2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理應用舉例教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理應用舉例教案 新人教A版自主梳理1.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角(如圖所示)(2)方位角一般指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如方位角45，是指北偏東45，即東北方向(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖所示)北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向北偏西即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向南偏西等其他方向角類似(4)坡度角坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).坡面與水平面的夾角(如圖所示)(5)坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即itan (i為坡比，為坡角)自我檢測1如圖某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得CAB75，CBA45，且 AB200 米則 A，C 兩點的距離為( )A.米 B100 米C.米 D200 米2如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東10 D南偏西10燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得ACB80，CABCBA50，則605010，即北偏西103在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為_m. 4如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0，則山的高度BC為_ m. 500(1)5ABC中，D為邊BC上的一點，BD33，sin B，cosADC，求AD.解由cosADC0知B，由已知得cos B，sinADC，從而sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.由正弦定理得，所以AD25.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型題型一 與距離有關(guān)的問題例1如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？實際應用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意：基線的選取要恰當準確；選取的三角形及正、余弦定理要恰當解由題意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，CD30(海里)，需要的時間t1(小時)故救援船到達D點需要1小時變式訓練1 （1）要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之間的距離.解:在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC. 在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB (km)， A、B之間的距離為 km.（2）某觀測站C在目標A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？解 如圖所示，易知CAD253560，在BCD中，cos B，所以sin B.在ABC中，AC24，由BC2AC2AB22ACABcos A，得AB224AB3850，解得AB35，AB11(舍)，所以ADABBD15.故此人在D處距A還有15千米 點評： (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程，解方程得出所要求的解 （3）如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.解設(shè)緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10t海里，BD10t海里， 在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC海里.又，sinABC，ABC45，B點在C點的正東方向上，CBD9030120， 在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北偏東60的方向行駛.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小時15分鐘.緝私船應沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.題型二測量高度問題例2如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD.由正弦定理得，所以BC，在RtABC中， ABBCtanACB變式訓練2(1)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高解由題意可知，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，BD20.過B作BECD于E，顯然當人在E處時，測得塔的仰角最大，有BEA30.在RtBED中，又BDE1801353015.BEDBsin 152010(1)在RtABE中，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米 (2) 如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值為60.(1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時，走了幾分鐘；(2)求塔的高AB.解(1)依題意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(米)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(米).在RtABE中，tan .AB為定長，當BE的長最小時，取最大值60，這時BECD.當BECD時，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(米).設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時，走了t分鐘.則t6060(分鐘).(2)由(1)知當取得最大值60時，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(1)25(3)(米).即所求塔高AB為25(3)米.題型三幾何中的正、余弦定理應用問題例3如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的長.探究提高要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形.在分割時，要注意有利于應用正、余弦定理.解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，解得BD.故BD的長為.變式訓練3 如圖所示，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.解: (1)因為BCD9060150，CBACCD，所以CBE15，所以cosCBEcos(4530).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理，故AE.四三角形中最值問題例4某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)該小組已測得一組、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測量精度若電視塔實際高度為125 m，試問d為多少時，最大？解 (1)由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124(m)因此，算出的電視塔的高度H是124 m.(2)由題設(shè)知dAB，得tan . tan .所以tan()，當且僅當d，即d55時，上式取等號，所以當d55時，tan()最大因為0<<<，則0<<，所以當d55時，最大變式訓練4（1）如圖所示，已知半圓的直徑AB2，點C在AB的延長線上，BC1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值解設(shè)POB，四邊形面積為y，則在POC中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos 54cos .ySOPCSPCD12sin (54cos )2sin().當，即時，ymax2.所以四邊形OPDC面積的最大值為2.（2）線段AB外有一點C，ABC60，AB200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始_h后，兩車的距離最小解析如圖所示：設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD80t，BE50t.因為AB200，所以BD20080t，問題就是求DE最小時t的值由余弦定理得，DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t24xxt40000.當t時，DE最?。?）如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)yAsin x(A>0，>0)，x0,4的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P兩點間的距離；(2)應如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？解方法一(1)依題意，有A2，3，又T，.y2sinx.當x4時，y2sin3，M(4,3)又P(8,0)，MP5(2)如圖，連接MP，在MNP中，MNP120，MP5.設(shè)PMN，則0<<60.由正弦定理得，NPsin ，MNsin(60)，NPMNsin sin(60)sin(60)0<<60，當30時，折線段賽道MNP最長即將PMN設(shè)計為30時，折線段賽道MNP最長1解三角形的一般步驟(1)分析題意，準確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍2應用舉例中常見幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等 練習一一、選擇題1如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 ()A.B. C.D.2如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A、B兩點的距離為 ()A50 mB50 mC25 mD. m3ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 ()A.B. C.D94某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 ()A.B2 C.或2D35一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是每小時 ()A5海里B5海里 C10海里D10海里二、填空題6把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小值是_cm7一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km30 km8某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上若國歌長度約為50秒，升旗手應以_0.6_米/秒的速度勻速升旗三、解答題9.如圖，在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點，AD10，AC14，DC6，求AB的長.解在ADC中，AD10， AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.10.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=， 又0A180，A=120故S=16sin120=8 11如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1又BCD180606060，所以ABCCBD，所以BABD.在ABC中，即AB，所以BD0.33(km)故B、D的距離約為0.33 km.12如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時兩船相距20海里當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時兩船相距10海里問乙船每小時航行多少海里？解如圖，連接A1B2，由題意知， A1B120，A2B210，A1A23010(海里)又B2A2A118012060，A1A2B2是等邊三角形，B1A1B21056045.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200， B1B210(海里)因此乙船的速度大小為6030(海里/小時)練習二一、選擇題1.如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設(shè)為坡角，那么cos 等于 ()A. B. C. D.2.有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為()A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 203.在ABC中，已知A45，AB，BC2，則C等于 ()A.30 B.60 C.120 D.30或1504.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos等于()A. B. C. D.二、填空題5.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_.50_米.6.如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，則BC的長為_.87.已知ABC的一個內(nèi)角為120，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為_.158.在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_2_.9.在ABC中，D為邊BC上一點，BDDC，ADB120，AD2.若ADC的面積為3，則BAC_.60_.三、解答題10.如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30方向，航行30海里后，在C處測得小島A在船的南偏東45方向，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？解在ABC中，BC30，B30，ACB18045135，所以A15.由正弦定理，得，即，所以AC15().所以A到BC的距離為ACsin 4515()15(1)15(1.7321)40.98(海里).這個距離大于38海里，所以繼續(xù)向南航行無觸礁的危險11在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O(如圖)的東偏南 方向300千米的海面P處，并以20千米/小時的速度向西偏北45方向移動臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60千米，并以10千米/小時的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？解: 如圖,設(shè)在時刻 t (小時)臺風中心為Q, 此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為 10t60(千米)若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則OQ10t60.由余弦定理知OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ.PO300，PQ20t，cosOPQcos(45)coscos45sinsin45，12在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45(其中sin，0<<90)且與點A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時)；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由解：(1)如圖，AB40，AC10，BAC由于0<<90，所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行駛速度為 15(海里/小時)(2)方法一如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)點B、C的坐標分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D.由題設(shè)有， x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)30，y2ACsinCAD10sin(45)20，又點E(0，55)到直線l的距離d3<7，所以船會進入警戒水域方法二易求點B坐標為(40,40)(方法同解法一)在ABC中，由正弦定理得sinBsin，cosB . 即tanB，kBCtan(45B)2.直線BC的方程為y402(x40)，即2xy400，以下同解法一