高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的應(yīng)用》教案2蘇教版必修4

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1、 第 15 課時： 1.3.4 三角函數(shù)的應(yīng)用（二） 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1. 會用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型 . 2. 掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟： (1) 根據(jù)圖象建立解析式； (2) 根據(jù)解析式作出圖象； (3) 將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型 . 3. 能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，能根據(jù)問題的實際意義，利用模型解釋有關(guān)實際問題，為決策提供依據(jù)。 4. 讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建

2、?！彼枷?, 從而培養(yǎng)學(xué)生的 建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力．培養(yǎng)學(xué)生用已有的知識解決實際問題的能力 . 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實際計算的能力。 二、過程與方法 1. 從實際的應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)與生活是相關(guān)的，不是完全脫離現(xiàn)實的，同時理解三角函數(shù)在描述周期性現(xiàn)象時的重要作用。 2. 講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。 三、情感、態(tài)度與價值觀 1. 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力， 讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用， 意識到只要認(rèn)真觀 察思考，會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活。 2. 讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程， 體驗數(shù)學(xué)在解決

3、實際問題中的價值和作用， 從而激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神； 3. 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。 【教學(xué)重點與難點】 ： 重點：用三角函數(shù)模型刻畫潮汐等現(xiàn)象的變化規(guī)律， 用函數(shù)思想解決具有周期變化的實際問題；對問題實際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型。 難點：（ 1）分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型， 并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題． （ 2）由圖象求解析式時 的確定。 【學(xué)法與教學(xué)用具】 ： 1. 學(xué)法： 2. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課

4、 【課時安排】： 1 課時 【教學(xué)流程】： 實例背景，資料數(shù)據(jù)，提出問題 根據(jù)散點圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合 求解函數(shù)模型 利用函數(shù)模型解決實際問題 反思解題過程，總結(jié)解題方法，提煉數(shù)學(xué)思想 【教學(xué)思路】： 用心 愛心 專心 - 1 - 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 【復(fù)習(xí)提問】： 1. 回顧教材“三角函數(shù)的周期性” ； 2. 求函數(shù) y A sin( x ) k 的解析式。（ 1） 函數(shù) f ( x) 的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍

5、， 再向左平移 個單位所得的曲線是 y 1 sin x 的圖像，試求 y f ( x) 的解析式 . （ 2） 函數(shù) 2 2 y Asin( x ),( A 0, 0, | | )的最小值是 2，其圖象最高點與最低點橫坐標(biāo)差是 3 ， 2 且圖象過點 (0,1) ，求函數(shù)解析式 . 3. 討論：（ 1）如何由圖觀察得到三角函數(shù)的各系數(shù)？如何確定初相？（特殊點法） （ 2）在現(xiàn)實生活中，哪些現(xiàn)象具有周期性？（溫度、白晝、振動、情緒、智力、體力等）函數(shù) y＝ Asin( ω

6、x＋ φ ) 的性質(zhì)問題，是三角函數(shù)中的重要問題，是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也 是高考的熱點 . 三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用 . 二、研探新知 例 1 （學(xué)生自學(xué)完成教材 P41 例 1） 點 O 為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅 為 3cm，周期為 3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時 . （ 1）求物體對平衡位置的位移x (cm) 和時間 t(s) 之間的函數(shù)關(guān)系； （ 2）求該物體在 t=5s 時的位置 . （教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u析 . 并回答

7、下列問題：根據(jù)物理常識，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運動；怎樣求 和初相位 θ ；第二問中的“ t=5s 時的位置”與函數(shù)式有何關(guān)系？） 例 2（學(xué)生自學(xué)完成教材 P42 例 2）一半徑為 3cm 的水輪如圖 1-3-22 所示，水輪圓心 O 距 離水面 2cm ，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動 4 圈，如果當(dāng)水輪上點 P 從水中浮現(xiàn)時（圖中 P0 點）開始 計算時間。 （ 1）將點 P 距離水面的高度 z(cm) 表示為時間 t( s) 的函數(shù)； （ 2）點 P 第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？ 例 3 （教材 P42 探究案例）海水受日月的

8、引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐， 一般的早潮叫潮 , 晚潮叫汐 . 在通常的情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮 是返回海洋 . 下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深 . 時間 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （ 1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的近似數(shù)值 . （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米

