高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.3 二項(xiàng)式定理課件(理).ppt

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第三節(jié) 二項(xiàng)式定理,【知識(shí)梳理】 1.二項(xiàng)式定理 (a+b)n=_______________________________________, 其中右端為(a+b)n的二項(xiàng)展開式. 2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 第k+1項(xiàng)為:Tk+1=_______.,3.二項(xiàng)式系數(shù) (1)定義:二項(xiàng)式系數(shù)為:______________________.,(k∈{0,1,2,…,n}),(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),,,,,,,,,【特別提醒】 1.二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為n+1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)開始,次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1直到零;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增加1直到n.,2.二項(xiàng)式系數(shù)與展開式項(xiàng)的系數(shù)的異同 在Tk+1= an-kbk中, 是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),與該項(xiàng)的 系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者只是指 ,只與n和k有關(guān), 恒為正,后者還與a,b有關(guān),可正可負(fù). 3.二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng) 式系數(shù)的關(guān)系:,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-3P37習(xí)題1.3A組T5(2)改編)二項(xiàng)式 的展開式中,常數(shù)項(xiàng)的值是 ( ) A.240 B.60 C.192 D.180,【解析】選A.二項(xiàng)式 展開式的通項(xiàng)為Tr+1= 令6-3r=0,得r=2,所以常數(shù) 項(xiàng)為,2.(選修2-3P37習(xí)題1.3A組T4(2)改編)二項(xiàng)式(2a3- 3b2)10的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 . 【解析】令a=1,b=1,得:(2-3)10=1. 答案:1,感悟考題 試一試 3.(2015陜西高考)二項(xiàng)式(x+1)n(n∈N*)的展開式中 x2的系數(shù)為15,則n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】選C.二項(xiàng)式(x+1)n(n∈N*)展開式的通項(xiàng)公式 為Tr+1= ,令n-r=2,則 =15,解之得r=4,n=6,故C 正確.,4.(2015天津高考)在 的展開式中,x2的系數(shù) 為 . 【解析】 所以當(dāng)r=2時(shí),x2的系數(shù) 為 . 答案:,5.(2014全國卷Ⅱ)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15, 則a= .(用數(shù)字填寫答案) 【解析】因?yàn)? 所以 解得a= . 答案:,6.(2014全國卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系 數(shù)為 .(用數(shù)字填寫答案) 【解析】因?yàn)?x+y)8的展開式的通項(xiàng)為Tk+1= (0≤k≤8,k∈N), 當(dāng)k=7時(shí), 當(dāng)k=6時(shí),T7= x2y6=28x2y6, 所以(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的項(xiàng)為x8xy7+ (-y)28x2y6=-20x2y7,故系數(shù)為-20. 答案:-20,考向一 二項(xiàng)展開式的應(yīng)用 【典例1】(1)(2016商丘模擬)設(shè)復(fù)數(shù) (i是虛 數(shù)單位),則 = ( ) A.i B.-i C.-1+i D.-1-i,(2)設(shè)a∈Z,且0≤a13,若512016+a能被13整除, 則a= ( ) A.0 B.1 C.11 D.12,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)待求式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)系二項(xiàng)展開 式,逆用二項(xiàng)式定理求解. (2)將512016分解成含有13的倍數(shù)的因式的形式.,【規(guī)范解答】(1)選D. =(1+x)2015-1=i2015-1=-1-i. (2)選D.由于51=52-1, 又由于13整除52,所以只需13整除1+a,0≤a13,a∈Z, 所以a=12.,【規(guī)律方法】 1.逆用二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵 根據(jù)所給式的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)展開式的要求,使之具 備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu),然后逆用二項(xiàng)式定理求解.,2.利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的思路 (1)觀察除式與被除式間的關(guān)系. (2)將被除式拆成二項(xiàng)式. (3)結(jié)合二項(xiàng)式定理得出結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】(2016成都模擬)487被7除的余數(shù)為 a(0≤a7),則 展開式中x-3的系數(shù)為 ( ) A.4320 B.-4320 C.20 D.-20,【解析】選B. 因?yàn)?87被7除的余數(shù)為a(0≤a7),所以a=6, 所以 展開式的通項(xiàng)為 令6-3r=-3,可得r=3,所以 展開式中x-3的系數(shù) 為 (-6)3=-4320.,【加固訓(xùn)練】(2016武漢模擬)若 能被7整除,則x,n的值可能為 ( ) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5,【解析】選C. 當(dāng)x=5,n=4時(shí),(1+x)n-1=64-1=3537, 能被7整除,故選C.,考向二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或各項(xiàng)系數(shù)和 【典例2】(1)(2015湖北高考)已知(1+x)n的展開式 中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng) 式系數(shù)和為 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29 (本題源自A版選修2-3P37A組T8),(2)(2015全國卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù) 次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a= . (本題源自A版選修2-3P40A組T8(1)),【解題導(dǎo)引】(1)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).二項(xiàng)式系數(shù) 之和為2n.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式 系數(shù)和. (2)求出(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng),從而 確定a的值.,【規(guī)范解答】(1)選D. n=3+7=10,二項(xiàng)式系數(shù)之 和為210.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式 系數(shù)和,所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29. (2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得a=3. 答案:3,【母題變式】1.若本例題(2)條件“x的奇數(shù)次冪項(xiàng)” 變?yōu)椤捌鏀?shù)項(xiàng)”,則a的值是 . 【解析】由(2)解析得(a+x)(1+x)4的展開式中的奇數(shù) 項(xiàng)分別為a,(6a+4)x2,(a+4)x4,所以其系數(shù)為a+(6a+4) +(a+4)=32,解得a=3. 