高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第十一章 計數(shù)原理 11.1 排列、組合課件(理) 新人教B版.ppt

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11.1 排列、組合,高考理數(shù),1.計數(shù)原理 (1)分類加法計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類方案中有m2種不同 的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事情共有N= m1+m2+…+mn 種不 同的方法. (2)分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成n個不同的步驟,完成第一步有m1種不同的方法,完成第二步有m2種不同 的方法,……,完成第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事情共有N= m1m2…mn 種不同的 方法. (3)兩個原理的區(qū)別 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在 于:分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;,知識清單,分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān),各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成. 2.排列與組合 (1),(2),【知識拓展】 1.對兩個原理的進一步理解 分類加法計數(shù)原理中,“完成一件事,有n類辦法”,是說每種辦法“互斥”,即每種方法都可以獨 立地完成這件事,同時它們之間沒有重復(fù)也沒有遺漏.進行分類時,要求各類辦法彼此之間是相 互排斥的,不論哪一類辦法中的哪一種方法,都能獨立完成這件事.只有滿足這個條件,才能直接 用分類加法計數(shù)原理,否則不可以. 分步乘法計數(shù)原理中,“完成一件事,需要分成n個步驟”,是說每個步驟都不足以完成這件事,這 些步驟彼此間也不能有重復(fù)和遺漏. 2.解排列、組合問題要遵循兩個原則:一是按元素或位置的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過,程進行分步,常見的策略: (1)特殊元素優(yōu)先安排策略;(2)合理分類與準確分步的策略; (3)排列、組合混合問題先選后排策略;(4)正難則反,等價轉(zhuǎn)化的策略; (5)相鄰問題捆綁處理策略;(6)不相鄰問題插空處理的策略; (7)定序問題用除法的策略.,對于排列問題,一般情況下,我們會從受到限制的特殊元素開始考慮,有時也從特殊的位置 開始討論.對于相鄰問題,常用“捆綁法”;對于不相鄰問題,常用“插空法”;對于“在與不在” 的問題,常常使用“直接法”或“排除法”. 例1 (2015四川綿陽一模,15,10分)有4名男生、5名女生,全體排成一行,下列情形各有多少種不 同的排法? (1)甲不在中間也不在兩端; (2)甲、乙兩人必須排在兩端; (3)男女相間. 解析 (1)解法一:元素分析法.先排甲有6種,再排其余人有 種,故共有6 =241 920種排法. 解法二:位置分析法.中間和兩端有 種排法,包括甲在內(nèi)的其余6人有 種排法,故共有 =3 36720=241 920種排法. 解法三:等機會法.9個人全排列有 種,甲排在每一個位置的機會都是均等的,依題意得,甲不在,突破方法,方法1 排列問題,中間及兩端的排法總數(shù)是 =241 920. 解法四:間接法. -3 =6 =241 920(種). (2)先排甲、乙,再排其余7人. 共有 =10 080種排法. (3)插空法.先排4名男生有 種排法,再將5名女生插空,有 種排法,故共有 =2 880種排法. 1-1 用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相 鄰,這樣的六位數(shù)的個數(shù)是 .(用數(shù)字作答) 答案 40 解析 先將3,5排列,有 種排法;再將4,6插空排列,有2 種排法;最后將1,2插入3,4,5,6形成的空 中,有 種排法.由分步乘法計數(shù)原理知,共有 2 =40種.,組合問題的常見類型及處理方法: (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補 足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“最多” 這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜 時,考慮逆向思維,用間接法處理. 例2 (2015北京海淀2月月考,19,10分)現(xiàn)有男運動員6名,女運動員4名,其中男女隊長各1人.選派 5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法? (1)男運動員3名,女運動員2名; (2)至少有1名女運動員; (3)隊長中至少有1人參加; (4)既要有隊長,又要有女運動員. 解析 (1)第一步:選3名男運動員,有 種選法.,方法2 組合問題,第二步:選2名女運動員,有 種選法. 共有 =120(種)選法. (2)解法一:至少有1名女運動員包括以下幾種情況: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為 + + + =246(種). 解法二:“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”,可用間接法求解. 從10人中任選5人有 種選法,其中全是男運動員的選法有 種. 所以“至少有1名女運動員”的選法為 - =246(種). (3)解法一:可分類求解: “只有男隊長”的選法有 種; “只有女隊長”的選法有 種; “男、女隊長都入選”的選法有 種; 所以共有2 + =196(種)選法. 解法二:間接法:,從10人中任選5人有 種選法, 其中不選隊長的方法有 種,所以“至少有1名隊長”的選法為 - =196(種). (4)當有女隊長時,其他人任意選,共有 種選法.不選女隊長時,必選男隊長,共有 種選法.其中 不含女運動員的選法有 種,所以不選女隊長時的選法共有 - 種選法.所以既有隊長又有女 運動員的選法共有 + - =191(種). 