【課時23】用二分法求方程的近似解

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1、精品資源 歡迎下載 課題： 3.1.2用二分法求方程的近似解 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能 通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方 程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用. 過程與方法 能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為 學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備. 情感、態(tài)度、價值觀 體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一. 教學(xué)重點： 重點 通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初 步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識. 難點 恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解

2、. 教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計: 由二分查找及高次多項式方程的求問題引入. 二分法的意義、算法思想及方法步驟. 體會函數(shù)零點的意義，明確二分法的適用范圍. 二分法的算法思想及方法步驟，初步應(yīng)用二分法 解決簡單問題. 二分法應(yīng)用于實際. 1 .二分法為什么可以逼近零點的再分析； 2 .追尋阿貝爾和伽羅瓦. 教學(xué)過程與操作設(shè)計 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計 師生雙邊互動 材料一：二分查找(binary-search) (第六屆全國青少年信息學(xué)(計算機(jī))奧林匹 克分區(qū)聯(lián)賽提高組初賽試題第 15題)某數(shù)列有1000 個各不相同的單兀，由低至高按序排列；現(xiàn)要對該 數(shù)列進(jìn)行二分法檢索(

3、binary-search ),在最壞的情況 下，需檢索()個單元。 A. 1000 B. 10 C. 100 D. 500 二分法檢索(二分查找或折半查找) 逋底. 師：從學(xué)生感興趣的計 算機(jī)編程問題，引導(dǎo)學(xué) 生分析二分法的算法 思想與方法，引入課 題. 生：體會二分查找的思 創(chuàng) 材料二：高次多項式方程公式解的探索史料 由于實際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù) 想與方法. 設(shè) 情 境 y=f(X)的零點(即f(X)=0的根)，對于f(X)為 一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法 (二次時， 稱為求根公式). 在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根 公式，但對于高于

4、4次的函數(shù)，類似的努力卻一直 沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾( Abel)和 伽羅瓦(Galois)的研究，人們認(rèn)識到高于 4次的 代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運 算及根號表示的一般的公式解.同時，即使對于 3 次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜， 一般來講并不適宜作具體計算.因此對于高次多項 式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求具零點的近 似解的方法，這是一個在計算數(shù)學(xué)中十分重要的課 題. 師：從高次代數(shù)方程的 解的探索歷程，引導(dǎo)學(xué) 生認(rèn)識引入二分法的 意義. 組 織 探 究 二分法及步驟： 對于在區(qū)間［a, b］上連續(xù)不斷，且滿足 f (a)

5、 ? f (b) <0的函數(shù)y= f(x),通過不斷地把 函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的 兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方 法叫做二分法. 給定精度 8，用二分法求函數(shù) f(x)的零點近 師：闡述二分法的逼近 原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二 分法的算法思想，明確 二分法求函數(shù)近似零 點的具體步驟. 似值的步驟如下： 1 .確定區(qū)間［a , b］,驗證 f (a) ? f (b) <0, 給定精度8； 2 .求區(qū)間(a , b)的中點x1； 3 .計算 f (x1)： 分析條件 “ f (a) ? f (b) <0\ “精度名”、“區(qū)間中 點”及“ |a—b|

6、<名" 的意義.  環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計 C1若f （Xi） = 0 ,則Xi就是函數(shù)的零點； 生：結(jié)合引例“二分查 C2 若 f(a) f(X)<0,則令 b： =X1 （此時零 找”理解二分法的算法 點 X0 匚(a, xi)); 思想與計算原理. C3 若 f(Xi) ? f (b)<0,則令 a： =X1 （此時零 點 Xo w（Xi，b））； 師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解 4.判斷是否達(dá)到精度 名； 求區(qū)間（a , b）的中點 即若|a —b卜 :名，則得到零點零點值 a (或 b