9、，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米 的安全間隙（船底與海底的距離） ，該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1.5 米，該船在 2： 00 開始卸貨，吃水深度以 每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 【問題】： （ 1）選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型反映該實際問題？ （ 2）圖表中的最大值與三角函數(shù)的哪個量有關(guān)？ 用心 愛心 專心 - 2 - 5.5 米 （ 3）函數(shù)的周期為多少？ （ 4）“吃水深度”對應(yīng)函數(shù)中的哪個字母？請同學(xué)們看下面這個

10、問題： 【問題探究 1】：請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？ 小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言。可能結(jié)果： 1）水深的最大值是 7.5 米，最小值是 2.5 米。 2）水的深度開始由 5.0 米增加到 7.5 米，后逐漸減少一直減少到 2.5 ，又開始逐漸變深， 增加到 7.5 米后，又開始減少。 3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。 4） 學(xué)生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式） 5）教師呈現(xiàn)作圖結(jié)果，

11、學(xué)生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常的類似？ 追問為什么類似正弦型函數(shù) y Asin( x ) b （排除法，關(guān)鍵在于周期性）。 （學(xué)生活動，求解解析式） 得到的是一個刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程——選模，求模，驗?zāi)?，?yīng)用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學(xué)生小組合作討論回答，如周期、單調(diào)性、每時每刻的水深。 【問題探究 2】：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船

12、何時能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ （師生一起分析）用數(shù)學(xué)的眼光看，這里研究的是一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？水深 得出 2.5sin x 5 4 1.5 ，即 sin x 0.2 ， 6 6 （師生齊分析）解三角不等式 x 0.2的方法 sin x 6 x 令 sin 0.2 學(xué)生活動： 操作計算器計算 0.2014, x 0.3848 ， 結(jié)合電腦呈現(xiàn)圖 6 6 象 發(fā)

13、現(xiàn)：在 [0 ， 24] 范圍內(nèi)，方程 sin x 的解一共有 4 個，從小到大依次記為： 0.2 6 用心 愛心 專心 - 3 - 那么其他三個 如何求得呢？（學(xué)生思考） 得到了 4 個交點的橫坐 后， 合 象 船 什么 港？什么 出 港呢？ （學(xué)生 ，交流） 可能 果：【生 1】 船可以在 0 時 30 分 左右 港，早晨 5 時 30 分 左右出港；或者是中 午 12 時 30 分 左右 港，在傍晚 17 時 30 分

14、 左右出港。 【生 2】 船可以在 0 時 30 分 左右 港，可以 早晨 5 時 30 分，中午 12 時 30 分，或 者傍晚 17 時 30 分左右出港。 ?? （學(xué)生 ，最后確定方案 1 安全方案，因 當(dāng) 水深小于安全深度 ， 船盡管沒有行 ，但是 淺后船身完全可以 入淤泥，即使后來水位上 ，也很可能船身不再上?。? 才整個 程， 船在 港，在港口停留，到后來離開港口， 船的吃深深度一直沒有改 ，也就是 船的安全深度一直沒有改 ，但是 情況往往是 船 物 港，在港口卸 ，在卸 的 程中，由物理學(xué)的知 我 知道，隨

15、著船身自身重量的減小，船身會上浮， 一來當(dāng)兩者都在改 的 候，我 又 如何 出港 呢？ 看下面 ： 【 探究 3】：在探究 2 條件中，若 船在 2：00 開始卸 ，吃水深度以每小 0.3 米的速度減少，那么 船在什么 必 停止卸 ，將船 向 深的水域？ （學(xué)生 ）安全即需要： 水深 安全水深，即： ， 求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（ 作 并呈 ） 通 象可以看出，當(dāng)快要到 P 刻的 候， 船就要停止卸 ， 向深水區(qū)。那么 P 點的坐 如何求得呢？（學(xué)生思考，

16、 ，交流）求 P 點橫坐 即解方程 數(shù)形 合，二分法求近似解： 由 得點 P 點橫坐 在 [6 ， 7] ，故我 只需要算出 6， 6.5 ， 7 三個 刻的安全水深與 水深的數(shù) 表就可以回答上面的 。 時間 水深 安全水深 是否安全 6． 0 5 米 4． 3 米 安全 6． 5 4．2 米 4． 1 米 安全 7． 0 3．8 米 4． 0 米 危 船 在 6 時 30 分左右 離港口。（可能有的同學(xué)有些異 ，可以 ） 從 個 可以看出，如果有 候 控制不當(dāng)， 船

