接 AE 交 BD 于點(diǎn) F，連接 BE 并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) G （1）求證： ADF BDG； （2）填空： 若 AB4，且點(diǎn) E 是 的中點(diǎn)，則 DF 的長(zhǎng)為42 ； 取 的中點(diǎn) H，當(dāng) EAB 的度數(shù)為30時(shí)，四邊形 OBEH 為菱形 【分析】 （1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得 ADB AEB90，再應(yīng)用同角的余角相等可得 DAF DBG，易得 AD BD， ADF BDG 得證； （2）作 FH AB，應(yīng)用等弧所對(duì)的圓周角相等得 BAE DAE，再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱 形的性質(zhì)可得 BE OB，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得 EAB30 【解答】解：（1）證明：如圖 1， BA BC， ABC90， BAC45 AB 是 O 的直徑， ADB AEB90， DAF+ BGD DBG+ BGD90 DAF DBG ABD+ BAC90 ABD BAC45 AD BD ADF BDG（ ASA） ； （2）如圖 2，過 F 作 FH AB 于 H，點(diǎn) E 是 的中點(diǎn)， BAE DAE FD AD， FH AB FH FD sin ABDsin45 ， ，即 BF FD AB4， BD4cos452 ，即 BF+FD2 ， （ +1） FD2 FD 42 故答案為 連接 OE， EH，點(diǎn) H 是 的中點(diǎn)， OH AE， AEB90 BE AE BE OH 四邊形 OBEH 為菱形， BE OH OB AB sin EAB EAB30 故答案為：30 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形， 特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵在靈活應(yīng)用性質(zhì)定理 18 （9 分）某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)“防溺水”安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析部分信息如下： a七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖： b七年級(jí)成績(jī)?cè)?70 x80 這一組的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)如下： 年級(jí) 平均數(shù) 中位數(shù) 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根據(jù)以上信息，回答下列問題： （1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在 80 分以上（含 80 分）的有23人； （2）表中 m 的值為77.5； （3）在這次測(cè)試中，七年級(jí)學(xué)生甲與八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)都是 78 分，請(qǐng)判斷兩位學(xué)生在各自年級(jí)的 排名誰(shuí)更靠前，并說明理由； （4）該校七年級(jí)學(xué)生有 400 人，假設(shè)全部參加此次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)成績(jī)超過平均數(shù) 76.9 分的人 數(shù) 【分析】 （1）根據(jù)條形圖及成績(jī)?cè)?70 x80 這一組的數(shù)據(jù)可得； （2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得； （3）將各自成績(jī)與該年級(jí)的中位數(shù)比較可得答案； （4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中七年級(jí)成績(jī)超過平均數(shù) 76.9 分的人數(shù)所占比例可得 【解答】解：（1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在 80 分以上（含 80 分）的有 15+823 人， 故答案為：23； （2）七年級(jí) 50 人成績(jī)的中位數(shù)是第 25、26 個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第 25、26 個(gè)數(shù)據(jù)分別為 78、79， m 77.5， 故答案為：77.5； （3）甲學(xué)生在該年級(jí)的排名更靠前， 七年級(jí)學(xué)生甲的成績(jī)大于中位數(shù) 78 分，其名次在該班 25 名之前， 八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)小于中位數(shù) 78 分，其名次在該班 25 名之后， 甲學(xué)生在該年級(jí)的排名更靠前 （4）估計(jì)七年級(jí)成績(jī)超過平均數(shù) 76.9 分的人數(shù)為 400 224（人） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得出解題 所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義和意義、樣本估計(jì)總體思想的運(yùn)用 19 （9 分）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 處測(cè)得塑像底部 E 的仰角為 34，再沿 AC 方向前進(jìn) 21m 到達(dá) B 處，測(cè) 得塑像頂部 D 的仰角為 60，求炎帝塑像 DE 的高度 （精確到 1m參考數(shù)據(jù)：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73） 【分析】由三角函數(shù)求出 AC 82.1 m，得出 BC AC AB61.1 m，在 Rt BCD 中，由三角 函數(shù)得出 CD BC105.7 m，即可得出答案 【解答】解： ACE90， CAE34， CE55 m， tan CAE ， AC 82.1 m， AB21 m， BC AC AB61.1 m， 在 Rt BCD 中，tan60 ， CD BC1.7361.1105.7 m， DE CD EC105.75551 m， 答：炎帝塑像 DE 的高度約為 51m 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用 三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度適中 20 （9 分）學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國(guó)”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品已知購(gòu)買 3 個(gè) A 獎(jiǎng)品和 2 個(gè) B 獎(jiǎng)品共需 120 元；購(gòu)買 5 個(gè) A 獎(jiǎng)品和 4 個(gè) B 獎(jiǎng)品共需 210 元 （1）求 A， B 兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)； （2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買 A， B 兩種獎(jiǎng)品共 30 個(gè)，且 A 獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于 B 獎(jiǎng)品數(shù)量的 