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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

專題6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考情分析】1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【重點(diǎn)知識梳理】知識點(diǎn)一 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q0)表示數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:q(n2,q為非零常數(shù)),或q(nN*,q為非零常數(shù))知識點(diǎn)二 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比是q,則其通項(xiàng)公式為ana1qn1;通項(xiàng)公式的推廣:anamqnm.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q1時(shí),Snna1;當(dāng)q1時(shí),Sn.知識點(diǎn)三 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即:G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列G2ab.(2)若an為等比數(shù)列,且klmn(k,l,m,nN*),則akalaman(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,akm,ak2m,仍是等比數(shù)列,公比為qm(4)當(dāng)q1,或q1且n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn【必會(huì)結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:anamqnm(n,mN*)(2)若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),則amanapaqa.(3)若數(shù)列an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an,a,anbn,(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,ank,an2k,an3k,為等比數(shù)列,公比為qk.(5)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.(6)等比數(shù)列an滿足或時(shí),an是遞增數(shù)列;滿足或時(shí),an是遞減數(shù)列【典型題分析】高頻考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】(2020新課標(biāo))數(shù)列中,若,則( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】在等式中,令,可得,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,則,則,解得. 【舉一反三】(2019高考全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a11,S3,則S4 【解析】(1)通解:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a11及S3,易知q1.把a(bǔ)11代入S3,得1qq2,解得q,所以S4.優(yōu)解一:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)镾3a1a2a3a1(1qq2),a11,所以1qq2,解得q,所以a4a1q3,所以S4S3a4.優(yōu)解二:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意易知q1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA(1qn)(其中A為常數(shù)),則a1S1A(1q)1,S3A(1q3),由可得A,q.所以S4.【答案】【方法技巧】(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解;(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q1時(shí),an的前n項(xiàng)和Snna1;當(dāng)q1時(shí),an的前n項(xiàng)和Sn?!九e一反三】(2019高考全國卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a53a34a1,則a3()A16 B8C4 D2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0),由a53a34a1,得a1q43a1q24a1,得q43q240,令q2t,則t23t40,解得t4或t1(舍去),所以q24,即q2或q2(舍去)又S415,所以a11,所以a3a1q24.故選C.高頻考點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定與證明【例2】(2020北京卷)已知是無窮數(shù)列給出兩個(gè)性質(zhì):對于中任意兩項(xiàng),在中都存在一項(xiàng),使;對于中任意項(xiàng),在中都存在兩項(xiàng)使得()若,判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì),說明理由;()若,判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì),說明理由;()若是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì),證明:為等比數(shù)列.【答案】()詳見解析;()詳解解析;()證明詳見解析.【解析】()不具有性質(zhì);()具有性質(zhì);具有性質(zhì);()假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù):首先利用性質(zhì):取,此時(shí),由數(shù)列的單調(diào)性可知,而,故,此時(shí)必有,即,即成等比數(shù)列,不妨設(shè),然后利用性質(zhì):取,則,即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為,下面我們來證明,否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,在性質(zhì)中,取,則,從而,與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾;即不存在滿足題意的正整數(shù),可見不成立,從而,同理可得:,從而數(shù)列為等比數(shù)列,同理,當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù),不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證,數(shù)列為等比數(shù)列.【變式探究】(2019全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11,b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明:anbn是等比數(shù)列,anbn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式【解析】(1)證明:由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn),即an1bn1(anbn)又因?yàn)閍1b11,所以anbn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8,即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11,所以anbn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知,anbn,anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n,bn(anbn)(anbn)n.【方法技巧】等比數(shù)列的判定方法定義法若q(q為非零常數(shù),nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2,nN*),則an是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列an中,an0且aanan2(nN*),則an是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列an的通項(xiàng)公式可寫成ancqn1(c,q均為非零常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為非零常數(shù),q0,1),則an是等比數(shù)列【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明;后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定;(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。【舉一反三】(2018全國卷)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2n+1an,設(shè)bn=ann(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式【答案】(1) b1=1,b2=2,b3=4(2) bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列理由見解析.(3) an=n2n-1【解析】(1)由條件可得an+1=2(n+1)nan將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4將n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12從而b1=1,b2=2,b3=4(2)bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列由條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1高頻考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比數(shù)列an中,a3,a15是方程x26x20的兩根,則的值為()A BC. D或【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍3,a15是方程x26x20的兩根,所以a3a15a2,a3a156,所以a30,a150,則a9,所以a9.【方法技巧】(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若mnpq(m,n,p,qN*),則amanapaq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形此外,解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用【變式探究】(2020河北承德模擬)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a54,則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5 【答案】5【解析】由題意知a1a5a4,因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a32.所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a)2a3a25.所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.高頻考點(diǎn)四 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用【例4】(2020江蘇卷)設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列,bn是公比為q的等比數(shù)列已知數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和,則d+q的值是_【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,依題意,即,通過對比系數(shù)可知,故.【舉一反三】 (2018全國卷)等比數(shù)列an中,a11,a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63,求m.【解析】(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1,則Sn.由Sm63,得(2)m188,此方程沒有正整數(shù)解若an2n1,則Sn2n1.由Sm63,得2m64,解得m6.綜上,m6.【變式探究】(2020江蘇南京模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若,則 【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)椋詀n的公比q1.由,得q3,所以.【答案】

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本文(2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和)為本站會(huì)員(精***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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