2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何同步練習(xí) 文.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何同步練習(xí) 文 1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式． 2．掌握確定直線位置的幾何要素． 3．掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 ①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；③范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：當(dāng)直線l的傾斜角α≠時(shí)，其傾斜角α的正切值tan α叫做這條斜線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝. 2．直線方程的五種形式 名稱 幾何條件 方程 適用條件 斜截式 縱截距、斜率 y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線 點(diǎn)斜式 過一點(diǎn)、斜率 y－y0＝k(x－x0) 兩點(diǎn)式 過兩點(diǎn) ＝ 與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 截距式 縱、橫截距 ＋＝1 不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直線 3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式． 1．明確直線方程各種形式的適用條件 點(diǎn)斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線． 2．求直線方程的一般方法 (1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時(shí)，應(yīng)注意各種形式的方程的適用范圍，必要時(shí)要分類討論． (2)待定系數(shù)法，具體步驟為： ①設(shè)所求直線方程的某種形式； ②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)； ③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)； ④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (4)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α.(　　) (5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．(　　) (6)經(jīng)過定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) (7)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用＋＝1表示．(　　) (8)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 答案：　(1)√　(2)　(3)　(4)　(5)　(6)　(7)　(8)√ 2．過點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1　 B．4 C．1或3　 D．1或4 解析：　∵kMN＝＝1，∴m＝1. 答案：　A 3．直線x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為(　　) A．30　 B．60 C．150　 D．120 解析：　由直線方程得y＝x＋a，所以斜率k＝， 設(shè)傾斜角為α， 所以tan α＝，又因?yàn)?≤α＜180， 所以α＝60. 答案：　B 4．已知直線l的傾斜角α滿足3sin α＝cos α，且它在x軸上的截距為2，則直線l的方程是________． 解析：　由3sin α＝cos α，得tan α＝，∴直線l的斜率為.又直線l在x軸上的截距為2，∴直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，∴直線l的方程為y－0＝(x－2)，即x－3y－2＝0. 答案：　x－3y－2＝0 5．經(jīng)過兩點(diǎn)M(1，－2)，N(－3,4)的直線方程為________． 解析：　經(jīng)過兩點(diǎn)M(1，－2)，N(－3,4)的直線方程為＝，即3x＋2y＋1＝0. 答案：　3x＋2y＋1＝0 直線的傾斜角與斜率 1．若經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為，則y等于(　　) A．－1　 B．－3 C．0　 D．2 解析：　由k＝＝tan ＝－1. 得－4－2y＝2，∴y＝－3. 答案：　B 2．(xx青島模擬)若ab＜0，則過點(diǎn)P與Q的直線PQ的傾斜角的取值范圍是________． 解析：　kPQ＝＝＜0，又傾斜角的取值范圍為[0，π)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為. 答案：　 　1.在解決斜率或傾斜角的取值范圍問題時(shí)，應(yīng)先考慮斜率是否存在或傾斜角是否為這一特殊情形． 2．求傾斜角α的取值范圍的一般步驟是： (1)求出斜率k＝tan α的取值范圍； (2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍． 直線的方程 根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(diǎn)(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(diǎn)(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12； (3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5. 解析：　(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式． 設(shè)傾斜角為α，則sin α＝(0＜α＜π)， k＝tan α＝. 故所求直線方程為y＝(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為＋＝1，又直線過點(diǎn)(－3,4)， 從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0，適合題意； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k， 則所求直線方程為y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝5，解得k＝. 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0. 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 1．求適合下列條件的直線方程． (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－倍． 解析：　(1)由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0， 設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k， 由已知3－＝2－3k， 解得k＝－1或k＝， ∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意 k＝－3＝－. 又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 2．求過點(diǎn)A(1，－1)與直線l1：2x＋y－6＝0相交于點(diǎn)B且|AB|＝5的直線方程． 解析：　過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組 求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5， 即x＝1為所求． 設(shè)過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組 得兩直線交點(diǎn)為 (k≠－2，否則與已知直線平行) 則B點(diǎn)坐標(biāo)為. 由已知2＋2＝52， 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 3．(xx湖南長(zhǎng)沙一模)過點(diǎn)(1,3)作直線l，若經(jīng)過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，則可作出的直線l的條數(shù)為(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 解析：　由題意得＋＝1?