高考數學大一輪復習 第二章 第11節(jié) 導數在研究函數中的應用課件 理 新人教A版.ppt

《高考數學大一輪復習 第二章 第11節(jié) 導數在研究函數中的應用課件 理 新人教A版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學大一輪復習 第二章 第11節(jié) 導數在研究函數中的應用課件 理 新人教A版.ppt（73頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第11節(jié) 導數在研究函數中的應用,Ⅰ.了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數不超過三次)． Ⅱ.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數不超過三次)．,,,整合主干知識,1．函數的單調性與導數 (1)函數y＝f(x)在某個區(qū)間內可導 ①若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內_________； ②若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內_________； ③如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，則f(x)為________． (2)單調性的應用 若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調，則y＝f′(x)在該區(qū)間上不變號．,單調遞增,單調遞減,常函數,質疑探究1：若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)0嗎？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？ 提示：函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥0， f′(x)0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件．,2．函數的極值與導數 (1)函數極小值的概念滿足 ①函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都___； ②f′(a)＝__； ③在點x＝a附近的左側_________，右側_________； 則點x＝a叫做函數y＝f(x)的_________，f(a)叫做函數y＝f(x)的______．,小,0,f′(x)0,f′(x)0,極小值點,極小值,(2)函數極大值的概念滿足 ①函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都___； ②f′(b) __0； ③在點x＝b附近的左側________，右側________； 則點x＝b叫做函數y＝f(x)的_________，f(b)叫做函數y＝f(x)的_______；極小值點與極大值點統(tǒng)稱為_______，極小值與極大值統(tǒng)稱為_____．,大,＝,f′(x)0,f′(x)0,極大值點,極大值,極值點,極值,(3)求可導函數極值的步驟 ①求導數f′(x)，寫出導數的定義域； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表，檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右兩側的符號(判斷y＝f(x)在根左右兩側的單調性)，如果左正右負(左增右減)，那么f(x)在這個根處取得_______．如果左負右正(左減右增)，那么f(x)在這個根處取得_______．如果左右兩側符號一樣，那么這個根不是極值點．,極大值,極小值,質疑探究2：f′(x0)＝0是可導函數f(x)在x＝x0處取極值的什么條件？ 提示：必要不充分條件，因為當f′(x0)＝0且x0左右兩端的導數符號變化時，才能說f(x)在x＝x0處取得極值．反過來，如果可導函數f(x)在x＝x0處取極值，則一定有f′(x0)＝0.,3．函數的最值與導數 求函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟： (1)求y＝f(x)在(a，b)內的_____； (2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中_____的一個為最大值， _____的一個為最小值．,極值,最大,最小,4．利用導數解決實際生活中的優(yōu)化問題 (1)分析實際問題中各變量之間的關系，建立實際問題的數學模型，寫出相應的函數關系式y(tǒng)＝f(x)并確定定義域； (2)求導數f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)判斷使f′(x)＝0的點是極大值點還是極小值點； (4)確定函數的最大值或最小值，還原到實際問題中作答．,答案：B,答案：C,3．從邊長為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為( ) A．12 cm3 B．72 cm3 C．144 cm3 D．160 cm3,答案：C,答案：3,5．給出下列命題： ①f′(x)0是f(x)為增函數的充要條件； ②函數在某區(qū)間上或定義域內的極大值是唯一的； ③函數的極大值不一定比極小值大； ④對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件； ⑤函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值． 其中真命題的是________．(寫出所有真命題的序號),解析：①錯誤．f′(x)0能推出f(x)為增函數，反之不一定．如函數f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0.所以f′(x)0是f(x)為增函數的充分條件，但不是必要條件．②錯誤．一個函數在某區(qū)間上或定義域內的極大值可以不止一個．③正確．一個函數的極大值與極小值沒有確定的大小關系，極大值可能比極小值大，也可能比極小值?。苠e誤．對可導函數f(x)，f′(x0)＝0只是x0點為極值點的必要條件，如y＝x3在x＝0時f′(0)＝0，而函數在R上為增函數，所以0不是極值點．⑤正確．當函數在區(qū)間端點處取得最值時，這時的最值不是極值． 答案：③⑤,,聚集熱點題型,[典例賞析1] 設函數f(x)＝(x＋a)eax(a∈R)． (1)求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)若函數f(x)在區(qū)間(－4,4)內單調遞增，求a的取值范圍．,利用導數研究函數的單調性,[名師講壇]由函數的單調性求參數的取值范圍的題型及求解策略：,提醒：含有字母參數的函數的單調性需要根據參數的取值范圍進行討論．,[變式訓練] 1．(2015長春模擬)已知函數f(x)＝x2＋aln x. (1)當a＝－2時，求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調函數，求實數a的取值范圍．,利用導數研究函數的極值,[名師講壇] 運用導數求可導函數y＝f(x)的極值的步驟： (1)先求函數的定義域，再求函數y＝f(x)的導數f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根；,,(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．