2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與算法初步同步練習(xí) 文.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與算法初步同步練習(xí) 文 1．理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性． 2．會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法． 三種抽樣方法 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨 機(jī)抽樣 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽樣 各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 兩種抽樣的步驟 (1)系統(tǒng)抽樣的步驟 ①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)； ②確定分段間隔k(k∈N*)，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝； ③在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第1個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)； ④按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋k)，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本． (2)分層抽樣的步驟 ①分層：按某種特征將總體分成若干部分； ②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)； ③各層分別按簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取個(gè)體； ④綜合每層抽樣，組成樣本． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)分層抽樣就是按比例抽樣．(　　) (2)簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．(　　) (3)簡單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．(　　) (4)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣．(　　) (5)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)　(4)√　(5) 2．(xx江西卷)總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(　　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．08　 B．07 C．02　 D．01 解析：　由隨機(jī)數(shù)表法的隨機(jī)抽樣的過程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)是01. 答案：　D 3．(xx廣東卷)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(　　) A．50　 B．40 C．25　 D．20 解析：　由＝25，可得分段的間隔為25.故選C． 答案：　C 4．(xx湖北卷)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件． 解析：　設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4 800－x)件．由分層抽樣特點(diǎn)，結(jié)合題意可得＝，解得x＝1 800. 答案：　1 800 5．為了解1 200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改實(shí)驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個(gè)容量為30的樣本，考慮采取系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為________． 解析：　在系統(tǒng)抽樣中，確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段， k＝(N為總體的容量，n為樣本的容量)， ∴k＝＝＝40. 答案：　40 簡單隨機(jī)抽樣 1．利用簡單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由題意知＝，∴n＝28.∴P＝＝. 答案：　B 2．下列抽取樣本的方式是簡單隨機(jī)抽樣的有________個(gè)． ①從無限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本； ②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進(jìn)行檢驗(yàn)．在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一支檢測后再放回箱子里； ③從50個(gè)個(gè)體中一次性抽取5個(gè)個(gè)體作為樣本． 解析：　①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點(diǎn)；②不滿足不放回抽取的特點(diǎn)；③不滿足逐個(gè)抽取的特點(diǎn)． 答案：　0 　解決簡單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題 (1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法． (2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時(shí)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去． 系統(tǒng)抽樣 1．(xx湖南卷)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2＜p3　 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2　 D．p1＝p2＝p3 解析：　根據(jù)抽樣方法的概念可知，簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是p＝，故p1＝p2＝p3，故選D． 答案：　D 2．(xx陜西卷)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(　　) A．11　 B．12 C．13　 D．14 解析：　抽樣間隔為＝20.設(shè)在1,2，…，20中抽取號(hào)碼x0(x0∈[1,20])，在[481,720]之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N*. ∴24≤k＋≤36. ∵∈，∴k＝24,25,26，…，35， ∴k值共有35－24＋1＝12(個(gè))，即所求人數(shù)為12. 答案：　B 　解決系統(tǒng)抽樣應(yīng)注意的問題 (1)適合元素個(gè)數(shù)較多且均衡的總體； (2)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等； (3)樣本的第一個(gè)個(gè)體用簡單隨機(jī)抽樣． 分層抽樣 1．(xx重慶卷)某中學(xué)有高中生3 500人，初中生1 500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為(　　) A．100　 B．150 C．200　 D．250 解析：　法一：由題意可得＝，解得n＝100，故選A． 法二：由題意，抽樣比為＝，總體容量為3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000＝100. 答案：　A 2．某高中在校學(xué)生有2 000人．為了響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，學(xué)校開展了跑步和登山比賽活動(dòng)．每人都參與而且只參與其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參與比賽的人數(shù)情況如下表： 高一年級(jí) 高二年級(jí) 高三年級(jí) 跑步 a b c 登山 x y z 其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取(　　) A．36人　 B．60人 C．24人　 D．