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢 的購(gòu)買方案，并說明理由 【分析】 （1）設(shè) A 的單價(jià)為 x 元， B 的單價(jià)為 y 元，根據(jù)題意列出方程組 ，即可求解； （2）設(shè)購(gòu)買 A 獎(jiǎng)品 z 個(gè)，則購(gòu)買 B 獎(jiǎng)品為（30 z）個(gè)，購(gòu)買獎(jiǎng)品的花費(fèi)為 W 元，根據(jù)題意得到由題 意可知， z （30 z） ， W30 z+15（30 z）450+15 z，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解； 【解答】解：（1）設(shè) A 的單價(jià)為 x 元， B 的單價(jià)為 y 元， 根據(jù)題意，得 ， ， A 的單價(jià) 30 元， B 的單價(jià) 15 元； （2）設(shè)購(gòu)買 A 獎(jiǎng)品 z 個(gè)，則購(gòu)買 B 獎(jiǎng)品為（30 z）個(gè)，購(gòu)買獎(jiǎng)品的花費(fèi)為 W 元， 由題意可知， z （30 z） ， z ， W30 z+15（30 z）450+15 z， 當(dāng) z8 時(shí)， W 有最小值為 570 元， 即購(gòu)買 A 獎(jiǎng)品 8 個(gè)，購(gòu)買 B 獎(jiǎng)品 22 個(gè)，花費(fèi)最少； 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；能夠根據(jù)條件列出方程組，將最優(yōu)方案 轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵 21 （10 分）模具廠計(jì)劃生產(chǎn)面積為 4，周長(zhǎng)為 m 的矩形模具對(duì)于 m 的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)” 的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下： （1）建立函數(shù)模型 設(shè)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為 x， y，由矩形的面積為 4，得 xy4，即 y ；由周長(zhǎng)為 m，得 2（ x+y） m，即 y x+ 滿足要求的（ x， y）應(yīng)是兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo) （2）畫出函數(shù)圖象 函數(shù) y （ x0）的圖象如圖所示，而函數(shù) y x+ 的圖象可由直線 y x 平移得到請(qǐng)?jiān)谕?直角坐標(biāo)系中直接畫出直線 y x （3）平移直線 y x，觀察函數(shù)圖象 當(dāng)直線平移到與函數(shù) y （ x0）的圖象有唯一交點(diǎn)（2，2）時(shí)，周長(zhǎng) m 的值為8； 在直線平移過程中，交點(diǎn)個(gè)數(shù)還有哪些情況？請(qǐng)寫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng) m 的取值范圍 （4）得出結(jié)論 若能生產(chǎn)出面積為 4 的矩形模具，則周長(zhǎng) m 的取值范圍為 m8 【分析】 （1） x， y 都是邊長(zhǎng)，因此，都是正數(shù)，即可求解； （2）直接畫出圖象即可； （3）把點(diǎn)（2，2）代入 y x+ 即可求解；在直線平移過程中，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有：0 個(gè)、1 個(gè)、2 個(gè) 三種情況，聯(lián)立 y 和 y x+ 并整理得： x2 mx+40，即可求解； （4）由（3）可得 【解答】解：（1） x， y 都是邊長(zhǎng)，因此，都是正數(shù)， 故點(diǎn)（ x， y）在第一象限， 答案為：一； （2）圖象如下所示： （3）把點(diǎn)（2，2）代入 y x+ 得： 22+ ，解得： m8； 在直線平移過程中，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有：0 個(gè)、1 個(gè)、2 個(gè)三種情況， 聯(lián)立 y 和 y x+ 并整理得： x2 mx+40， m2440 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)， 解得： m8； （4）由（3）得： m8 【點(diǎn)評(píng)】本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)平移等知識(shí)點(diǎn)，此類 探究題，通常按照題設(shè)條件逐次求解，一般難度不大 22 （10 分）在 ABC 中， CA CB， ACB點(diǎn) P 是平面內(nèi)不與點(diǎn) A， C 重合的任意一點(diǎn)連接 AP，將 線段 AP 繞點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段 DP，連接 AD， BD， CP （1）觀察猜想 如圖 1，當(dāng) 60時(shí)， 的值是1，直線 BD 與直線 CP 相交所成的較小角的度數(shù)是 60 （2）類比探究 如圖 2，當(dāng) 90時(shí)，請(qǐng)寫出 的值及直線 BD 與直線 CP 相交所成的小角的度數(shù)，并就圖 2 的情形 說明理由 （3）解決問題 當(dāng) 90時(shí)，若點(diǎn) E， F 分別是 CA， CB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在直線 EF 上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) C， P， D 在同一 直線上時(shí) 的值 【分析】 （1）如圖 1 中，延長(zhǎng) CP 交 BD 的延長(zhǎng)線于 E，設(shè) AB 交 EC 于點(diǎn) O證明 CAP BAD（ SAS） ， 即可解決問題 （2）如圖 2 中，設(shè) BD 交 AC 于點(diǎn) O， BD 交 PC 于點(diǎn) E證明 DAB PAC，即可解決問題 （3）分兩種情形：如圖 31 中，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 PC 上時(shí)，延長(zhǎng) AD 交 BC 的延長(zhǎng)線于 H證明 AD DC 即可解決問題 如圖 32 中，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 CD 上時(shí)，同法可證： DA DC 解決問題 【解答】解：（1）如圖 1 中，延長(zhǎng) CP 交 BD 的延長(zhǎng)線于 E，設(shè) AB 交 EC 于點(diǎn) O PAD CAB60， CAP BAD， CA BA， PA DA， CAP BAD（ SAS） ， PC BD， ACP ABD， AOC BOE， BEO CAO60， 1，線 BD 與直線 CP 相交所成的較小角的度數(shù)是 60， 故答案為 1，60 （2）如圖 2 中，設(shè) BD 交 AC 于點(diǎn) O， BD 交 PC 于點(diǎn) E PAD CAB45， PAC DAB， ， DAB PAC， PCA DBA， ， EOC AOB， CEO OABB45， 直線 BD 與直線 CP 相交所成的小角的度數(shù)為 45 （3）如圖 31 中，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 PC 上時(shí)，延長(zhǎng) AD 交 BC 的延長(zhǎng)線于 H CE EA， CF FB， EF AB， EFC ABC45， PAO45， PAO OFH， POA FOH， H APO， APC90， EA EC， PE EA