2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題6-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

專題6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用【考情分析】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式及其應(yīng)用。2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。3.會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題。【重點知識梳理】知識點一 等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義常數(shù)常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),) 為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù), ) 為等差數(shù)列；(5) 為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列 (，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法： () 為等比數(shù)列(3)通項公式法： (均是不為0的常數(shù)，)為等比數(shù)列(4) 為等差數(shù)列(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，且，則(2) (3) ，仍成等差數(shù)列(1)若，且，則(2) (3)等比數(shù)列依次每項和()，即 ，仍成等比數(shù)列前n項和時，；當(dāng)時，或.知識點二 數(shù)列求和1. 等差數(shù)列的前n和的求和公式：.2等比數(shù)列前n項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.3. 數(shù)列前n項和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差數(shù)列中，；等比數(shù)列中，.【典型題分析】高頻考點一 數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用【例1】(2020重慶八中模擬)某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬實施“二孩”政策后，專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2019年開始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人，從2029年開始到2038年，每年人口總數(shù)為上一年的99%.(1)求實施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達(dá)式(注：2019年為第一年)；(2)若“二孩”政策實施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實施，問到2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.99100.9)【解析】(1)由題意知，當(dāng)1n10時，數(shù)列an是首項為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，可得an45.50.5(n1)0.5n45，則a1050；當(dāng)11n20時，數(shù)列an是公比為0.99的等比數(shù)列，則an500.99n10.故實施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達(dá)式為an(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和從2019年到2038年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)972.5.所以“二孩”政策實施后的2019年到2038年人口平均值為48.63，則49，故到2038年結(jié)束后不需要調(diào)整政策【方法技巧】數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮考查的是第n項an與第n1項an1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n1項和Sn1之間的遞推關(guān)系【變式探究】（2020安徽省銅陵中學(xué)模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第_天時，蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg 30.477 1，lg 20.301 0)【答案】3【解析】由題意得，蒲草的高度組成首項為a13，公比為的等比數(shù)列an，設(shè)其前n項和為An；莞草的高度組成首項為b11，公比為2的等比數(shù)列bn，設(shè)其前n項和為Bn.則An，Bn，令，化簡得2n7(nN*)，解得2n6，所以n13，即第3天時蒲草和莞草高度相同。高頻考點二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例2】(2018高考北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通項公式；(2)求ea1ea2ean.【解析】(1)設(shè)an的公差為d.因為a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.(2)因為ea1eln 22，eanan1eln 22，所以ean是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以ea1e a2ean22(2n1)2n12.【方法技巧】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的【變式探究】（2020江西省瑞昌市第二中學(xué)模擬）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2，a5，a11成等比數(shù)列，且a112(SmSn)(mn0，m，nN*)，則mn的值是 .【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，因為a2，a5，a11成等比數(shù)列，所以aa2a11，所以(a14d)2(a1d)(a110d)，解得a12d，又a112(SmSn)(mn0，m，nN*)，所以2ma1m(m1)d2na1n(n1)da110d，化簡得(mn3)(mn)12，因為mn0，m，nN*，所以或解得或(舍去)，所以mn9.高頻考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題【例3】(2020湖北黃岡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)，正項數(shù)列an滿足a11，anf，nN*，且n2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對nN*，求證：<2.【解析】(1)由anf，所以anan1，nN*，且n2，所以數(shù)列an是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d1(n1).(2)證明：由(1)可知4，Sn4()42<2，得證【方法技巧】數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的常見解法(2)數(shù)列與不等式的交匯問題函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式；放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到；比較方法：作差或者作商比較【變式探究】 (2020湖南岳陽一模)曲線yxln x(nN*)在x處的切線斜率為an，則數(shù)列的前n項的和為 【解析】對yxln x(nN*)求導(dǎo)，可得y，由曲線yxln x(nN*)在x處的切線斜率為an，可得ann.所以，則數(shù)列的前n項的和為1.【答案】【舉一反三】(2020浙江杭州模擬)已知數(shù)列an，bn滿足a11，且an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個零點，則a5 ，b10 【解析】因為an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個零點，所以an，an1是方程x2bnx2n0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得anan12n，anan1bn，由anan12n，可得an1an22n1，兩式相除可得2，所以a1，a3，a5，成公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，a6，成公比為2的等比數(shù)列，又由a11，得a22，所以a51224，a1022432，a1112532，所以b10a10a11323264.【答案】464