定積分及其應(yīng)用習(xí)題

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,定積分及其應(yīng)用,基本內(nèi)容,目錄 下頁 返回 結(jié)束,例題選講,習(xí)題課,1,一、基本內(nèi)容,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,9,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,10,首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量，確定積分區(qū)域?qū)懗鰣D形面積的積分表達(dá)式,.,7.,平面圖形的面積,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,x,y,o,11,8.,旋轉(zhuǎn)體的體積,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,12,9.,平行截面面積為已知的立體的體積,如果曲線弧的參數(shù)方程為,10.,平面曲線的弧長,則曲線弧長為,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,13,物體在變力,F,(,x,),的作用下,從,x,軸上,a,點(diǎn)移動(dòng)到,b,點(diǎn),所做的功為,11.,變力作功,12.,水壓力,對(duì)液體深度作微元,求得壓強(qiáng),然后對(duì)深度積分可求得物體所受的水壓力,.,計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力,可將細(xì)棒置于坐標(biāo)軸上建立直角坐標(biāo)系,對(duì)細(xì)棒所處的區(qū)間取微元,然后積分,.,13.,引力,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,14,二、基本方法,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,15,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7,、定積分應(yīng)用的基本方法,:,微元分析法,微元形狀,:,條、,段、,帶、,片、,扇、,環(huán)、,殼 等,.,17,一、定積分的應(yīng)用及方法,幾何方面,:,面積、,體積、,弧長、,表面積,.,物理方面,:,質(zhì)量、,作功、,側(cè)壓力、,引力、,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,三、例題選講,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,19,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,20,駐點(diǎn),首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,23,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,24,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,26,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,27,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,28,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,29,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,30,解,令,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,31,首頁 上頁 返回 結(jié)束,32,解 這是三葉玫瑰線，由,sin3,0，,有,由對(duì)稱性,例,10,求,=,a,sin3,所圍圖形的面積,.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,33,解,旋轉(zhuǎn)體的體積,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(P281-13,題,),34,解,x,y,o,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(,參見,P281-15(3),題,),35,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,36,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,37,例,14,求拋物線,在,(0,1),內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小,.,解,設(shè)拋物線上切點(diǎn)為,則該點(diǎn)處的切線方程為,它與,x,y,軸的交點(diǎn)分別為,所圍面積,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,38,得,0,1,上的唯一駐點(diǎn),且為最小點(diǎn),.,故所求切線為,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,39,證,先求,上微曲邊扇形,繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積,體積微元,故,繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,15,證明曲邊扇形,40,解,(1),由方程得,即,故得,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,41,(2),旋轉(zhuǎn)體體積,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又,又,42,(P288-7,題,),解 以水中球心為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,.,所求功為將,-,r,r,上的微薄片都上提,2,r,功元素的積分,.,設(shè)在,x,處,厚為,d,x,的小薄片在水中的,行程為,在水上的行程為,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,43,由題設(shè),球的比重與水的比重相同,水下薄片所受浮力與重力的合力為零,薄片在水中上升到水面時(shí)不作功,.,再由水面提升時(shí),克服重力需作功,:,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,44,例,18,某建筑工程打地基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層,汽錘每次擊打,都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功,.,設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比,(,比例系數(shù)為,k,k,0),汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下,a,米,根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù),r,(0,r,1),問,:,(1),汽錘打樁,3,次后,可將樁打進(jìn)地下多深,?,(2),若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深,?,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,45,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,46,(2),由歸納法可得,首頁 上頁 返回 結(jié)束,47,