2019年高中數(shù)學(xué) 課后提升訓(xùn)練三 1.2.1 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 新人教A版選修2-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 課后提升訓(xùn)練三 1.2.1 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 新人教A版選修2-2 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知直線y=kx是y=lnx的切線,則k的值為　(　　) A. B.- C. D.- 【解析】選C.y′==k,所以x=,切點(diǎn)坐標(biāo)為,又切點(diǎn)在曲線y=lnx上,所以ln=1,所以=e,k=. 2.下列命題中正確的是　(　　) ①若f′(x)=cosx,則f(x)=sinx ②若f′(x)=0,則f(x)=1 ③若f(x)=sinx,則f′(x)=cosx ④若f(x)=,則f′(x)= A.① B.①② C.③ D.①②③④ 【解析】選C.①當(dāng)f(x)=sinx+1時(shí),f′(x)=cosx; ②當(dāng)f(x)=2時(shí),f′(x)=0;④若f(x)=,則f′(x)=-. 3.(xx南寧高二檢測)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s=,則質(zhì)點(diǎn)在t=4時(shí)的速度為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.s′=. 當(dāng)t=4時(shí),s′==. 4.若曲線y=在點(diǎn)(a,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a等于　(　　) A.64 B.32 C.16 D.8 【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程,再求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求a的值. 【解析】選A.因?yàn)閥′=-, 所以當(dāng)x=a時(shí),y′=-, 所以在點(diǎn)(a,)處的切線方程為y-=-(x-a), 令x=0,得y=,令y=0,得x=3a. 所以3a=18,解得a=64. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為 　(　　) A.e2　　　 B.2e2　　　 C.e2　　　 D. 【解析】選D.因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí),y′=e2, 所以切線方程為y-e2=e2(x-2). 當(dāng)x=0時(shí),y=-e2,當(dāng)y=0時(shí),x=1. 故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為|-e2|1=. 5.(xx天津高二檢測)已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,則a的值為　(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 【解析】選A.求導(dǎo)得f′(x)=axa-1, 因?yàn)閒′(-1)=-4, 所以a(-1)a-1=-4, 所以a=4. 6.函數(shù)y=2x-x2的圖象大致是　(　　) 【解析】選A.分別畫出函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x2的圖象,如圖所示, 由圖可知,f(x)與g(x)有3個(gè)交點(diǎn), 所以y=2x-x2=0,有3個(gè)解, 即函數(shù)y=2x-x2的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),故排除B,C, 當(dāng)x=-3時(shí),y=2-3-(-3)2<0,故排除D. 7.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1x2…xn的值為　(　　) A. B. C. D.1 【解析】選B.對(duì)y=xn+1(n∈N*)求導(dǎo),得y′=(n+1)xn. 令x=1,得在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率k=n+1. 在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,則xn=,故x1x2…xn=…=. 8.(xx山東高考)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 　(　　) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3 【解題指南】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,求導(dǎo)后,表示出兩“切線”的斜率,判斷它們的乘積是否為-1. 【解析】選A.(1)對(duì)于函數(shù)y=sinx,y′=cosx,設(shè)圖象上存在這樣兩點(diǎn)(x1,sinx1), (x2,sinx2),那么兩切線的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1k2=cosx1cosx2=-1,則x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在這樣的兩點(diǎn),所以具有T性質(zhì). (2)對(duì)于函數(shù)y=lnx,y′=,k1k2=,而x1>0,x2>0,所以k1k2≠-1,所以函數(shù)y=lnx不具有T性質(zhì). (3)對(duì)于函數(shù)y=ex,y′=ex,k1=,k2=,顯然均大于0.所以函數(shù)y=ex不具有T性質(zhì). (4)對(duì)于函數(shù)y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,顯然k1k2≠-1,所以函數(shù)y=x3不具有T性質(zhì). 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak,)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,其中 k∈N*,若a1=16,則a1+a3+a5的值是________. 【解題指南】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再求其與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 【解析】因?yàn)閥′=2x,所以過點(diǎn)(ak,)的切線方程為y-=2ak(x-ak),又該切線與x軸的交點(diǎn)為(ak+1,0),所以ak+1=ak,即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21. 答案:21 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(xx廣州高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=lnx在x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線ax-y+3=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為 __________. 【解析】因?yàn)閥=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=,即有曲線y=lnx在x=e處的切線斜率為k=,由于切線與直線ax-y+3=0垂直,則a=-1,解得a=-e. 答案:-e 10.過曲線y=cosx上點(diǎn)P且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程為_________. 【解析】因?yàn)閥=cosx,所以y′=-sinx, 曲線在點(diǎn)P處的切線斜率是 -sin=-, 所以過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為, 所以所求的直線方程為y-=, 即2x-y-+=0. 答案:2x-y-+=0 三、解答題 11.(10分)(xx濟(jì)寧高二檢測)已知曲線y=5,求: (1)這條曲線與直線y=2x-4平行的切線方程. (2)過點(diǎn)P(0,5)且與曲線相切的切線方程. 【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),由y=5, 得y′=,所以切線斜率為, 因?yàn)榍芯€與直線y=2x-4平行,所以=2. 所以x0=,所以y0=. 則所求切線方程為y-=2, 即16x-8y+25=0. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y=5上, 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(t,u),則切線斜率為, 又切線斜率為,所以==. 所以2t-2=t,又t≠0,解得t=4. 所以切點(diǎn)為M(4,10),斜率為. 所以切線方程為y-10=(x-4), 即5x-4y+20=0. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)拋物線y=x2與直線y=x+a (a是常數(shù))有兩個(gè)不同的交點(diǎn),記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為l1,l2,求a值變化時(shí)l1與l2交點(diǎn)的軌跡. 【解析】將y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,① 因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以Δ=(-1)2+4a>0,得a>-. 設(shè)兩交點(diǎn)為(α,α2),(β,β2),α<β,由y=x2知y′=2x,則切線l1, l2的方程分別為y=2αx-α2,y=2βx-β2.設(shè)兩切線交點(diǎn)為(x,y), 則?、? 因?yàn)棣?β是①的解,由根與系數(shù)的關(guān)系, 可知α+β=1,αβ=-a. 代入②可得x=,y=-a<. 從而,所求的軌跡方程為直線x=上的y<的部分. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知曲線y=f(x)=. (1)求曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程. (2)求曲線過點(diǎn)Q(1,0)的切線方程. (3)求滿足斜率為-的曲線的切線方程. 【解析】因?yàn)閥=,所以y′=f′(x)=-. (1)顯然P(1,1)是曲線上的點(diǎn).所以P為切點(diǎn),所求切線斜率為函數(shù)y=在P(1,1)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 即k=f′(1)=-1. 所以曲線在P(1,1)處的切線方程為 y-1=-(x-1),即為y=-x+2. (2)顯然Q(1,0)不在曲線y=上. 則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為A, 那么該切線斜率為k=f′(a)=. 則切線方程為y-=-(x-a).① 將Q(1,0)代入方程得:0-=(1-a). 解得a=,代回方程①整理可得: 切線方程為y=-4x+4. (3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為B(b,),則切線斜率為k=-=-,解得b=,那么B(,),B′(-,-).代入點(diǎn)斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切線方程為y=-x+或y=-x-.