(a－1)(b－3)＝3， 又a∈N*，b∈N*，故有兩個(gè)解或 答案：　B 　在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況． 直線方程的綜合利用 直線l過點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求l的方程． 解析：　依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)， 設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程為y－4＝k(x－1)(k＜0)． 令y＝0，可得A； 令x＝0，可得B(0,4－k)． |OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－ ＝5＋≥5＋4＝9. ∴當(dāng)且僅當(dāng)－k＝且k＜0， 即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值． 這時(shí)l的方程為2x＋y－6＝0. 在本例條件下，若|PA||PB|最小，求l的方程． 解析：　|PA||PB|＝ ＝－(1＋k2)＝4≥8(k＜0)． ∴當(dāng)且僅當(dāng)＝－k且k＜0， 即k＝－1時(shí)，|PA||PB|取最小值． 這時(shí)l的方程為x＋y－5＝0. 　直線方程綜合問題的兩大類型及解法 (1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決． (2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)(如方程解的個(gè)數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為(　　) A．y－1＝3(x－3)　　　　　　　 B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1)　 D．y－3＝－3(x－1) 解析：　因?yàn)锳O＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線 AB的點(diǎn)斜式方程為：y－3＝－3(x－1)． 答案：　D 2．(xx山西太原質(zhì)檢)設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，且傾斜角為α，若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為α＋45，則(　　) A．0≤α≤180　 B．0≤α<135 C．0≤α＜180　 D．0＜α＜135 解析：　∵ ∴0＜α＜135. ∴選D． 答案：　D 3．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A．1　 B．－1 C．－2或－1　 D．－2或1 解析：　由題意可知a≠0.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋2. 當(dāng)y＝0時(shí)，x＝， ∴＝a＋2， 解得a＝－2或a＝1. 答案：　D 4．直線Ax＋By－1＝0在y軸上的截距是－1，而且它的傾斜角是直線x－y＝3的傾斜角的2倍，則(　　) A．A＝，B＝1　 B．A＝－，B＝－1 C．A＝，B＝－1　 D．A＝－，B＝1 解析：　將直線Ax＋By－1＝0化成斜截式y(tǒng)＝－x＋. ∵＝－1，∴B＝－1，故排除A，D． 又直線x－y＝3的傾斜角α＝， ∴直線Ax＋By－1＝0的傾斜角為2α＝， ∴斜率－＝tan＝－， ∴A＝－，故選B． 答案：　B 5．若直線過點(diǎn)P且被圓x2＋y2＝25截得的弦長(zhǎng)是8，則該直線的方程為(　　) A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－ C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0 解析：　若直線的斜率不存在，則該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程解得y＝4，故該直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，滿足條件；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，因?yàn)樵撝本€被圓截得的弦長(zhǎng)為8，故半弦長(zhǎng)為4.又圓的半徑為5，則圓心(0,0)到直線的距離為＝，解得k＝－，此時(shí)該直線的方程為3x＋4y＋15＝0. 答案：　D 6．已知m≠0，則過點(diǎn)(1，－1)的直線ax＋3my＋2a＝0的斜率為________． 解析：　∵點(diǎn)(1，－1)在直線ax＋3my＋2a＝0上， ∴a－3m＋2a＝0，∴m＝a≠0，∴k＝－＝－. 答案：　－ 7．直線xcos α＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是________． 解析：　設(shè)直線的傾斜角為θ，依題意知， k＝－cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k∈， 即tan θ∈. 又θ∈[0，π)，∴θ∈∪. 答案：　∪ 8．設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________． 解析：　b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值． ∴b的取值范圍是[－2,2]． 答案：　[－2,2] 9．已知直線過點(diǎn)P1(2,3)和點(diǎn)P2(1，m)，且m滿足方程m2－4m＋3＝0，求該直線方程． 解析：　由題意，因?yàn)閙滿足方程m2－4m＋3＝0， 則m＝1或m＝3. 若m＝1，則直線方程可寫為＝， 即2x－y－1＝0； 若m＝3，則直線方程的斜率為0，直線方程可寫為y＝3. 因此符合條件的直線方程為2x－y－1＝0或y＝3. 10．設(shè)直線l的方程為x＋my－2m＋6＝0，根據(jù)下列條件分別確定m的值： (1)直線l的斜率為1； (2)直線l在x軸上的截距為－3. 解析：　(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以m≠0，于是直線l的方程可化為y＝－x＋.由題意得－＝1，解得m＝－1. (2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝. 法二：直線l的方程可化為x＝－my＋2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝. B級(jí)　能力提升 1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 解析：　直線l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y軸上的截距為－b；直線l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y軸上的截距為－a.在選項(xiàng)A中l(wèi)2的斜率－b＜0，而l1在y軸上截距－b＞0，所以A不正確．同理可排除C、D． 答案：　B 2．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為__________． 解析：　設(shè)所求直線的方程為＋＝1， ∵A(－2,2)在直線上，∴－＋＝1.① 又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1， ∴|a||b|＝1.② 由①②可得(1)或(2). 由(1)解得或方程組(2)無(wú)解． 故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1， 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程． 答案：　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 3．已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程： (1)過定點(diǎn)A(－3,4)； (2)斜率為. 解析：　(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,3k＋4， 由已知，得＝6， 解得k1＝－或k2＝－. 所以直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是 y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b， 由已知，得|(－6b)b|＝6，∴b＝1. ∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 4．