2019-2020年高三數學第一輪復習第01講 集合教案.doc

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2019-2020年高三數學第一輪復習第01講 集合教案 一．課標要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系； （2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用； 2．集合間的基本關系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運算 （1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集； （3）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。 預測xx年高考將繼續(xù)體現本章知識的工具作用，多以小題形式出現，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為： （1）題型是1個選擇題或1個填空題； （2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用。 三．要點精講 1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。 （1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關； （3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。 具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。 （4）常用數集及其記法： 非負整數集（或自然數集），記作N； 正整數集，記作N*或N+； 整數集，記作Z； 有理數集，記作Q； 實數集，記作R。 2．集合的包含關系： （1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B； （2）簡單性質：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）； 3．全集與補集： （1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補集； （3）簡單性質：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。 5．集合的簡單性質： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設集合，若，則下列關系正確的是（ ） A． B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數，而中18為偶數。則。選項為D； 點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關系。首先應該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關系，而集合之間是包含與不包含的關系。 例2．設集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數x恒成立，則下列關系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數x恒成立＝，對m分類： ①m=0時，－4＜0恒成立； ②m＜0時，需Δ=（4m）2－4m（－4）＜0，解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點評：該題考察了集合間的關系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數m，需要對參數進行分類討論，不能忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質 例3．（xx廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據子集的計算應有24－1=15（個）。選項為A； 點評：該題考察集合子集個數公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。 變式題：同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。 答案：這樣的集合M有8個。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當時，，為A中元素； 當時， 當時， ∴這樣的實數x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因為當時，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運算 例5．（06全國Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3 D．｛x|2＜x＜3 解：由對數函數的性質，且2>1，顯然由易得。從而。故選項為D。 點評：該題考察了不等式和集合交運算。 例6．（06安徽理，1）設集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點評：該題考察了集合的交、補運算。 題型4：圖解法解集合問題 例7．（xx上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數軸上覆蓋關系：如圖所示，因此有a≤－2。 點評：本題利用數軸解決了集合的概念和集合的關系問題。 例8．（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數的自然數，B中元素是非4的倍數的自然數，顯然，只有Ｃ選項正確. 圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點評：本題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應用 例9．向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果 贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？ 解：贊成A的人數為50=30，贊成B的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。 設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為+1,贊成A而不贊成B的人數為30－x，贊成B而不贊成A的人數為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。 點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個數中既不是2的倍數，又不是3的倍數，也不是5的倍數的自然數共有多少個？ 解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數共有（2002）＋（2003）＋(2005) －(20010)－(2006)－(20015) ＋(20030)＝146 所以，符合條件的數共有200－146＝54（個） 點評：分析200個數分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（xx上海，17）設集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實數a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－20, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(2)的結論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。 點評：該題融合了集合、數列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設集合，,求實數m的取值范圍. 分析：關鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設這是開口向上的拋物線，，則二次函數性質知命題又等價于 注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否則解答沒有這么簡單。 （Ⅱ）已知兩個正整數集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據“交、并”的意義及元素的基本性質解決，注意“正整數”這個條件的運用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當k=0時，方程有解,不合題意； 當① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數，∴b=2，代入①、②得k=1 點評：這是一組關于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數學內容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標創(chuàng)新題 例13．七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}， D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經驗。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數，使得對任意的，都有 （1）設，證明： （2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設,任取,令證明:給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式。 解： 對任意,,,,所以 對任意的， ， ， 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設存在兩個使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結論成立。 ， 所以 +… 。 點評：函數的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎。 五．思維總結 集合知識可以使我們更好地理解數學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數學問題，運用集合觀點去研究和解決數學問題。 1．學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據問題所涉及的具體的數學內容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數為，所有真子集的個數是－1, 所有非空真子集的個數是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 ⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現點與直線（面）的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現面與直線(面)的關系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學生的推理技能，發(fā)展學生的思維能力。