2019年高中數學 課時跟蹤檢測（三）幾個常用函數的導數和基本初等函數的導數公式 新人教A版選修2-2.doc

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2019年高中數學 課時跟蹤檢測（三）幾個常用函數的導數和基本初等函數的導數公式 新人教A版選修2-2 1．已知函數f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有(　　) A．1條　　　　　　　　　 　B．2條 C．3條 D．不確定 解析：選B　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝1.切點有兩個，即可得切線有2條． 2．若f(x)＝sin α－cos x(α是常數)，則f′(α)＝(　　) A．sin α B．cos α C．－sin α D．－cos α 解析：選A　f′(x)＝(sin α－cos x)′＝sin′α－cos′x＝sin x， ∴f′(α)＝sin α. 3．已知f(x)＝－3x，則f′(2)＝(　　) A．10 B．－5x C．5 D．－10 解析：選D　∵f′(x)＝－5x，∴f′(2)＝－52＝－10，故選D. 4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：選A　 若α＝2，則f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x， ∴f′(－1)＝2(－1)＝－2適合條件．故應選A. 5. 曲線y＝x3在x＝1處切線的傾斜角為(　　) A．1 B．－ C. D. 解析：選C　∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1， ∴切線的傾斜角α滿足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝. 6．曲線y＝ln x在點M(e,1)處的切線的斜率是________，切線方程為____________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝. ∴切線方程為y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 答案：　x－ey＝0 7．已知f(x)＝a2(a為常數)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，則x＝________. 解析：因為f′(x)＝0，g′(x)＝， 所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1. 解得x＝1或x＝－，因為x＞0，所以x＝1. 答案：1 8．設坐標平面上的拋物線C：y＝x2，過第一象限的點(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點Q的坐標為________． 解析：顯然點(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)． 令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點的坐標為(0，－a2)． 答案：(0，－a2) 9．求下列函數的導數： (1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x； (4)y＝sin；(5)y＝e2. 解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7. (2)y′＝(4x)′＝4xln 4. (3)y′＝(log3x)′＝. (4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e2)′＝0. 10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點， (1)求過點P，Q的曲線y＝x2的切線方程． (2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程． 解：(1)因為y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲線y＝x2上的點． 過P點的切線的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 過Q點的切線的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 過P點的切線方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0. 過Q點的切線方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)因為y′＝2x，直線PQ的斜率k＝＝1， 切線的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切點M， 與PQ平行的切線方程為： y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 1．質點沿直線運動的路程s與時間t的關系是s＝，則質點在t＝4時的速度為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　∵s′＝t－.∴當t＝4時， s′＝＝ . 2．直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x＞0)的一條切線，則實數b的值為(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：選C　∵y＝ln x的導數y′＝， ∴令＝，得x＝2，∴切點為(2，ln 2)． 代入直線y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 3．在曲線f(x)＝上切線的傾斜角為π的點的坐標為(　　) A．(1,1) B．(－1，－1) C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1) 解析：選D　因為f(x)＝，所以f′(x)＝－，因為切線的傾斜角為π，所以切線斜率為－1， 即f′(x)＝－＝－1，所以x＝1， 則當x＝1時，f(1)＝1； 當x＝－1時，f(1)＝－1，則點坐標為(1,1)或(－1，－1)． 4．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1x2…xn的值為(　　) A. B. C. D．1 解析：選B　對y＝xn＋1(n∈N*)求導得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在點(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1，∴在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1x2…xn＝…＝， 故選B. 5．與直線2x－y－4＝0平行且與曲線y＝ln x相切的直線方程是________． 解析：∵直線2x－y－4＝0的斜率為k＝2， 又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝. ∴切點的坐標為. 故切線方程為y＋ln 2＝2. 即2x－y－1－ln 2＝0. 答案：2x－y－1－ln 2＝0 6．若曲線y＝在點P(a，)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數a的值是________________． 解析：∵y′＝，∴切線方程為y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由題意知a＝2，∴a＝4. 答案：4 7．已知曲線方程為y＝f(x)＝x2，求過點B(3,5)且與曲線相切的直線方程． 解：設切點P的坐標為(x0，x)． ∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0， ∴切線方程為y－x＝2x0(x－x0)． 將點B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)， 即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0， ∴x0＝1或x0＝5， ∴切點坐標為(1,1)或(5,25)， 故所求切線方程為y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 8．求證：雙曲線xy＝a2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于常數． 證明：設P(x0，y0)為雙曲線xy＝a2上任一點． ∵y′＝′＝－. ∴過點P的切線方程為y－y0＝－(x－x0)． 令x＝0，得y＝；令y＝0， 得x＝2x0. 則切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 S＝|2x0|＝2a2. 即雙曲線xy＝a2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為常數2a2.