2019-2020年高考數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指－圓錐曲線導(dǎo)學(xué)案 舊人教版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指圓錐曲線導(dǎo)學(xué)案 舊人教版【考點梳理】一、考試內(nèi)容1曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲線的交點。2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、焦距。橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率、準(zhǔn)線。橢圓的畫法。3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、焦距。雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、實軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線。雙曲線的畫法。等邊雙曲線。4拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、準(zhǔn)線。拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率。拋物線的畫法。5坐標(biāo)軸的平移。利用坐標(biāo)軸的平移化簡圓錐曲線方程。二、考試要求1掌握直角坐標(biāo)系中的曲線方程的關(guān)系和軌跡的概念。能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線。理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給定的兩個命題的充要關(guān)系。2掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。會根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實際應(yīng)用。對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個二次曲線的交點坐標(biāo)的問題（兩圓的交點除外）。3理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡圓錐曲線方程的方法。4了解用坐標(biāo)研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。三、考點簡析1“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。2充要條件（1）對于已知條件A和條件B，若A成立則B成立，即AB，這時稱條件A是B成立的充分條件。（2）對于已知條件A和條件B，若B成立則A成立，即BA，這時稱條件A是B成立的必要條件。（3）若既有AB，又有BA，那么A既是B成立的充分條件，又是B成立的必要條件，這時稱A是B成立的充要條件。3圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（各選其中一種為例，其余同理研究）如下表：橢圓雙曲線拋物線定義1平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|的點的軌跡平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F2|，的點的軌跡平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡定義2平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e>1)的點的軌跡。平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e=1)的點的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(a>b>0)-=1(a>b>0)y2=2px(p>0)圖形頂點坐標(biāo)(a,0)(0, b)(a,0)(0,0)對稱軸x軸，長軸長為2ay軸，短軸長為2bx軸，實軸長為2ay軸，虛軸長為2bx軸焦點坐標(biāo)(c,0)c=(c,0)c=(，0)焦距2c2c，離心率(e=)0<e<1e>1e=1準(zhǔn)線x=x=x= -漸近線，y=x，點M(x0,y0)的焦半徑公式|MF右|=a-ex0|MF左|=a+ex0x0+4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的。5直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由 消去yax2+bx+c=0 （a0） =b2- 4ac。則弦長公式為d=6坐標(biāo)軸的平移及移軸公式坐標(biāo)軸的方向和長度單位都不改變，只改變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。移軸公式或，這里(x,y)，(x,y)，(h,k)分別為原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新原點在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。四、思想方法1求軌跡方程的基本方法有兩大類，即直接法和間接法。其中直接法包括：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，公式法等。間接法包括：轉(zhuǎn)移法，參數(shù)法(k參數(shù)、t參數(shù)，參數(shù)及多個參數(shù))等。2本節(jié)解題時用到的主要數(shù)學(xué)思想方法有：（1）函數(shù)方程思想。求平面曲線的軌跡方程，其解決問題的最終落腳點就是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點坐標(biāo)x、y的方程或函數(shù)關(guān)系（參數(shù)法）。（2）數(shù)形結(jié)合思想。解題時重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的。即將對幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對代數(shù)式的研究，同時又要理解代數(shù)問題的幾何意義。