高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 直線和圓的方程 9.1 直線方程和兩條直線的位置關(guān)系課件(理) 新人教B版.ppt

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9.1 直線方程和兩條直線的位置關(guān)系,高考理數(shù),1.直線的傾斜角與斜率,知識清單,任何直線都有傾斜角,當(dāng)傾斜角為90時(shí),斜率不存在. 2.兩條直線的斜率與這兩條直線平行、垂直的關(guān)系,3.直線方程的幾種形式,4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)兩條直線的方程為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則這兩條直線的 交點(diǎn)坐標(biāo) 就是方程組 的解. (1)若方程組有唯一解,則這兩條直線 相交 ,此解就是 交點(diǎn)坐標(biāo) ; (2)若方程組無解,則這兩條直線 平行 ,此時(shí)這兩條直線 無交點(diǎn) ,反之,亦成立. 5.距離,【知識拓展】 符合特定條件的某些直線構(gòu)成一個(gè)直線系,常見的直線系方程有如下幾種: (1)過定點(diǎn)M(x0,y0)的直線系方程為k(y-y0)=x-x0. (2)和直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+C=0(C≠C). (3)和直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+C=0. (4)經(jīng)過兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0(這個(gè)直線系不包括直線A2x+B2y+C2=0).,,求傾斜角α的取值范圍的一般步驟: (1)求出tan α的取值范圍; (2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象,確定傾斜角α的取值范圍. 例1 (2015山東濰坊期末,5,5分)若過點(diǎn)P(-2 ,-2)的直線與圓x2+y2=4有公共點(diǎn),則該直線的傾斜 角的取值范圍是( ) A. B. C. D.,突破方法,方法1 直線的傾斜角與斜率,設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程 根據(jù)圓心到直線 的距離小于或等于 半徑列不等式 求出k的取值范圍 結(jié)論 解析 易知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y+2=k(x+2 ), 即kx-y+2 k-2=0, 因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn), 所以 ≤2,解得0≤k≤ , 所以直線的傾斜角的取值范圍是 . 答案 B,解題導(dǎo)引,1.判定兩直線平行的方法 (1)判定兩直線的斜率是否存在,若都存在,則化成斜截式,若k1=k2且b1≠b2,則兩直線平行;若斜率 都不存在,還要判定兩直線是否重合. (2)直接用以下方法,可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論: 設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0. 2.判定兩直線垂直的方法 (1)判定兩直線的斜率是否存在,若存在,則化成斜截式,若k1k2=-1,則兩直線垂直;若一條直線的斜 率不存在,另一條直線的斜率為0,則兩直線也垂直. (2)直接用以下方法,可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論:設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 則l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.,方法2 兩條直線的平行與垂直,A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解題導(dǎo)引 由垂直得兩直線方程中系數(shù)關(guān)系 求a 結(jié)論 解析 若l1⊥l2,則a(3-a)+2(-1)=0, 解得a=1或a=2, 所以“a=1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件,故選B. 答案 B 2-1 已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.試確定m,n的值,使: (1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1. 解析 (1)由題意得 ∴,例2 (2015四川德陽二診,2)已知直線l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,則“a=1”是“l(fā)1⊥l2”的 ( ),(2)由mm-82=0得m=4. 由8(-1)-nm≠0得n≠?2. 即當(dāng)m=4,n≠-2或m=-4,n≠2時(shí),l1∥l2. (3)當(dāng)且僅當(dāng)m2+8m=0,即m=0時(shí),l1⊥l2. 又- =-1,∴n=8, 即m=0,n=8時(shí),l1⊥l2且l1在y軸上的截距為-1.,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),需把直線方程化為一般式;運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí),需 先把兩平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式. 例3 若動點(diǎn)A、B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小 值為 ( ) A.3 B.2 C.3 D.4 解題導(dǎo)引 平行線間 距離公式 求M點(diǎn)的 軌跡方程 點(diǎn)到直線的 距離公式 結(jié)論 解析 依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離都相等的直線,則M到原 點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離,設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為x+y+m=0,根據(jù)平行線間的 距離公式得 = ,解得m=-6,即x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得M到原點(diǎn)的距離的 最小值為 =3 .,方法3 距離問題,答案 A 3-1 已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為 . 答案 解析,如圖,過圓心C作直線l:x-y+4=0的垂線,交圓C于A,垂足為D,則AD的長即為所求. ∵圓C:(x-1)2+(y-1)2=2的圓心為C(1,1),半徑為 ,點(diǎn)C到直線l:x-y+4=0的距離為d= =2 , ∴|AD|=|CD|-|AC|=2 - = ,故圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為 .,對稱包括中心對稱和軸對稱兩種情形. 常見對稱問題的求解方法: (1)中心對稱 ①若點(diǎn)M(x1,y1)與N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ②若直線關(guān)于點(diǎn)對稱,則在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩 點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程,或者求出一個(gè)對稱點(diǎn),再利用l1∥l2,由點(diǎn)斜式得到所求直線方 程. (2)軸對稱 ①點(diǎn)關(guān)于直線的對稱 若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在對稱軸l上,而且連結(jié)P1 P2的直線垂直于對稱軸l,由方程組 可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的,方法4 對稱問題,坐標(biāo)(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2). ②直線關(guān)于直線的對稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交; 二是已知直線與對稱軸平行. 例4 已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分線的方程為y=x+1,則直線AC的方程為 ( ) A.y=2x+4 B.y=x-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0 解題導(dǎo)引 求點(diǎn)B關(guān)于∠ACB的平分線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo) 求直線AC的斜率k 得到直線AC的方程 解析 設(shè)點(diǎn)B(-1,2)關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為B(x0,y0), 則有 ? 即B(1,0).,因?yàn)锽(1,0)在直線AC上, 所以直線AC的斜率為k= = , 所以直線AC的方程為y-1= (x-3), 即x-2y-1=0.故C正確. 答案 C 4-1 在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小. 解析 (1)設(shè)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B,AB的延長線交l于P0,在l上另任取一點(diǎn)P,則|PA|-|PB|=|PA|-|PB| |AB|=|P0A|-|P0B|=|P0A|-|P0B|,則P0即為所求.,易求得直線BB的方程為x+3y-12=0, 設(shè)B(a,b),則a+3b-12=0,① 又線段BB的中點(diǎn) 在l上,故3a-b-6=0.② 由①②解得a=3,b=3,所以B(3,3).,所以AB所在直線的方程為2x+y-9=0. 由 可得P0(2,5). (2)設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C,與(1)同理可得C . 連結(jié)AC交l于P1,在l上另任取一點(diǎn)P,有|PA|+|PC|=|PA|+|PC||AC|=|P1C|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即 為所求. 又AC:19x+17y-93=0, 聯(lián)立 得P1 .,