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程． 解析：　(1)證明：證法一：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1， 故無(wú)論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(－2,1)． 證法二：設(shè)直線l過定點(diǎn)(x0，y0)，則kx0－y0＋1＋2k＝0對(duì)任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0， 解得x0＝－2，y0＝1，故直線l總過定點(diǎn)(－2,1)． (2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1， 要使直線l不經(jīng)過第四象限，則 解得k的取值范圍是[0，＋∞)． (3)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)． 又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0. 故S＝|OA||OB|＝(1＋2k) ＝≥(4＋4)＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)，取等號(hào)． 故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0. 第二節(jié)　兩直線的位置關(guān)系 1．能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直． 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行． (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直． 2．兩直線相交 交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)． 相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行?方程組無(wú)解； 重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解． 3．三種距離公式 (1)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離： |AB|＝. (2)點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離： d＝. (3)兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離為d＝. 常見的四大直線系方程 (1)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系A(chǔ)(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，還可以表示為y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在時(shí)可視為x＝x0)． (2)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (3)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (4)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　　) 答案：　(1)　(2)　(3)√　(4)　(5)√ 2．已知p：直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，則p是q的(　　) A．充要條件　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件　 D．既不充分也不必要條件 解析：　由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行的充要條件是1a－(－1)1＝0，即a＝－1. 答案：　A 3．已知點(diǎn)P(－1,1)與點(diǎn)Q(3,5)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為(　　) A．x－y＋1＝0　 B．x－y＝0 C．x＋y－4＝0　 D．x＋y＝0 解析：　線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，直線PQ的斜率kPQ＝1，∴直線l的斜率kl＝－1，∴直線l的方程為x＋y－4＝0. 答案：　C 4．直線Ax＋3y＋C＝0與直線2x－3y＋4＝0的交點(diǎn)在y軸上，則C的值為________． 解析：　因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在y軸上，所以點(diǎn)在第一條直線上，所以C＝－4. 答案：?。? 5．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為________． 解析：　∵直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直線l1與直線l2的距離為＝. 答案：　 兩條直線的平行與垂直 1．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0　　　　　　　 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0　 D．2x－3y＋8＝0 解析：　直線2x－3y＋4＝0的斜率是，由直線l與直線2x－3y＋4＝0垂直，可知直線l的斜率是－，又因直線l過點(diǎn)(－1，2)，由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 答案：　A 2．(xx廣東惠州二調(diào))“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件　 D．既不充分也不必要條件 解析：　若直線l1與l2平行，則a(a＋1)－21＝0， 即a＝－2或a＝1， 所以“a＝1”是“直線l1與直線l2平行”的充分不必要條件． 答案：　A 3．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于(　　) A．－4　 B．－2 C．0　 D．2 解析：　由題意知，l的傾斜角為，∴k＝tan＝－1，設(shè)l1的斜率為k1，∴k1＝＝，∵l1與l垂直，∴kk1＝－1， ∴a＝0. 又∵l2：2x＋by＋1＝0與l1平行，∴－＝1， ∴b＝－2，∴a＋b＝－2. 答案：　B 　兩直線平行、垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等； ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1. [提醒]　當(dāng)直線斜率不確定時(shí)，要注意斜率不存在的情況． (2)已知兩直線的一般方程 兩直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系數(shù)A1，B1，C1，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系： A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2； A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0?l1∥l2. 兩直線的交點(diǎn) 求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程． 解析：　法一：由方程組，得， 即P(0,2)． ∵l⊥l3，∴kl＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)， ∴可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l與l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11， ∴直線l的方程為12x＋9y－18＝0， 即4x＋3y－6＝0. 1．(xx浙江溫州十校聯(lián)考)過兩直線2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為________． 解析：　聯(lián)立得交點(diǎn)P(1，－3)． 設(shè)過點(diǎn)P且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為3x＋y＋m＝0，則31－3＋m＝0，解得m＝0. 答案：　3x＋y＝0 2．過點(diǎn)P(3,0)作一條直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程． 