答案:3,2.若本例題(2)條件“x的奇數(shù)次冪項(xiàng)”變?yōu)椤案?項(xiàng)”,“32”變?yōu)椤?28”,則實(shí)數(shù)a的值為多少? 【解析】由題意令x=1,得(a+1)(1+1)4=128,解得a=7.,【易錯(cuò)警示】解答本例題(2)會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: (1)“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”混淆而致誤. (2)“奇數(shù)次冪項(xiàng)”與“奇數(shù)項(xiàng)”混淆而致誤.,【規(guī)律方法】 1.賦值法的應(yīng)用 二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少時(shí),應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,-1或0”,有時(shí)也取其他值.如:,(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=1即可. (2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.,2.二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的求法 一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)的展 開式中(1)各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1). (2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…= (3)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=,【變式訓(xùn)練】(2016石家莊模擬)已知(x-m)7=a0+a1x +a2x2+…+a7x7的展開式中x4的系數(shù)是-35,則a1+a2+a3 +…+a7= .,【解析】因?yàn)門r+1= x7-r(-m)r, 所以 ? 所以當(dāng)x=1時(shí),a0+a1+a2+…+a6+a7=0, 當(dāng)x=0時(shí),a0=-1,所以a1+a2+a3+…+a7=1. 答案:1,【加固訓(xùn)練】 1.(2016長春模擬)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2 (x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+…+a11的值 為 ( ) A.0 B.-5 C.5 D.255 【解析】選C.令x=2得a0=-5,令x=3得a0+a1+a2+…+a11=0, 所以a1+a2+…+a11=-a0=5.,2.設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,若a1+a2+a3+…+ an=63,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 ( ) A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3,【解析】選B.在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中, 令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+an=2n;令x=0可得a0=1.依題 意得:2n-1=63,解得:n=6,所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 為 x3=20x3.,3.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,則a0+a1+2a2+3a3= .,【解析】令x=-2得a0=-1. 令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此a1+2a2+4a3=14. 因?yàn)? 所以a3=8. 所以a1+2a2+3a3=14-a3=6. 所以a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 答案:5,考向三 展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)的確定與應(yīng)用 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題 【典例3】(2015重慶高考) 的展開式中 x8的系數(shù)是 (用數(shù)字作答). (本題源自A版選修2-3P40A組T8(2)),【解題導(dǎo)引】展開式中x8為第3項(xiàng),直接利用通項(xiàng)公式 展開即可求出x8的系數(shù). 【規(guī)范解答】由二項(xiàng)式定理可知 所以展開式中x8的系數(shù)是 . 答案:,命題方向2:多項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題 【典例4】(2015全國卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展開式中, x5y2的系數(shù)為 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【解題導(dǎo)引】先將三項(xiàng)式變形為二項(xiàng)式,再用通項(xiàng)公式 求解.,【規(guī)范解答】選C.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 令y2的項(xiàng)為T3= (x2+x)3y2, 其中(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為 所以x5y2的系數(shù)為 =30.,【一題多解】解答本題,還有以下解法: 選C.(利用組合知識(shí)求解)在(x2+x+y)5的5個(gè)因式中, 2個(gè)取因式中x2,剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x,其余因式 取y,故x5y2的系數(shù)為 =30.,【技法感悟】 1.求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路 (1)利用通項(xiàng)公式將Tk+1項(xiàng)寫出并化簡. (2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),指數(shù)為零; 求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等),解出k. (3)代回通項(xiàng)得所求.,2.求多項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的方法 (1)對(duì)于三項(xiàng)式問題,一般先變形化為二項(xiàng)式,再用通項(xiàng) 公式求解,或用組合知識(shí)求解. (2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題,一般 對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式,再結(jié)合與其他因式相乘情況求 解特定項(xiàng),或根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合知識(shí)求解, 但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類思想,以免重復(fù)或遺漏.,(3)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)問題,只需 依據(jù)各個(gè)二項(xiàng)展開式中分別得到符合要求的項(xiàng),再求和 即可.,【題組通關(guān)】 1.(2016洛陽模擬) 的展開式中的 常數(shù)項(xiàng)為 ( ) A.32 B.34 C.36 D.38,【解析】選D. 的展開式的通項(xiàng)為 Tk+1= 令12-4k=0,解得k=3, 的展開式的通項(xiàng)為Tr+1 令8-2r=0,得r=4, 所以所求常數(shù)項(xiàng)為,2.(2016重慶模擬) 的展開式的常數(shù) 項(xiàng)是 . 【解析】 故它的展開式的常數(shù)項(xiàng) 為 -2=3. 答案:3,3.(2016太原模擬)二項(xiàng)式 的展開式中x的 系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)m等于 .(用數(shù)字填寫答案) 【解析】由題意得: 所以5-2r=1, 解得r=2,m=1. 答案:1,4.(2016南昌模擬) 展開式中的常數(shù)項(xiàng) 為 . 【解析】 由二項(xiàng)式定理知(x-1)8 的通項(xiàng)為Tr+1= 令r=4得T5= 故 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為70. 答案:70,