高等數(shù)學(同濟第六版)課件第四、五章 4. 換元積分法

1.若 稱 函 數(shù) F(x)為 f (x) 的 原 函 數(shù) ,)()( xfxF 稱 F(x)+C為 f (x) 的 不 定 積 分 。2. 設 f(x)在 a,b上 連 續(xù) ， F(x)是 f(x)的 原 函 數(shù) ， 則ba dxxf )( )()( aFbF 3. 設 f(x)在 a,b上 連 續(xù) ， 則 )()( xfdttfxa .cossin )1( 20 3 xdxx求 積 分 .)ln1(ln )2( 43 ee xxx dx .)ln1(ln )2( 43 ee xxx dx 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 2)ln(1 ln2 ee xxd 43)lnarcsin(2 eex .6 定 理 設 (1) 函 數(shù) f (x)在 a,b上 連 續(xù) ； (2)函 數(shù) x=(t)在 ,上 有 連 續(xù) 導 數(shù) ; (3)當 t 在 ,上 變 化 時 , x=(t)在 a,b上 變 化 ， 且 ()=a, ()=b; 則 dtttfdxxfba )()()(應 用 換 元 公 式 時 應 注 意 :(1)換 積 分 限 .(2)求 出 不 定 積 分 后 代 入 新 變 量 的 上 、 下 限 . 證 設 F(x)是 f (x) 的 一 個 原 函 數(shù) ，),()()( aFbFdxxfba )( tF )()( ttF ),()( ttf 則 是 的 一 個 原 函 數(shù) ，)( tF )()( ttf dtttf )()( )()( FF ),()( aFbF dxxfba )( .)()( dtttf 例 1 計 算 積 分 .12 2)1( 40 dxxx 解 令 12 xt tdtdx)1(21 2 txdxxx 40 12 2 tdttt 31 2 2)1(21dtt )3(21 231 313 33121 tt 322 基 本 類 型 6： 當 被 積 函 數(shù) 含 有 時 ，n baxn baxt 可 做 代 換.)1()2( 10 1002 dxxx 解 令 xt 1 dtdx 0 x ,1t1x ,0tdxxx 10 1002 )1( dttt 01 1002)1(dtttt 10 1002)21( dtttt 10 102101100 )2(10103102101 )103110221011( ttt 103110221011 證 令 x= t, 則 dx= dt aa a dxxfdxxf 0 )(2)( aa dxxf 0)(例 2 設 f (x)在 -a,a上 連 續(xù) ， 若 f (x)為 偶 函 數(shù) ， 則 若 f (x)為 奇 函 數(shù) ， 則0 )(a dxxf 0 )(a dttf a dttf0 )( a dxxf0 )( ),()( xfxf aa dxxf )( ;)(2 0 a dxxf),()( xfxf aa dxxf )( .0 若 f (x)為 偶 函 數(shù) ， 若 f (x)為 奇 函 數(shù) ， ,)()()( 00 aa aa dxxfdxxfdxxf ,)()(0 a dxxfxf a dxxfxf0 )()( a dxxfxf0 )()( a dxxf0 )( a dxxf0 )( 奇函數(shù)例 3 計 算 .11 cos211 22 dxx xxx 11 2211 2 dxxx 11 211 cos dxxxx偶函數(shù) 10 22114 dxxx 10 2 22 )1(1 )11(4 dxx xx 10 2)11(4 dxx 10 2144 dxx.4 單位圓的面積 例 4 設 xx xxexf x 0 cos1 1 01 )( 2 dxxf )2(: 41 計算解 設 t = x 2 則 x= 1時 , t = 1; x= 4時 ,t=2dxxf )2(41 dttf )(21 dttf )(01 dttf )(20dtet t201 dtt 20 cos1 1 01221 te dtt 20 2 2sec21)1(21 e 202tant )1(21 e 1tan 例 5 若 f (x)是 ( , ) 上 以 T 為 周 期 的 連 續(xù) 函 數(shù) ，證 明 TTaa dxxfdxxf 0 )()()1( TnTaa dxxfndxxf 0 )()()2(并 由 此 計 算 n dxx0 2sin1證 (1) 記 Taa dxxfa )()( )()( Taa dxxfa )()( 00 aTa dxxfdxxf0)()( afTaf ,)()( Cdxxfa Taa CdxxfT 0 )()0( TTaa dxxfdxxf 0 )()( nTaa dxxf )()2( Taa dxxf )( TTaTa dxxf)( )( TTna Tna dxxf)1( )1( )(T dxxf0 )( TT dxxfdxxf 00 )()( T dxxfn 0 )( n dxx0 2sin1 0 2sin1 dxxn 0 2)cos(sin dxxxn 0 |cossin| dxxxn 0 |)4sin(2| dxxn (令 ) 4 xt 454 |sin|2 dttn 0 |sin|2 dttn 0 sin2 tdtn 0cos2 tn n22 44 |sin|2 dttn 證 （ 1） 設 tx 2 ,dtdx 0 x ,2t 2x ,0 t 2020 )(cos)(sin )1( dxxfdxxf 00 )(sin2)(sin )2( dxxfdxxxf 0 2cos1 sin dxxxx例 6 若 f (x)在 0,1上 連 續(xù) , 證 明由 此 計 算 20 )(sin dxxf 02 )2sin( dttf 20 )(cos dttf ;)(cos20 dxxf（ 2） 設 tx ,dtdx 0 x ,t x ,0t0 )(sin dxxxf 0 )sin()( dttft,)(sin)(0 dttft 0 )(sin dttf 0 )(sin dtttf 0 )(sin dxxf ,)(sin0 dxxxf .)(sin2)(sin 00 dxxfdxxxf 0 2cos1 sin dxxxx 0 2cos1 sin2 dxxx 0 2 )(coscos1 12 xdx 0)arctan(cos2 x.42)44(2 0 )(sin dxxxf 練 習 (1) 計 算 0 2sin1 dxx(2) 證 明 200 sin2sin xdxxdx nn (1) 0 2sin1 dxx 0 2)cos(sin dxxx 0 |cossin| dxxx 0 |)4sin(|2 dxx )4( xt 434 |sin|2 dtt 44 |sin|2 dtt 0 |sin|2 dtt 0 sin2 tdt 22 220 sinsin xdxxdx nntx 設2sin xdxn 20 sin tdtn 20 sin xdxn (2) 證 0 sin xdxn 02 )(sin dttn 200 sin2sin xdxxdx nn 定 理 是 單 調(diào) 的 、 可 導 的 函 數(shù) ， 且 )( tx 設,0)( t 具 有 原 函 數(shù) ， )()( ttf 則 dtttfdxxf )()()(求微分換元積分用 法 ： dxxf )( )()( tdtf dtttf )()( )0( 22 adxxa例 7 求 積 分解 設 x=asint , 則 dx=acostdt )22( tdxxa 22 tdtataa cos)sin( 22 dtta 22cos dtta )2cos1(22Ctata 2sin42 22 Cxaxaxa 222 21arcsin2 Cttata cossin22 22 例 8 求 積 分解 令 x=atant ).0(1 22 adxax tdtadx 2sec dxax 221 tdtata 2secsec1 tdtsec Ctt tansecln t a x22 ax .ln 22 Ca axax 2,2t.)ln( 22 Caxx 例 8 求 積 分 ).0(1 22 adxax另 解 令 x=asht， 則 dx=achtdtdxax 221 achtdtatsha 222 1achtdtacht 1 Ctdtt Caxarsh .)ln( 22 Caxx 基 本 類 型 7： 當 被 積 函 數(shù) 含 有 時 ，22 xa 可 做 代 換 x asint基 本 類 型 8： 當 被 積 函 數(shù) 含 有 時 ，22 ax 可 做 代 換 x atant或 x asht基 本 類 型 9： 當 被 積 函 數(shù) 含 有 時 ，22 ax 可 做 代 換 x asect或 x acht