EC， EPA EAP BAH， H BAH， BH BA， ADP BDC45， ADB90， BD AH， DBA DBC22.5， ADB ACB90， A， D， C， B 四點(diǎn)共圓， DAC DBC22.5， DCA ABD22.5， DAC DCA22.5， DA DC，設(shè) AD a，則 DC AD a， PD a， 2 如圖 32 中，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 CD 上時(shí)，同法可證： DA DC，設(shè) AD a，則 CD AD a， PD a， PC a a， 2+ 【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全 等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似 三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題 23 （11 分）如圖，拋物線 y ax2+ x+c 交 x 軸于 A， B 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) C直線 y x2 經(jīng)過點(diǎn) A， C （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn) P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交直線 AC 于點(diǎn) M，設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m 當(dāng) PCM 是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； 作點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) B，則平面內(nèi)存在直線 l，使點(diǎn) M， B， B到該直線的距離都相等當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn) B 不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線 l： y kx+b 的解析式 （ k， b 可用含 m 的式子表示） 【分析】 （1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) A， C 的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) A， C 的坐標(biāo)，利用待 定系數(shù)法可求出二次函數(shù)解析式； （2）由 PM x 軸可得出 PMC90，分 MPC90及 PCM90兩種情況考慮：（ i）當(dāng) MPC90時(shí)， PC x 軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（ ii）當(dāng) PCM90時(shí)，設(shè) PC 與 x 軸交于點(diǎn) D，易證 AOC COD，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn) D 的坐 標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) C， D 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線 PC 的解析式，聯(lián)立直線 PC 和拋物線的解析式成 方程組，通過解方程組可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)綜上，此問得解； 利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn) B， P 的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) P， B 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可 求出直線 PB 的解析式，結(jié)合題意可知：直線 l 過點(diǎn) C，且直線 l直線 PB，再結(jié)合點(diǎn) C 的坐標(biāo)即可求 出直線 l 的解析式 【解答】解：（1）當(dāng) x0 時(shí)， y x22， 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，2） ； 當(dāng) y0 時(shí)， x20， 解得： x4， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（4，0） 將 A（4，0） ， C（0，2）代入 y ax2+ x+c，得： ，解得： ， 拋物線的解析式為 y x2+ x2 （2） PM x 軸， PMC90， 分兩種情況考慮，如圖 1 所示 （ i）當(dāng) MPC90時(shí)， PC x 軸， 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為2 當(dāng) y2 時(shí)， x2+ x22， 解得： x12， x20， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，2） ； （ ii）當(dāng) PCM90時(shí)，設(shè) PC 與 x 軸交于點(diǎn) D OAC+ OCA90， OCA+ OCD90， OAC OCD 又 AOC COD90， AOC COD， ，即 ， OD1， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（1，0） 設(shè)直線 PC 的解析式為 y kx+b（ k0） ， 將 C（0，2） ， D（1，0）代入 y kx+b，得： ，解得： ， 直線 PC 的解析式為 y2 x2 聯(lián)立直線 PC 和拋物線的解析式成方程組，得： ， 解得： ， ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（6，10） 綜上所述：當(dāng) PCM 是直角三角形時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，2）或（6，10） 當(dāng) y0 時(shí)， x2+ x20， 解得： x14， x22， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2，0） 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m（ m0 且 m0） ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， m2+ m2） ， 直線 PB 的解析式為 y （ m+4） x （ m+4） （可利用待定系數(shù)求出） 點(diǎn) B， B關(guān)于點(diǎn) C 對(duì)稱，點(diǎn) B， B， P 到直線 l 的距離都相等， 直線 l 過點(diǎn) C，且直線 l直線 PB， 直線 l 的解析式為 y （ m+4） x2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn) 的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān) 鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）分 MPC90及 PCM90兩種情況求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；利用待定系數(shù)法及平行線的性質(zhì)，求出直線 l 的解析式 聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布 日期：2019/7/1 8:49:30；用戶：初中數(shù)學(xué) 6；郵箱：；學(xué)號(hào)：24955684