7、)； a + b 否則重復(fù)步驟2~4. 的方法X1 . 2 例題解析： 師：引導(dǎo)學(xué)生利用二分 例1.求函數(shù)f（X）=X3+X —2x —2的一個 法逐步尋求函數(shù)零點 正數(shù)零點（精確到 0.1 ). 的近似值，注意規(guī)范方 分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計算機(jī)、計算 法、步驟與書寫格式. 器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點大致所在的區(qū)間， 然后利用二分法逐步計算解答. 生：根據(jù)二分法的思想 組 用牛：3旬. 與步驟獨立完成解答， 注息： 并進(jìn)行交流、討論、評 Art 。第一步確定零點所在的大致

8、區(qū)間 (a , b), 析. 織 可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機(jī)或計算器，但盡 探 量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常 可確定一個長度為 1的區(qū)間； 究 CD建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 中點函數(shù)值 區(qū)間長度 [1, 2] f(1.5)>0 1 師：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù) 單調(diào)性確定方程解的 [1, 1.5] f(1.25) <0 0.5 [1.25, 1.5] f (1.375) <0 0.25 個數(shù). 如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小 于精度時

9、，即為計算的最后一步. 生：認(rèn)真思考，運用所 例2.借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程 學(xué)知識尋求確定方程 2X +3x = 7的近似解（精確到 0.1）. 解的個數(shù)的方法，并進(jìn) 解：（略）. 行、討論、交流、歸納、 概括、評析形成結(jié)論. 思考：本例除借助計算器或計算機(jī)確定方程解 所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到 有什么方法確定方程的根的個數(shù)？ 結(jié)論：圖象在閉區(qū)間［a , b］上連續(xù)的單調(diào)函 數(shù) f(X),在(a, b）上至多"-個零點. 

10、 環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計 探 究 與 發(fā) 現(xiàn) 1)函數(shù)零點的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使 f(x)=0的實數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x 軸交點的橫坐標(biāo)； 若函數(shù)f (x)的圖象在x = %處與x軸相切， 則零點％通常稱為小變號零點； 若函數(shù)f (x)的圖象在 x = %處與x軸相交， 則零點小通常稱為變號零點. 2)用二分法求函數(shù)的變號零點 二分法的條件f(a) ? f(b)<0表明用二分法 求函數(shù)的近似零點都是指變號零點. 師：引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)” 和“形”兩個角度去體 會函數(shù)零點的意義， 掌 握常見函數(shù)零點的求 法，明確二分法的適用 范圍

11、. 嘗 試 練 習(xí) 1)教材P106練習(xí)1、2題； 2)教材P108習(xí)題3. 1 (A組)第1、2題； 3)求方程log3 x+x = 3的解的個數(shù)及其大 致所在區(qū)間； V 2 4)求方程0.9x-一x=0的實數(shù)解的個數(shù)； 21 5)探究 函數(shù)y = 0.3x與函數(shù)y = log0.3 x的 圖象后無交點，如后交點，求出交點，或 給出一個與交點距離不超過 0.1的點. 作 業(yè) 回 饋 1)教材P108習(xí)題3. 1 (A組)第3~6題、(B 組)第4題； 2)提高作業(yè)： Q已知函數(shù) 2 f (x) =2(m +1)x +4mx + 2m -1 . (1)

12、 m為何值時，函數(shù)的圖象與 x軸后兩個 交點？ (2)如果函數(shù)的一個零點在原點， 求m的值. ②借助于計算機(jī)或計算器，用二分法求函數(shù) -，、 3 - --， f(x) =x —2的零點(精確到0.01 )； ⑶ 用二分法求知3的近似值(精確到 0.01).  環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料 師生互動設(shè)計 課 外 活 動 查找有美系資料或利用 internet查找有美高次 代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（ Abel）和 伽羅瓦（Galois）,增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識. 收獲與體會 說說方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系， 并給出判 定方程在某個區(qū)間存在根的基本步驟，及方程根的 個數(shù)的判定方法； 談?wù)勍ㄟ^學(xué)習(xí)求函數(shù)的零點和求方程的近似 解，對數(shù)學(xué)有了哪些新的認(rèn)識？