2-1 (2015山東即墨一中12月月考,9,5分)2015年某通訊公司推出一組手機卡號碼,卡號的前七 位數(shù)字固定,后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇.公司規(guī)定:凡卡號的后四位 恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金兔卡”,享受一定優(yōu)惠政策.如后 四位數(shù)為“2663”“8685”為“金兔卡”,則這組號碼中“金兔卡”的張數(shù)為 ( ) A.484 B.972 C.966 D.486 答案 C 解析 當后四位數(shù)有2個6時,“金兔卡”共有 99=486張; 當后四位數(shù)有2個8時,“金兔卡”共有 99=486張. 但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個6和2個8組成的這種情況,所以要減掉 =6,故“金兔,卡”共有4862-6=966張.,解決不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時,通常有三種類型:①不均勻分組; ②均勻分組;③部分均勻分組.無序分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù),有序分組要在無序分組的基 礎(chǔ)上乘分組數(shù)的階乘數(shù). 例3 (2015甘肅定西統(tǒng)考,18,12分)按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析 (1)無序不均勻分組問題. 先選1本,有 種選法;再從余下的5本中選2本,有 種選法;最后余下3本全選,有 種選法.,方法3 分組與分配問題,故共有 =60(種). (2)有序不均勻分組問題. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有 =360(種). (3)無序均勻分組問題. 先分三步,則應(yīng)是 種方法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一步取 了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則 種分法中還有(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 種情況,而這 種情況僅是AB, CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有 =15(種). (4)有序均勻分組問題. 在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個人,共有分配方式 = =90(種). (5)無序部分均勻分組問題.共有 =15(種). (6)有序部分均勻分組問題.,在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個人,共有分配方式 =90(種). (7)直接分配問題. 甲選1本,有 種方法;乙從余下的5本中選1本,有 種方法;余下4本留給丙,有 種方法.共有分 配方式 =30(種). 3-1 將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中.若每個信封放2張,其中標號為1,2的 卡片放入同一信封,則不同的放法共有 ( ) A.12種 B.18種 C.36種 D.54種 答案 B 解析 先放標號為1,2的卡片有 種,再將標號為3,4,5,6的卡片平均分成兩組再放置,有 種,故共有 =18種不同的放法.,解排列組合綜合應(yīng)用問題的思路: 解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”“分辨”“分類”“分步”的角度入手.“分析”就是找 出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨別是排列還是組合,對 某些元素的位置有無限制等;“分類”就是對于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的 幾類,然后逐類解決;“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡單的排列 組合問題,然后逐步解決. 例4 (1)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬 手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,則不同的傳遞方法 共有 種(用數(shù)字作答). (2)有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片,從這8張卡片中 取出4張卡片排成一行,如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有 種(用數(shù)字作答). 解析 (1)甲傳第一棒,乙傳最后一棒,共有 種方法.,方法4 排列組合的綜合應(yīng)用,乙傳第一棒,甲傳最后一棒,共有 種方法. 丙傳第一棒,共有 種方法. 由分類加法計數(shù)原理得,共有 + + =96種方法. (2)取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10,共有三種情況:1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有 種排法. 所取卡片是2233的共有 種排法. 所取卡片是1234,則其中卡片顏色可為無紅色,1張紅色,2張紅色,3張紅色,全是紅色,共有排法 + + + + =16 種, ∴共有排法 + +16 =18 =184321=432種. 答案 (1)96 (2)432 4-1 (2014廣東,8,5分)設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件 “1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D,解析 設(shè)t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1說明x1,x2,x3,x4,x5中有一個為-1或1,其他為0,所以有2 =10個元 素滿足t=1;t=2說明x1,x2,x3,x4,x5中有兩個為-1或1,其他為0,所以有 22=40個元素滿足t=2;t=3說 明x1,x2,x3,x4,x5中有三個為-1或1,其他為0,所以有 222=80個元素滿足t=3,從而,共有10+40+8 0=130個元素滿足1≤t≤3.故選D.,