2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版.doc
《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版.doc(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版自主梳理1.實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示)(2)方位角一般指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如方位角45,是指北偏東45,即東北方向(3)方向角:相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖所示)北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似(4)坡度角坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).坡面與水平面的夾角(如圖所示)(5)坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比,即itan (i為坡比,為坡角)自我檢測(cè)1如圖某河段的兩岸可視為平行,在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A,B,觀察對(duì)岸的點(diǎn)C,測(cè)得CAB75,CBA45,且 AB200 米則 A,C 兩點(diǎn)的距離為( )A.米 B100 米C.米 D200 米2如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東10 D南偏西10燈塔A、B的相對(duì)位置如圖所示,由已知得ACB80,CABCBA50,則605010,即北偏西103在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60,則塔高為_m. 4如圖,某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處,又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0,則山的高度BC為_ m. 500(1)5ABC中,D為邊BC上的一點(diǎn),BD33,sin B,cosADC,求AD.解由cosADC0知B,由已知得cos B,sinADC,從而sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.由正弦定理得,所以AD25.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型題型一 與距離有關(guān)的問題例1如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?實(shí)際應(yīng)用題,實(shí)質(zhì)就是解三角形問題,一般都離不開正弦定理和余弦定理,在解題中,首先要正確地畫出符合題意的示意圖,然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意:基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確;選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)解由題意知AB5(3)海里,DBA906030,DAB904545,ADB180(4530)105.在DAB中,由正弦定理,得,DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60,BC20(海里),在DBC中,由余弦定理,得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900,CD30(海里),需要的時(shí)間t1(小時(shí))故救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)變式訓(xùn)練1 (1)要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距 km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得ACB75,BCD45,ADC30,ADB45,求A、B之間的距離.解:在ACD中,ACD120,CADADC30,ACCD km.在BCD中,BCD45,BDC75,CBD60.BC. 在ABC中,由余弦定理,得AB2()222cos 75325,AB (km), A、B之間的距離為 km.(2)某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25方向,從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路,在C處測(cè)得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去,走20千米到達(dá)D,此時(shí)測(cè)得CD為21千米,求此人在D處距A還有多少千米?解 如圖所示,易知CAD253560,在BCD中,cos B,所以sin B.在ABC中,AC24,由BC2AC2AB22ACABcos A,得AB224AB3850,解得AB35,AB11(舍),所以ADABBD15.故此人在D處距A還有15千米 點(diǎn)評(píng): (1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解 (2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程,解方程得出所要求的解 (3)如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度,以B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,則CD10t海里,BD10t海里, 在ABC中,由余弦定理,有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC海里.又,sinABC,ABC45,B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,CBD9030120, 在BCD中,由正弦定理,得,sinBCD.BCD30,緝私船沿北偏東60的方向行駛.又在BCD中,CBD120,BCD30,D30,BDBC,即10t.t小時(shí)15分鐘.緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.題型二測(cè)量高度問題例2如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得BCD,BDC,CDs,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為,求塔高AB.解在BCD中,CBD.由正弦定理得,所以BC,在RtABC中, ABBCtanACB變式訓(xùn)練2(1)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后,望見塔在東北方向,若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30,求塔高解由題意可知,在BCD中,CD40,BCD30,DBC135,由正弦定理得,BD20.過B作BECD于E,顯然當(dāng)人在E處時(shí),測(cè)得塔的仰角最大,有BEA30.在RtBED中,又BDE1801353015.BEDBsin 152010(1)在RtABE中,ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米 (2) 如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后,在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角AEB,的最大值為60.(1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時(shí),走了幾分鐘;(2)求塔的高AB.解(1)依題意知,在DBC中,BCD30,DBC18045135,CD6 000100(米),D1801353015,由正弦定理得,BC50(1)(米).在RtABE中,tan .AB為定長(zhǎng),當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí),取最大值60,這時(shí)BECD.當(dāng)BECD時(shí),在RtBEC中,ECBCcosBCE50(1)25(3)(米).設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時(shí),走了t分鐘.則t6060(分鐘).(2)由(1)知當(dāng)取得最大值60時(shí),BECD,在RtBEC中,BEBCsinBCD,ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(1)25(3)(米).即所求塔高AB為25(3)米.題型三幾何中的正、余弦定理應(yīng)用問題例3如圖所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求BD的長(zhǎng).探究提高要利用正、余弦定理解決問題,需將多邊形分割成若干個(gè)三角形.在分割時(shí),要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理.解在ABC中,AB5,AC9,BCA30.由正弦定理,得,sinABC.ADBC,BAD180ABC,于是sinBADsinABC.同理,在ABD中,AB5,sinBAD,ADB45,由正弦定理:,解得BD.故BD的長(zhǎng)為.變式訓(xùn)練3 如圖所示,ACD是等邊三角形,ABC是等腰直角三角形,ACB90,BD交AC于E,AB2.(1)求cosCBE的值;(2)求AE.解: (1)因?yàn)锽CD9060150,CBACCD,所以CBE15,所以cosCBEcos(4530).(2)在ABE中,AB2,由正弦定理,故AE.四三角形中最值問題例4某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m),示意圖如圖所示,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m,仰角ABE,ADE.(1)該小組已測(cè)得一組、的值,算出了tan 1.24,tan 1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值;(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使與之差較大,可以提高測(cè)量精度若電視塔實(shí)際高度為125 m,試問d為多少時(shí),最大?解 (1)由AB,BD,AD及ABBDAD,得,解得H124(m)因此,算出的電視塔的高度H是124 m.(2)由題設(shè)知dAB,得tan . tan .所以tan(),當(dāng)且僅當(dāng)d,即d55時(shí),上式取等號(hào),所以當(dāng)d55時(shí),tan()最大因?yàn)?,則00,0),x0,4的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定MNP120.