如果左右符號相同，則此根處不是極值點． 提醒：若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區(qū)間上單調函數沒有極值．,(2)若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號，結合①與條件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結合a0，知0a≤1.所以a的取值范圍為{a|0a≤1}．,利用導數研究函數的最值,,[名師講壇]求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時，首先可判斷函數在[a，b]上的單調性，若函數在[a，b]上單調遞增或單調遞減，則f(a)，f(b)一個為最大值，一個為最小值．若函數在[a，b]上不單調，一般先求[a，b]上f(x)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值． 提醒：求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數時，要討論參數的大小．,,[變式訓練] 3．(2015鄭州模擬)已知函數f(x)＝(x－k)ex， (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)與f′(x)的變化情況如下：,所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)． (2)當k－1≤0，即k≤1時，函數f(x)在[0,1]上單調遞增， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k， 當0＜k－1＜1，即1＜k＜2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調遞減，在(k－1,1]上單調遞增．,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1. 當k－1≥1，即k≥2時，函數f(x)在[0,1]上單調遞減， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. 綜上可知，當k≤1時，f(x)min＝－k；當1＜k＜2時，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1； 當k≥2時，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.,[典例賞析4] (2013重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域； (2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．,利用導數研究生活中的優(yōu)化問題,[名師講壇] 利用導數解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟,(1)設自變量、因變量，建立函數關系式y(tǒng)＝f(x)，并確定其定義域；(2)求函數y＝f(x)的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內的實根，確定極值點；(3)比較函數在區(qū)間端點和極值點處的函數值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到實際問題中作答．,[變式訓練] 4．(2015吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黃瓜進入市場銷售，通過市場調查，預測黃瓜的價格f(x)(單位：元/kg)與時間x(單位：天，x∈(0,8]且x∈N*)的數據如下表： (1)根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關系：f(x)＝ax＋b，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝abx，其中a≠0，并求出此函數；,解：(1)根據表中數據，表述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關系的函數不是單調函數，這與函數f(x)＝ax＋b，f(x)＝abx，均具有單調性不符，所以，在a≠0的前提下，可選取二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c進行描述．,[備課札記] ____________________________________________________________________________________________________,,提升學科素養(yǎng),利用導數確定函數的單調區(qū)間問題,,當x∈(0,2)時，g′(x)＝ex－k0，y＝g(x)單調遞增． 故f(x)在(0,2)內不存在兩個極值點； (9分) 當k1時， 得x∈(0，ln k)時，g′(x)0，函數y＝g(x)單調遞增． 所以函數y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k)．(10分) 函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點當且僅當,[答題模板] 用導數法求函數單調區(qū)間一般可用以下幾步答題： 第一步：求函數f(x)的定義域； 第二步：求函數f(x)的導數f′(x)，令f′(x)＝0，求出x； 第三步：由f′(x)0(f′(x)0)解出相應的x的范圍； 第四步：寫出函數f(x)的單調區(qū)間； 第五步：反思回顧：查看關鍵點，易錯點和解題規(guī)范．,1．一個區(qū)別 極值與最值的區(qū)別 極值是指某一點附近函數值的比較，因此，同一函數在某一點的極大(小)值，可以比另一點的極小(大)值小(大)；最大、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數值的比較．因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續(xù)函數在開區(qū)間(a，b)內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．,,2．兩個注意 (1)注意實際問題中函數定義域的確定． (2)在實際問題中，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數值比較． 3．三個防范 (1)求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論；另外注意函數最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念．,(2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取極值的既不充分也不必要條件．如①y＝|x|在x＝0處取得極小值，但在x＝0處不可導；②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點． (3)若y＝f(x)可導，則f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取極值的必要條件．,