2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第21講 幾何概型及隨機(jī)模擬教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第21講 幾何概型及隨機(jī)模擬教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬)估計(jì)概率,初步體會(huì)幾何概型的意義; 2.通過(guò)閱讀材料,了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程。 二.命題走向 本講內(nèi)容在高考中所占比較輕,縱貫近幾年的高考對(duì)概率要求降低,但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容,考試涉及的可能性較大。 預(yù)測(cè)07年高考: (1)題目類型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn),; (2)本建考試的重點(diǎn)內(nèi)容幾何概型的求值問(wèn)題,我們要善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。 三.要點(diǎn)精講 1.隨機(jī)數(shù)的概念 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的。 2.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法 (1)利用函數(shù)計(jì)算器可以得到0~1之間的隨機(jī)數(shù); (2)在Scilab語(yǔ)言中,應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a~b之間的隨機(jī)數(shù)。 3.幾何概型的概念 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型; 4.幾何概型的概率公式: P(A)=。 5.幾種常見的幾何概型 (1)設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長(zhǎng)度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為: P=l的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度 (2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為: P=g的面積/G的面積 (3)設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為: P=v的體積/V的體積 四.典例解析 題型1:線長(zhǎng)問(wèn)題 例1.一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的,將一條5米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地切斷成兩條,事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件,考慮事件T發(fā)生的概率。 分析:類似于古典概型,我們希望先找到基本事件組,既找到其中每一個(gè)基本事件。注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),故引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),若把離繩AB首尾兩端1的點(diǎn)記作M、N,則顯然事件T所對(duì)應(yīng)的基本事件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù),但這兩個(gè)數(shù)字(T包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù))在引例1中是無(wú)法找到的,不過(guò)用線段MN的長(zhǎng)除以線段AB的長(zhǎng)表示事件T的概率似乎也是合理的。 解:P(T)=3/5。 例2.(磁帶問(wèn)題)喬和摩進(jìn)行了一次關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了下來(lái),聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來(lái)發(fā)現(xiàn),這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了,該工作人員聲稱她完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵,并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問(wèn)如果這10秒鐘長(zhǎng)的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處,那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大? 解析:將3O分鐘的磁帶表示為長(zhǎng)度為3O的線段R,則代表10秒鐘與犯罪活動(dòng)有關(guān)的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示,10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時(shí)間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點(diǎn)。 因此事件r是始于R線段的左端點(diǎn)且長(zhǎng)度為的事件。因此,。 0← S →10 例3.假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車,隨機(jī)到達(dá)車站,問(wèn)等車時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘的概率 ? 解:以兩班車出發(fā)間隔 ( 0,10 ) 區(qū)間作為樣本空間 S,乘客隨機(jī)地到達(dá),即在這個(gè)長(zhǎng)度是 10 的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生,因此是幾何概率問(wèn)題。 要使得等車的時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘,即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中 A 包含的樣本點(diǎn), p=== 0.3 。 題型2:面積問(wèn)題 例4.投鏢游戲中的靶子由邊長(zhǎng)為1米的四方板構(gòu)成,并將此板分成四個(gè)邊長(zhǎng)為1/2米的小方塊。實(shí)驗(yàn)是向板中投鏢,事件A表示投中陰影部分為成功,考慮事件A發(fā)生的概率。 分析與解答:類似于引例1的解釋,完全可以把此引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起,既事件組中的每一個(gè)基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的。這一點(diǎn)我們完全可以用引例1的方法驗(yàn)證其正確性。 解析:P(A)=(1/2)2/12=1/4。 例5.(CB對(duì)講機(jī)問(wèn)題)(CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫)兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者,莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作,他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里,在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛,而霍伊在下午3:00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛,試問(wèn)在下午3:0O時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大? 