(1)求A,的值和M,P兩點(diǎn)間的距離;(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)?解方法一(1)依題意,有A2,3,又T,.y2sinx.當(dāng)x4時(shí),y2sin3,M(4,3)又P(8,0),MP5(2)如圖,連接MP,在MNP中,MNP120,MP5.設(shè)PMN,則060.由正弦定理得,NPsin ,MNsin(60),NPMNsin sin(60)sin(60)060,當(dāng)30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng)即將PMN設(shè)計(jì)為30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng)1解三角形的一般步驟(1)分析題意,準(zhǔn)確理解題意分清已知與所求,尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語,如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解演算過程中,要算法簡(jiǎn)練,計(jì)算正確,并作答(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義,對(duì)解進(jìn)行取舍2應(yīng)用舉例中常見幾種題型測(cè)量距離問題、測(cè)量高度問題、測(cè)量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等 練習(xí)一一、選擇題1如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍,那么它的頂角的余弦值為 ()A.B. C.D.2如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,ACB45,CAB105后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為 ()A50 mB50 mC25 mD. m3ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2,3,其夾角的余弦值為,則其外接圓的半徑為 ()A.B. C.D94某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km,那么x的值為 ()A.B2 C.或2D35一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見一燈塔在船的南偏西60方向,另一燈塔在船的南偏西75方向,則這只船的速度是每小時(shí) ()A5海里B5海里 C10海里D10海里二、填空題6把一根長(zhǎng)為30cm的木條鋸成兩段,分別作鈍角三角形的兩邊和,且,則第三條邊的最小值是_cm7一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東,行駛4h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東,這時(shí)船與燈塔的距離為 km30 km8某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30,第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒,升旗手應(yīng)以_0.6_米/秒的速度勻速升旗三、解答題9.如圖,在ABC中,已知B45,D是BC邊上的一點(diǎn),AD10,AC14,DC6,求AB的長(zhǎng).解在ADC中,AD10, AC14,DC6,由余弦定理得cosADC,ADC120,ADB60.在ABD中,AD10,B45,ADB60,由正弦定理得,AB5.10.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180,sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理,在ABD中,BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中,BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC,cosC=cosA,64cosA=32,cosA=, 又0A180,A=120故S=16sin120=8 11如圖,A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75、30,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60,AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等,然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km,1.414,2.449)解在ACD中,DAC30,ADC60DAC30,所以CDAC0.1又BCD180606060,所以ABCCBD,所以BABD.在ABC中,即AB,所以BD0.33(km)故B、D的距離約為0.33 km.12如圖所示,甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處,此時(shí)兩船相距10海里問乙船每小時(shí)航行多少海里?解如圖,連接A1B2,由題意知, A1B120,A2B210,A1A23010(海里)又B2A2A118012060,A1A2B2是等邊三角形,B1A1B21056045.在A1B2B1中,由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200, B1B210(海里)因此乙船的速度大小為6030(海里/小時(shí))練習(xí)二一、選擇題1.如果在測(cè)量中,某渠道斜坡的坡度為,設(shè)為坡角,那么cos 等于 ()A. B. C. D.2.有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長(zhǎng)為()A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 203.在ABC中,已知A45,AB,BC2,則C等于 ()A.30 B.60 C.120 D.30或1504.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援,則cos等于()A. B. C. D.二、填空題5.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為_.50_米.6.如圖,在四邊形ABCD中,已知ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,則BC的長(zhǎng)為_.87.已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為120,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則ABC的面積為_.158.在ABC中,B60,AC,則AB2BC的最大值為_2_.9.在ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BDDC,ADB120,AD2.若ADC的面積為3,則BAC_.60_.三、解答題10.如圖所示,海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁,船向正南航行,在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30方向,航行30海里后,在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45方向,如果此船不改變航向,繼續(xù)向南航行,有無觸礁的危險(xiǎn)?解在ABC中,BC30,B30,ACB18045135,所以A15.由正弦定理,得,即,所以AC15().所以A到BC的距離為ACsin 4515()15(1)15(1.7321)40.98(海里).這個(gè)距離大于38海里,所以繼續(xù)向南航行無觸礁的危險(xiǎn)11在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南 方向300千米的海面P處,并以20千米/小時(shí)的速度向西偏北45方向移動(dòng)臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60千米,并以10千米/小時(shí)的速度不斷增大,問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?解: 如圖,設(shè)在時(shí)刻 t (小時(shí))臺(tái)風(fēng)中心為Q, 此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為 10t60(千米)若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則OQ10t60.由余弦定理知OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ.PO300,PQ20t,cosOPQcos(45)coscos45sinsin45,12在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域,點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45且與點(diǎn)A相距40海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45(其中sin,090)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由解:(1)如圖,AB40,AC10,BAC由于090,所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行駛速度為 15(海里/小時(shí))(2)方法一如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1,y1),C(x2,y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有, x1y1AB40,x2ACcosCAD10cos(45)30,y2ACsinCAD10sin(45)20,又點(diǎn)E(0,55)到直線l的距離d37,所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域方法二易求點(diǎn)B坐標(biāo)為(40,40)(方法同解法一)在ABC中,由正弦定理得sinBsin,cosB . 即tanB,kBCtan(45B)2.直線BC的方程為y402(x40),即2xy400,以下同解法一- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 講義 正弦 定理 余弦 應(yīng)用 舉例 教案 新人
鏈接地址:http://appdesigncorp.com/p-2532765.html