解析：　法一：設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)， 將此方程分別與l1，l2的方程聯(lián)立， 得得 解之，得xA＝和xB＝， ∵P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)， 由xA＋xB＝6得 ＋＝6，解得k＝8. 故直線l的方程為y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0. 法二：設(shè)l1上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)， ∵P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)， 則l2上的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6－x1，－y1)， ∴ 解這個(gè)方程組，得 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式可得l的方程為8x－y－24＝0. 3．已知直線l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分別求滿足下列條件的k的值： (1)l1，l2，l3相交于一點(diǎn)； (2)l1，l2，l3圍成三角形． 解析：　(1)直線l1，l2的方程聯(lián)立得， 解得，即直線l1，l2的交點(diǎn)為P(－1，－2)． 又點(diǎn)P在直線l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－. (2)由(1)知k≠－. 當(dāng)直線l3與l1，l2均相交時(shí)，有， 解得k≠且k≠－1， 綜上可得k≠－，且k≠，且k≠－1. 　1.兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)． 2．求經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線方程，利用直線系方程，會(huì)給解題帶來方便． 距離問題 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2. 解析：　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2)． 而AB的斜率kAB＝＝－1， ∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0. ∵點(diǎn)P(a，b)在直線x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0.① 又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2， ∴＝2， 即4a＋3b－2＝10，② 由①②聯(lián)立可得或 ∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或. 已知直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之間的距離為，求直線l1的方程． 解析：　∵l1∥l2，∴＝≠， ∴或 (1)當(dāng)m＝4時(shí)，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0， ∴＝，解得n＝－22或n＝18. 故所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. (2)當(dāng)m＝－4時(shí)，直線l1的方程為4x－8y－n＝0， l2的方程為2x－4y－1＝0， ∴＝，解得n＝－18或n＝22. 故所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 　求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要注意把直線方程化成一般式的形式；求兩條平行線之間的距離時(shí)，可先把兩平行線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解．也可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線距離求解． 對(duì)稱問題 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程． 解析：　(1)設(shè)A′(x，y)， 由已知解得 ∴A′. (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上． 設(shè)M的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)， 則 解得M′. 設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由 得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)， ∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. 在本例條件下，求直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． 解析：　設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0. 即2x－3y－9＝0. 　對(duì)稱問題的解題策略 解決中心對(duì)稱問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx廣東六校一聯(lián))如果直線(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0與直線(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0互相垂直，則a＝(　　) A．2　 B．－2 C．2，－2　 D．2,0，－2 解析：　由題意可知(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝(2－a)[(2a＋5)－(a＋3)]＝－(a－2)(a＋2)＝0，解得a＝2，故選C． 答案：　C 2．已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為(　　) A．0或－　 B．或－6 C．－或　 D．0或 解析：　依題意得＝， ∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m. ∴m＝－6或m＝.故應(yīng)選B． 答案：　B 3．已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則直線l2的斜率為(　　) A．　 B．－ C．2　 D．－2 解析：　∵l2，l1關(guān)于y＝－x對(duì)稱， ∴l(xiāng)2的方程為－x＝－2y＋3.即y＝x＋. ∴l(xiāng)2的斜率為. 答案：　A 4．(xx廣東模擬)若直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　) A．0　 B．1 C．－1　 D．2 解析：　∵直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離為， ∴ ∴n＝－2，m＝2(負(fù)值舍去)． ∴m＋n＝0. 答案：　A 5．(xx湖北八市聯(lián)考)已知集合M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝?，則a＝(　　) A．－6或－2　 B．－6 C．2或－6　 D．－2 解析：　易知集合M中的元素表示的是過(2,3)點(diǎn)且斜率為3的直線上除(2,3)點(diǎn)外的所有點(diǎn)，要使M∩N＝?，則N中的元素表示的是斜率為3且不過(2,3)點(diǎn)的直線，或過(2,3)點(diǎn)且斜率不為3的直線，∴－＝3或2a＋6＋a＝0，∴a＝－6或a＝－2. 答案：　A 6．經(jīng)過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程為________． 解析：　∵y′＝6x－4，∴y′|x＝1＝2，∴所求直線的方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 答案：　2x－y＋4＝0 7．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則b＝________. 解析：　法一：由題知，點(diǎn)A不在直線x＋2y－3＝0上， ∴兩直線平行， ∴－＝－， ∴a＝2. 又點(diǎn)A到兩直線距離相等， ∴＝， ∴|b＋2|＝4， ∴b＝－6或b＝2. ∵點(diǎn)A不在直線x＋2y－3＝0上， ∴兩直線不能重合， ∴b＝2. 