一元二次方程 (2)

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1、《一元二次方程》教學設計 一、內容和內容解析 （一）內容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． （二）內容解析 一元二次方程是方程在一元一次方程基礎上 “次”的推廣，同時它是解決諸多實際問題的需要，為勾股定理、相似等知識提供運算工具，是二次函數(shù)的基礎． 針對一系列實際問題，建立方程，引導學生觀察這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念及一般形式．在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念，體現(xiàn)了研究代數(shù)學問題的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”（未知數(shù)的個數(shù)）、“次數(shù)”和“項數(shù)”等角度進行歸納的結果；a≠0的條件是

2、確保滿足 “二次”的要求，從另一個側面為理解一元二次方程的概念提供了契機． 二、目標和目標解析 （一）教學目標 1．體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數(shù)學模型，初步理解一元二次方程的概念； 2．了解一元二次方程的一般形式，會將一元二次方程化成一般形式． （二）目標解析 1．通過建立一元方程解決相關的實際問題，讓學生體會到未知數(shù)相乘導致方程的次數(shù)升高，繼而產生一元二次方程．學生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，感受一元二次方程是重要的數(shù)學模型，體會到學習的必要性； 2．將不同形式的一元二次方程統(tǒng)一為一般形式，學生從數(shù)學符號的角度，體會概括出數(shù)學模型的簡潔和必要，針對“二次”規(guī)

3、定a≠0的條件，完善一元二次方程的概念．學生能夠將一元二次方程整理成一般形式，準確的說出方程的各項系數(shù)，并能確定簡單的字母系數(shù)方程為一元二次方程的條件． 三、教學問題診斷分析 一元二次方程是學生學習的第四個方程知識，首先在初一學習了一元一次方程，接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學習，初二分式的教學，使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式，分式方程得以出現(xiàn)，到一元二次方程第一次實現(xiàn) “次”的提升．學生必然存在著疑問，為什么有些背景列得的方程是二次的呢？教學中要直面學生的疑問，顯化學生的疑問，啟發(fā)學生自己解釋疑問，才能避免“灌輸”，體現(xiàn)知識存在的必要性，增強學

4、好的信念． 培養(yǎng)建模思想，進一步提升數(shù)學符號語言的應用能力， 讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，對初三學生是必須的，也是適可的． 本課的教學重點應該放在形成一元二次方程概念的過程上，不能草草給出方程的概念就反復辨析練習，在概念的理解上要下功夫． 本課的教學難點是一元二次方程的概念． 四、教學過程設計 （一）創(chuàng)設情境，引入新知 教師展示教科書本章的章前圖，請同學們閱讀章前問題，并回答： 問題1．這個方程屬于我們學過的某一類方程嗎？ 師生活動:學生整理已經學過的方程類型，復習方程的概念，元與次的概念，觀察新方程，分析此方程的元與次，嘗試為新方程命名． 【設計意圖】

5、使學生認識到一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學習的必要性，在學生已有的知識的體系中合理的構建一元二次方程這一新知識． 問題2．這樣的方程在其他實際問題中是否還存在呢？你能再想出一個例子嗎？ 師生活動:學生思考二次項產生的原因，從熟悉的實際背景中，很有可能從矩形的面積出發(fā)，設計情境． 【設計意圖】讓學生從“接受式”的學習方式中走出來，走向對一元二次方程產生的根源的探求，在編制情境的過程中，他們將加深對一元二次方程概念的理解．部分學生能夠獨立解決問題，自己編制情境并列出方程，部分學生可以根據(jù)同學給出的情境去列方程，或者閱讀課本上的實際問題． （二）拓寬情境，概括概念 給出課本

6、問題1、問題2的兩個實際問題，設未知數(shù)，建立方程． 問題1 如圖21．1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，你說組織者應邀請多少個隊參賽？ 教師引導學生思考并回答以下幾個問題： 全部比賽共有______場 若設應邀請個隊參賽，則每個隊要與其他_

7、___個隊各賽一場，全部比賽共有___ 場． 由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________． 問題3． 這些方程是幾元幾次方程？ 師生活動:學生將實際問題中的語言轉化成數(shù)學的符號語言，體會運算關系，尋找等量關系，學習建模．將列得的方程化簡整理，判斷出方程的次數(shù)． 【設計意圖】在建模的過程中不僅加強學生的數(shù)學思維能力，而且對二次項產生的根源將更加明晰，加深對一元二次方程的理解．讓學生回答方程的元與次，一是讓他們體會統(tǒng)一成一般形式的必要性，為概念的形成做鋪墊，分解教學的難點；二是讓他們明確教學的主線，從被動學習走向主動學習． 問題4． 這些方

8、程是什么方程？ 師生活動:觀察本課得出的一些方程，思考它們的共性，同學們嘗試給出一元二次方程的定義，并且概括出一元二次方程的一般形式． 1．一元二次方程的概念： 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是．其中是二次項，a是二次項系數(shù)；是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項． 【設計意圖】讓學生自己給出定義就是對過去所學一元一次方程的定義的類比和對比，概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數(shù)學符號語言的應用能力的提升． （三）辨析應用，加深理解 問題5． 請你說出一個一元二次方程，和一個不

9、是一元二次方程的方程． 師生活動:可以由學生舉手回答，也可以隨機選擇學生回答，調動學生廣泛的參與．追問學生所舉的反例為什么不是一元二次方程？是什么方程？ 【設計意圖】學生自己舉例，應用概念，從正反兩個方向強化了對概念的理解，在追問的過程中，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，如下： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 開發(fā)學生認識的資源，激發(fā)學生從不同角度、不同形式去深入理解同一概念，讓不同的學生在此過程中獲得不同的收獲，實現(xiàn)分層教學分層指導的效果． 問題6． 下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程? （1）； （2）； （3）；

10、 （4）； （5）； （6）． 答案（2）（5）（6）． 師生活動:用概念指導辨析，方程（3）與（4）同學們可能會產生爭議，（3）幫助學生明確一元二次方程是整式方程，（4）體會化為一般形式的必要性，對a≠0條件加深認識． 【設計意圖】補足學生所舉正反例的缺漏，追問：有二次項的一元方程就是一元二次方程嗎？幫助學生進一步鞏固概念，深化對一元、二次的認識． 問題7．指出下列方程的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)． 例2． 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)： （1）；（2） 師生活動: （1）將方程去括號得：，移項，合并同類項得：，其中二次

11、項是，二次項系數(shù)是3；一次項是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．教師應及時分析可能出現(xiàn)的問題（比如系數(shù)的符號問題）． （2）一元二次方程的一般形式是，過程略． 例3．關于x的方程，在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 答案：時此方程為一元二次方程；，時此方程為一元一次方程． 【設計意圖】在形式比較復雜的方程面前，通過辨析方程的元、次、項看清方程的本質，深化理解，淡化對一元二次方程概念的記憶． （四）鞏固概念，學以致用 教科書第4頁： 練習 【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗一元二次方程概念的掌握情況． （五）歸納小結，反思提高 請學生總結今天這節(jié)課所學內容，通過對比之前所學其它方程，談對一元二次方程概念的認識，反思學習過程中的典型錯誤． （六）布置作業(yè)：教科書習題21．1 復習鞏固：第1，2，3題．