（3）等價轉(zhuǎn)化思想。在解決問題的過程中往往需要將一個問題等價轉(zhuǎn)化為另一個較為簡單的問題去求解。3避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求。所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算。所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則。因為對普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”?！纠}解析】例1 設(shè)直線l：x=，定點A(,0)，動點P到直線l的距離為d，且=。求動點P的軌跡C的方程。解 設(shè)動點P(x,y)。由題意得=，由兩邊平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，即x2 - x+y2=。經(jīng)配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。例2 已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程。解 設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(aR,a0) 由的頂點到原點的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。例3 設(shè)橢圓+=1的兩焦點為F1、F2，長軸兩端點為A1、A2。（1）P是橢圓上一點，且F1PF2=60，求F1PF2的面積；（2）若橢圓上存在一點Q，使A1QA2=120，求橢圓離心率e的取值范圍。解 （1）設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=2a。在F1PF2中，|F1F2|=2c, F1PF2=60,由余弦定理，得4c2=r12+r22 2r1r2cos60=(r1+r2)2 3r1r2,將r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2SFPF=r1r2sin60=b2=b2。（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,y0)，則b2x02+a2y02=a2b2。A1QA2=120,又不妨設(shè)A1(a,0),A2(-a,0)，tan（-A1QA2）=將x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=-by0b b2+2ab -a20即()2+2()-0，解得，e2=1-，且e2<1。e<1。例4 設(shè)雙曲線-=1的焦點分別為F1、F2，離心率為2。（1）求此雙曲線的漸近線L1、L2的方程；（2）若A、B分別為L1、L2上的動點，且2|AB|=5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程并說明軌跡是什么曲線。解 （1）由已知得已知雙曲線的離心率為=2，解得a2=1，所以已知雙曲線方程為y2-=1，它的漸近線L1、L2的方程為x-y=0和x+y=0。（2）因為|F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，所以|AB|=10。設(shè)A在L1上，B在L2上，則可以設(shè)A(y1,y1)、B(-y2、y2)，=10 設(shè)AB的中點M(x,y)，則x=,y=。y1-y2=,y1+y2=2y，代入得12y2+=100，即中點M的軌跡方程為+=1，是橢圓。例5 已知橢圓的一個頂點為A(0,-1)，焦點在x軸上，其右焦點到直線x-y+2=0的距離為3，（1）求橢圓方程；（2）橢圓與直線y=kx+m(k0)相交于不同的兩點M、N，當(dāng)|AM|=|AN|時，求m的取值范圍。解 （1）設(shè)已知橢圓方程為+=1(a>b>0)其中b=1。又設(shè)右焦點為(c,0)，則=3，解得c=,a=。橢圓方程為+y2=1。（2）設(shè)P為MN的中點，解方程組得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+12>0，得m2<3k2+1 又xM+xN=,xP=yP=kxP+m=kAP=又由MNAP得 = -。變形后，得2m=3k2+1 把代入，得2m>m2,解得0<m<2。又由得k2=>0，解得m>。<m<2。例6 已知曲線C:x2-y2=1及直線L:y=kx-1，曲線C與C關(guān)于直線L對稱。（1）當(dāng)k=1時，求曲線C的方程；（2）求證：不論實數(shù)k為何值，C與C恒有公共點。解 （1）設(shè)P(x,y)是所求曲線C上任意一點，P點關(guān)于直線L的對稱點Q(x0,y0)在已知曲線C上。 解得代入C的方程得(y+1)2-(x-1)2=1，即得C的方程。（2）當(dāng)C與C有公共點且在L上時，此公共點也即是C與L的公共點。方程組有實數(shù)解,方程x2-(kx-1)2=1有實根，（1-k2）x2+2kx-2=0有實根。當(dāng)k2=1，即k=1時，方程有實根x=1，C與L有兩個公共點；當(dāng)k21，即k1時，=4k2+8(1-k2) 0，解得-k，且k1。當(dāng)-k時，C與L有公共點，C與C也有公共點。當(dāng)C與C的公共點P不在L上時，則P點關(guān)于L的對稱點Q也是C與C的公共點，所以P、Q兩點均在C上，即C上有不同兩點P、Q關(guān)于L對稱。設(shè)P、Q所在直線的方程是y= - x+b(k0)。由消去y得（1-）x2+x-b2-1=0=+4(b2+1)(1-)>0 (1)又PQ的中點M(xM,yM)在L上，且將xM、yM代入L的方程得=-1，即b=,代入（1）式解得：k(-,-1)（-，0）(0, )(1,+)。k（-，-1）（-，0）(0, )(1,+)時，C與C有不在L上的公共點。由于與中，k的解集的并集為實數(shù)集R，不論實數(shù)k為何值，C與C恒有公共點。例7 已知橢圓C的方程為x2+=1，點P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+1。過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：（1）點Q的軌跡方程；（2）點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)。