法二：在直線x＋2y－3＝0上任取兩點(diǎn)P1(1,1)，P2(3,0)，則P1，P2關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1′，P2′都在直線ax＋4y＋b＝0上， ∵易知P1′(1，－1)，P2′(－1,0)， ∴ ∴b＝2. 答案：　2 8．設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)與直線l的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線l的方程為________． 解析：　設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l的距離為d， 當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值， 此時(shí)直線l垂直于直線AB，kl＝－＝， ∴直線l的方程為y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. 答案：　3x－2y＋5＝0 9．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解析：　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2. (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a.① 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b.② 聯(lián)立①②可得：a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 10．已知直線l：3x－y＋3＝0，求： (1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)； (2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程． 解析：　設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)． ∵kPP′kl＝－1，即3＝－1.① 又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上， ∴3－＋3＝0.② 由①②得 (1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)． (2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l的對(duì)稱直線方程為－－2＝0， 化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0. B級(jí)　能力提升 1．(xx洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．過點(diǎn)P且與l垂直的直線 B．過點(diǎn)P且與l平行的直線 C．不過點(diǎn)P且與l垂直的直線 D．不過點(diǎn)P且與l平行的直線 解析：　因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)不在直線Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不經(jīng)過點(diǎn)P，排除A、B；又直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故選D． 答案：　D 2．(xx四川卷)設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA||PB|的最大值是________． 解析：　由題意可知點(diǎn)A為(0,0)，點(diǎn)B為(1,3)． 又∵直線x＋my＝0的斜率k1＝－，直線mx－y－m＋3＝0的斜率k2＝m，∴k1k2＝－1. ∴兩條動(dòng)直線互相垂直． 又由圓的性質(zhì)可知，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡是圓， ∴圓的直徑為|AB|＝＝. ∴|PA||PB|≤＝＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴|PA||PB|的最大值是5. 答案：　5 3．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P. (1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解析：　(1)∵經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3，解得λ＝2或λ＝. ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)． ∴dmax＝|PA|＝. 4．A，B兩個(gè)工廠距一條河分別為400 m和100 m，A，B兩工廠之間距離500 m，把小河看作一條直線，今在小河邊上建一座供水站，供A，B兩工廠用水，要使供水站到A，B兩工廠鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最短，問供水站應(yīng)建在什么地方？ 解析：　如圖，以小河所在直線為x軸，過點(diǎn)A的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0,400)，點(diǎn)B(a,100)． 過點(diǎn)B作BC⊥AO于點(diǎn)C． 在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300， 由勾股定理得BC＝400， ∴B(400,100)． 點(diǎn)A(0,400)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，－400)， 由兩點(diǎn)式得直線A′B的方程為y＝x－400. 令y＝0，得x＝320，即點(diǎn)P(320,0)． 故供水站(點(diǎn)P)在距O點(diǎn)320 m處時(shí)，到A，B兩廠鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最短． 第三節(jié)　圓的方程 1．掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程． 2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) 圓心：(a，b)， 半徑：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圓心：， 半徑： 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．待定系數(shù)法求圓的方程 (1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； (2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 2．確定圓心位置的方法 (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上． (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上． (3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F＞0.(　　) (3)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√ 2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是(　　) A．＜m＜1　　　　　　　 B．m＜或m＞1 C．m＜　 D．m＞1 解析：　由D2＋E2－4F＝16m2＋4－20m＞0， 解得m＞1或m＜，故選B． 答案：　B 3．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1　 B．0＜a＜1 C．a(chǎn)＞1或a＜－1　 D．a(chǎn)＝1 解析：　∵點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1＜a＜1. 答案：　A 4．圓(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圓心坐標(biāo)為________． 解析：　整理配方，得2＋(y＋1)2＝， 所以圓心為. 答案：　 5．(xx陜西卷)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________． 解析：　因?yàn)?1,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1)，所以圓C是以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓，其方程為x2＋(y－1)2＝1. 答案：　x2＋(y－1)2＝1 確定圓的方程 1．