30人 解析：　根據(jù)題意可知樣本中參與跑步的人數(shù)為200＝120，所以從高二年級(jí)參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為120＝36. 答案：　A 　分層抽樣問題的解題策略 (1)確定抽樣比．可依據(jù)各層總數(shù)與樣本數(shù)之比，確定抽樣比． (2)求某一層的樣本數(shù)或總體個(gè)數(shù)．可依題意求出抽樣比，再由某層總體個(gè)數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)． (3)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx大連市第一次模擬)某學(xué)校禮堂有30排座位，每排有20個(gè)座位，一次心理講座時(shí)禮堂中坐滿了學(xué)生，會(huì)后為了了解有關(guān)情況，留下座位號(hào)是15的30名學(xué)生．這里運(yùn)用的抽樣方法是(　　) A．抽簽法　 B．隨機(jī)數(shù)表法 C．系統(tǒng)抽樣　 D．分層抽樣 解析：　抽30名學(xué)生分了30組(每排為一組)，每組抽一個(gè)，符合系統(tǒng)抽樣的定義，故選C． 答案：　C 2．某班級(jí)有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，恰好抽到了4個(gè)男生、6個(gè)女生，則下列命題正確的是(　　) A．該抽樣可能是簡單隨機(jī)抽樣 B．該抽樣一定不是系統(tǒng)抽樣 C．該抽樣中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率 D．該抽樣中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率 解析：　本題看似是一道分層抽樣的題，實(shí)際上每種抽樣方法都可能出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果，故B不正確．根據(jù)抽樣的等概率性知C，D不正確． 答案：　A 3．800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào)，求得間隔數(shù)k＝＝16，即每16人抽取一個(gè)人．在1～16中隨機(jī)抽到一個(gè)數(shù)，如果抽到的是7，則從33～48這16個(gè)數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是(　　) A．40　 B．39 C．38　 D．37 解析：　按系統(tǒng)抽樣分組，33～48這16個(gè)數(shù)屬第3組，則這一組應(yīng)抽到的數(shù)是7＋216＝39. 答案：　B 4．交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(　　) A．101　 B．808 C．1 212　 D．2 012 解析：　由題意知抽樣比為，而四個(gè)社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808. 答案：　B 5．(xx上海松江期末考試)某市共有400所學(xué)校，現(xiàn)要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20所學(xué)校作為樣本，調(diào)查學(xué)生課外閱讀的情況．把這400所學(xué)校編上1～400的號(hào)碼，再從1～20中隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，如果此時(shí)抽得的號(hào)碼是6，則在編號(hào)為21到40的學(xué)校中，應(yīng)抽取的學(xué)校的編號(hào)為(　　) A．25　 B．26 C．27　 D．以上都不是 解析：　系統(tǒng)抽樣是把個(gè)體編號(hào)后，先抽取第一個(gè)，然后每次間隔相同的數(shù)依次抽取，本題中每次間隔20，第一個(gè)抽取的是6號(hào)，接下來應(yīng)該抽取的是26號(hào)，故選B． 答案：　B 6．(xx天津卷)某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生． 解析：　由分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)該從一年級(jí)本科生中抽取300＝60(名)學(xué)生． 答案：　60 7．(xx江蘇南通二調(diào))從編號(hào)為0,1,2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是5的樣本，若編號(hào)為28的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為________． 解析：　根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，共有80個(gè)產(chǎn)品，抽取5個(gè)樣品，則可得組距為＝16，又其中有1個(gè)為28，則與之相鄰的為12和44，故所取5個(gè)依次為12,28,44,60,76，即最大的為76. 答案：　76 8．某市有A、B、C三所學(xué)校，共有高三文科學(xué)生1 500人，且A、B、C三所學(xué)校的高三文科學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高三文科學(xué)生中抽取容量為n的樣本，進(jìn)行成績分析，若從B校學(xué)生中抽取40人，則n＝________. 解析：　設(shè)A、B、C三所學(xué)校學(xué)生人數(shù)分別為x、y、z，由題知x，y，z成等差數(shù)列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1 500，所以y＝500，用分層抽樣方法抽取B校學(xué)生人數(shù)為500＝40，得n＝120. 答案：　120 9．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2 000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表： 初一年級(jí) 初二年級(jí) 初三年級(jí) 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19. (1)求x的值； (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？ 解析：　(1)∵＝0.19，∴x＝380. (2)初三年級(jí)人數(shù)為y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500， 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為：500＝12名． 10．一次數(shù)學(xué)模擬考試，共12道選擇題，每題5分，共計(jì)60分，每道題有四個(gè)可供選擇的答案，僅有一個(gè)是正確的．學(xué)生小張只能確定其中10道題的正確答案，其余2道題完全靠猜測回答． 小張所在班級(jí)共有40人，此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計(jì)表如下： 得分(分) 40 45 50 55 60 百分率 15% 10% 25% 40% 10% 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從此班級(jí)抽取20人的試卷進(jìn)行選擇題質(zhì)量分析． (1)應(yīng)抽取多少張選擇題得60分的試卷？ (2)若小張選擇題得60分，求他的試卷被抽到的概率． 解析：　(1)得60分的人數(shù)為4010%＝4. 設(shè)抽取x張選擇題得60分的試卷，則＝， 則x＝2，故應(yīng)抽取2張選擇題得60分的試卷． (2)設(shè)小張的試卷為a1，另三名得60分的同學(xué)的試卷為a2，a3，a4，所有抽取60分試卷的方法為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6種，其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種，故小張的試卷被抽到的概率為P＝＝. B級(jí)　能力提升 1．在某大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的160名學(xué)生中開展一項(xiàng)社會(huì)調(diào)查，先將學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為01,02,03，…，160，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本，已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為07,23，那么抽取的學(xué)生中最大編號(hào)應(yīng)該是(　　) A．