解 （1）設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，點Q的坐標(biāo)為（x,y）。當(dāng)x1x2時，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k(x-a)+b。又已知x12+=1,x22+=1 y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及x=，y=,k=得點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0當(dāng)x1=x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為(a,0)。顯然點Q的坐標(biāo)滿足方程。綜上所述，點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0設(shè)方程所表示的曲線為L，則由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0因為=8b2(a2+-1),又已知a2+1,所以當(dāng)a2+=1時，=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P(a,b)。當(dāng)a2+<1時，<0，曲線L與橢圓沒有交點。因為(0,0)在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓內(nèi)。故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0（-1x1）。（2）由解得曲線L與y軸交于點(0,0),(0,b)。由解得曲線L與x軸交于點(0,0),(a,0)。當(dāng)a=0，b=0，即點P(a,b)為原點時，(a,0)、（0,b）與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0)。當(dāng)a=0，且0<|b|1，即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(0，b)與(0,0)。同理，當(dāng)b=0且0<|a|1時，曲線成坐標(biāo)軸有兩個交點（a,0）,（0,0）。當(dāng)0<|a|1，0<|b|1，即點P(a,b)不在橢圓C外且不在坐標(biāo)軸上時，曲線L與坐標(biāo)有三個交點(a,0)、(0,b)與(0,0)。例8 在直角坐標(biāo)系中，ABC的兩個頂點C、A的坐標(biāo)分別為(0,0)、(2，0)，三個內(nèi)角A、B、C滿足2sinB=(sinA+sinC)。（1）求頂點B的軌跡方程；（2）過頂點C作傾斜角為的直線與頂點B的軌跡交于P、Q兩點，當(dāng)(0, )時，求APQ面積S()的最大值。解 （1）設(shè)ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。由正弦定理=2R。2sinB=(sinA+sinC)2b=(a+c)b=2a+c=4即|BC|+|BA|=4.由橢圓定義知，B點軌跡是以C、A為焦點，長軸長為4，中心在（，0）的橢圓。B點軌跡方程為+y2=1(y0)（2）設(shè)直線PQ的方程為y=xtan，（0，），由得(1+4tan2)x2 -2x-1=0。設(shè)方程兩根為x1、x2,則x1+x2=, x1x2=|PQ|=點A到直線PQ的距離d=，(0, ), tan>0)S()= |PQ|d=2當(dāng)且僅當(dāng)sin=時，即sin=,=arcsin時，等號成立。s()的最大值為2。例9 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明直線AC經(jīng)過原點O（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題）證明一 如圖10-4，因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F（，0），所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+;代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0。若記A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個根，所以y1y2= -p2。因為BCx軸，且點C在準(zhǔn)線x= -上，所以點C的坐標(biāo)為(-,y2)，故直線CO的斜率為k=。即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O 。證明二 如圖10-5，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點為E，過A作ADl，D是垂足，則ADFEBC。連結(jié)AC，與EF相交于點N，則=，=，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即點N是EF的中點，與拋物線頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O。例10如圖10-6，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線所成的比例為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當(dāng)時，求雙曲線離心率e的取值范圍（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題）。 解 如圖10-7，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則CDy軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱。依題意，記A(-c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由定比分點坐標(biāo)公式得x0=,y0=設(shè)雙曲線的方程為-=1，則離心率e=。由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線方程得-=1 ()2-()2=1 由式得 =-1 將式代入式，整理得 (4-4)=1+2，故=1-。由題設(shè)得，1-，解得e。所以雙曲線的離心率的取值范圍為，。