(xx山東濰坊一模)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y2)2＝3 B．(x－2)2＋(y)2＝3 C．(x－2)2＋(y2)2＝4 D．(x－2)2＋(y)2＝4 解析：　因?yàn)閳AC經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝，選D． 答案：　D 2．過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4的圓的方程為________________． 解析：　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.① 將P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得 令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的兩根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤ 解②③⑤組成的方程組得 或 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 答案：　x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 3．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0，－6)，B(1，－5)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解析：　法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則圓心坐標(biāo)為. 由題意可得 消去F得， 解得，代入求得F＝－12， 所以圓的方程為x2＋y2＋6x＋4y－12＝0， 標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 法二：因?yàn)锳(0，－6)，B(1，－5)， 所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為， 直線AB的斜率kAB＝＝1， 因此線段AB的垂直平分線l的方程是 y＋＝－， 即x＋y＋5＝0. 圓心C的坐標(biāo)是方程組的解， 解得， 所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)． 圓的半徑長(zhǎng) r＝|AC|＝＝5， 所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 　求圓的方程的兩種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程 . (2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值． 與圓有關(guān)的最值問題 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值． 解析：　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝，解得k＝(如圖1)． 所以的最大值為，最小值為－. (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2(如圖2)． 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. 1．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運(yùn)動(dòng)，則的最大值與最小值分別為________． 解析：　設(shè)＝k，則k表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)(2,1)連線的斜率．當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，k取得最大值與最小值． 由＝1，解得k＝. 答案：　?。? 2．若本例中的條件不變． (1)求點(diǎn)P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值． (2)求x2＋y2的最大值和最小值． 解析：　(1)∵圓心(2,0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離為 d＝＝， ∴P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為＋，最小值為－. (2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖)． 又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 3．設(shè)圓x2＋y2＝2的切線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為________． 解析：　設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0，b)(a，b＞0)，則直線AB的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，因?yàn)橹本€AB和圓相切，所以圓心到直線AB的距離d＝＝，整理得＝ab，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值為2，此時(shí)a＝b，即a＝b＝2，切線l的方程為＋＝1，即x＋y－2＝0. 答案：　x＋y－2＝0 　與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： (1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題； (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題． 與圓有關(guān)的軌跡問題 已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． 解析：　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程； (2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程． 解析：　(1)設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝，且kACkBC＝－1， 所以＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． (2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x0，y0代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 解析：　(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－1,1)，它關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱的點(diǎn)為(2，－2)，對(duì)稱后半徑不變，所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：　B 2．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2)　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)　 D．(2，＋∞) 解析：　曲線C的方程可化為(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，則該方程表示圓心為(－a,2a)，半徑等于2的圓．因?yàn)閳A上的點(diǎn)均在第二象限，所以a＞2. 答案：　D 3．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是(　　) A．30　 B．18 C．6　 D．5 解析：　由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0知圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，則圓上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離為＋3＝8，最小距離為－3＝2，故最大距離與最小距離的差為6. 答案：　C 4．已知二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，則是方程表示圓的(　　) A．充分非必要條件　 B．必要非充分條件 C．充要條件　 D．既非充分又非必要條件 解析：　取A＝C＝4，D＝2，E＝2，F(xiàn)＝1時(shí)，滿足但是4x2＋4y2＋2x＋2y＋1＝0不表示圓；方程x