17、在卸 的 程中，就會出 沒有卸完，不得已要 離港口， 入深水區(qū)，等水位上 后在 回來。 公司來 用心 愛心 專心 - 4 - 說就會造成才力、物力上的巨大浪費？那該怎么來做呢？ （學(xué)生討論） 可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。 【問題探究 4】：若船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1.5 米，該船在 2： 00 開始卸貨，貨物 卸空后吃水深度為 2 米，為了保證進(jìn)入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每 小時吃水深度至少要以多少速度減少？ --- 探究 3 的變式（學(xué)生課后探究）

18、 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1. 如圖，單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動，離開平衡位置 O的距離 s 厘米和時間 t 秒的函數(shù)關(guān)系為 s 6sin(2 t ) . 6 （ 1）單擺擺動 5 秒時，離開平衡位置多少厘米？ （ 2）單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？ （ 3）單擺來回擺動 10 次所需的時間為多少秒？ 2. 如圖，某地一天從6 ～ 14 時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) y Asin( x ) b ．  T / C

19、30 20 （ 1）求這一天 6～ 14 時的最大溫差； 10 （ 2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式． O 6 8 10 12 14 t / h 【問題的反思】 ： ①一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注 意自變量的變化范圍； ②與學(xué)生一起探索 的各種求法；（這是本題的關(guān)鍵！也是難點！ ）（用最大小值點代入不容易 出現(xiàn)錯誤） ③如何根據(jù) y Asin( x ) b 圖像求解析式中的待定參數(shù) A,b; ;

20、 ? 6 6 2 等 ④探究其他解法： 2 或 14 14 0 2 ⑤借助三角函數(shù)模型研究的思想方法研究一些較復(fù)雜的三角函數(shù)。 四、鞏固深化，反饋矯正 1. 某海濱浴場的海浪高度 y（米）是時間 t （ 0≤ t ≤24，單位：小時）的函數(shù)，經(jīng)過長期觀察，該函數(shù)的圖象可以近似地看成 y Asin( t ) b . 下表是測得的某日各時的浪高數(shù)據(jù)： t ( 時 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 用心 愛心 專心 - 5 - y（米）

21、 1.5 1.0 0.51.01.51.0 0.50.991.5 依規(guī)定，當(dāng)浪高不低于 1 米時浴場才開放，試安排白天內(nèi)開放浴場的具體時間段 . 2. 某港口水深 y（米）是時間 t （0≤ t ≤ 24，單位：小時）的函數(shù)，記為 y= f (t ) ，下面是某 日水深數(shù)據(jù)： t （時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13

22、.0 10.1 7.0 10.0 經(jīng)過長期觀察， y = f (t) 的曲線可以近似看成 = sin + 的圖象 . y A t b （ i ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出 y= f (t) 的近似表達(dá)式； （ ii ）船底離海底 5 米或者 5 米以上是安全的， 某船的吃水深度為 6.5 米（船底離水面距離） ， 如果此船在凌晨 4 點進(jìn)港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少時間？ 教法：從表中讀

23、到一些什么數(shù)據(jù)？ → 依次求各系數(shù) → 應(yīng)用模型解決問題 答案： y 3sin t 10 （ ≤ t ≤ ）； 13 （小時） . 6 0 24 . 求得模型后，把第（ 2）問 小結(jié)：讀取與分析表中的數(shù)據(jù)，是一種數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練 的情景轉(zhuǎn)化為一個簡單的三角不等式，再運用整體思想，借助函數(shù)的圖象或者單位圓可以求 解 .

24、 3. 某商品一年內(nèi)出廠價格在 6 元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動， 已知 3 月份達(dá)到最高價格 8 元，7 月份價格最低為 4 元 . 該商品在商店內(nèi)的銷售價格在 8 元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動， 5 月份銷售價格最高為 10 元， 9 月份銷售價最低為 6 元. （ 1）試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數(shù)解析式 ; （ 2）假設(shè)商店每月購進(jìn)這種商品 m件，且當(dāng)月銷完，試寫出該商品的月利潤函數(shù). 五、歸納整理，整體認(rèn)識 從以上問題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)

25、知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，而待定系 數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法 . 三角函數(shù)知識作為數(shù)學(xué)工具之一，在以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常有所涉及 . 學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，通過學(xué)習(xí)我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力 . 三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式：一是給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題；而是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題；三是搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題 . 回顧整個探究過程，經(jīng)歷

26、了第一階段：收集數(shù)據(jù) ----- 畫散點圖 第二階段：根據(jù)圖象特征 --- 選模、求模、驗?zāi)? 第三階段：函數(shù)模型應(yīng)用 在整個探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些思想方法： （ 1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想； （ 2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想； （ 3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想； （ 4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計 八、課后記： 用心 愛心 專心 - 6 -