解:設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離, 于是 則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x,y都在它們各自的限制范圍內(nèi),則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置, 他們可以通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過(guò)25公里時(shí)發(fā)生(如右圖)因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式 的數(shù)對(duì)組成,此不等式等價(jià)于 右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組,陰影部分代表所求事件,方形區(qū)域的面積為1200平方米公里,而事件的面積為 , 于是有。 例6.(意大利餡餅問(wèn)題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板.邊長(zhǎng)為18厘米,掛于前門附近的墻上,顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè),投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓,圓心在靶的中心,當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí).可得到一個(gè)大餡餅;當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí),可得到一個(gè)中餡餅;如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí),可得到一個(gè)小餡餅,如果擊中靶上的其他部分,則得不到諂餅,我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶,并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度,即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上,試求一顧客將嬴得: (a)一張大餡餅, (b)一張中餡餅, (c)一張小餡餅, (d)沒得到餡餅的概率 解析:我們實(shí)驗(yàn)的樣本空間可由一個(gè)邊長(zhǎng)為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r1、r2、r3和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件。 ; ; ; 。 題型3:體積問(wèn)題 例7.(1)在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。 解析:由于取水樣的隨機(jī)性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比,即2/400=0.005。 (2)如果在一個(gè)5萬(wàn)平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領(lǐng)域里隨意選定一點(diǎn)鉆探,問(wèn)鉆到石油的概率是多少? 解析:由于選點(diǎn)的隨機(jī)性,可以認(rèn)為該海域中各點(diǎn)被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認(rèn)為等于貯油海域的面積與整個(gè)海域面積之比,即等于40/50000=0.0008。 例8.在線段[0,1]上任意投三個(gè)點(diǎn),問(wèn)由0至三點(diǎn)的三線段,能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大。 解析:設(shè)0到三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)分別為x,y,z,即相應(yīng)的 z 右端點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z,顯然這三條線 1 C 段構(gòu)成三角形的充要條件是: A D 。 在線段[0,1]上任意投三點(diǎn)x,y,z。與立方體 0 1 y ,,中的點(diǎn) 1 一一對(duì)應(yīng),可見所求“構(gòu)成三角形”的概率,等價(jià)于x B 邊長(zhǎng)為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn),而點(diǎn)落在 區(qū)域中的概率;這也就是落在圖中由ΔADC,ΔADB,ΔBDC,ΔAOC,ΔAOB,ΔBOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 , 由此得,能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大。 題型4:隨機(jī)模擬 例9.隨機(jī)地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解析:半圓域如圖 0yx yx a x 設(shè)‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于’ 由幾何概率的定義 。 例10.隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和,這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過(guò)1,試求與之和不超過(guò)1,積不小于0.09的概率. 解析:,不等式確定平面域。 ‘’則發(fā)生的充要條件為不 1y y 1y 0.9 0.1 0y A S y 等式確定了的子域, 故: 例11. 曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A,直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形,向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻,利用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬這個(gè)試驗(yàn),并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。 答案:如下表,由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機(jī)數(shù),它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)(x,y)滿足y≤-x2+1,就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi),在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1,否則填0。 x y 計(jì)數(shù) 0.598895 0.940794 0 0.512284 0.118961 1 0.496841 0.784417 0 0.112796 0.690634 1 0.359600 0.371441 1 0.101260 0.650512 1 … … … 0.947386 0.902127 0 0.117618 0.305673 1 0.516465 0.222907 1 0.596393 0.969695 0 五.思維總結(jié) 1.幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容,也是近年來(lái)新增考察內(nèi)容之一; 2.有關(guān)幾何概率的題目難度不大,但需要準(zhǔn)確理解題意,利用圖形分析問(wèn)題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問(wèn)題; 3.學(xué)好幾何概率對(duì)于解決后續(xù)均勻分布的問(wèn)題有很大幫助。 4.關(guān)于幾何概型: (1)我們是就平面的情形給出幾何概型的,同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形,只需將“面積”相應(yīng)地改變?yōu)椤伴L(zhǎng)度”、“體積”; (2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn),如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果,每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示,而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω,這時(shí),與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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