150　 B．151 C．142　 D．143 解析：　由最小的兩個(gè)編號(hào)為07,23可知，抽樣間距為16，因此抽取人數(shù)的比例為，即抽取10名學(xué)生，其編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為7，公差為16的等差數(shù)列，故抽取的學(xué)生中最大編號(hào)為7＋916＝151. 答案：　B 2．一個(gè)總體中的80個(gè)個(gè)體編號(hào)為0,1,2，…，79，并依次將其分為8個(gè)組，組號(hào)為0,1，…，7，要用(錯(cuò)位)系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為8的樣本．即規(guī)定先在第0組隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，記為i，依次錯(cuò)位地得到后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取個(gè)位數(shù)字為i＋k(當(dāng)i＋k＜10)或i＋k－10(當(dāng)i＋k≥10)的號(hào)碼．在i＝6時(shí)，所抽到的8個(gè)號(hào)碼是________． 解析：　由題意得，在第1組抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字是6＋1＝7，故應(yīng)選17；在第2組抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字是6＋2＝8，故應(yīng)選28，此次類推，應(yīng)選39,40,51,62,73. 答案：　6,17,28,39,40,51,62,73 3．某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對(duì)他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人數(shù)分布)如下表： 學(xué)歷 35歲以下 35～50歲 50歲以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1人學(xué)歷為研究生的概率； (2)在這個(gè)公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個(gè)人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個(gè)人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為，求x，y的值． 解析：　(1)用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個(gè)容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m，∴＝，解得m＝3. 抽取的樣本中有研究生2人，本科生3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3. 從中任取2人的所有等可能基本事件共有10個(gè)：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)， 其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本事件有7個(gè)：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)． ∴從中任取2人，至少有1人學(xué)歷為研究生的概率為. (2)由題意，得＝，解得N＝78. ∴35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20， ∴＝＝，解得x＝40，y＝5. 即x，y的值分別為40,5. 4．某公路設(shè)計(jì)院有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個(gè)人參加市里召開的科學(xué)技術(shù)大會(huì)．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個(gè)體，如果參會(huì)人數(shù)增加1個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，求n. 解析：　總體容量為6＋12＋18＝36. 當(dāng)樣本容量是n時(shí)，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，分層抽樣的比例是，抽取的工程師人數(shù)為6＝，技術(shù)員人數(shù)為12＝，技工人數(shù)為18＝，所以n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6,12,18.由條件增加1人時(shí)知，只有n＝6符合． 第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體 1．了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)． 2．理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差． 3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋． 4．會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想． 5．會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題． 1．統(tǒng)計(jì)圖表的含義 (1)頻率分布表 ①含義：把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表． ②頻率分布表的畫法步驟： 第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝； 第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間； 第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表． (2)頻率分布直方圖：能夠反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖． (3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連接起來，就得到頻率分布折線圖． (4)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距足夠小，則相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，即總體密度曲線． (5)莖葉圖的畫法步驟 第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分； 第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列； 第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)． 2．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)． (4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 s＝ s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 1．標(biāo)準(zhǔn)差和方差的異同 相同點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)差和方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。? 不同點(diǎn)：方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，標(biāo)準(zhǔn)差則不然． 2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的異同 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 相同點(diǎn) 都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量 不同點(diǎn) 與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，出現(xiàn)在這些數(shù)據(jù)中 不一定在這些數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．奇數(shù)個(gè)時(shí)，在這組數(shù)值中出現(xiàn)；偶數(shù)時(shí)，為中間兩數(shù)平均值 不一定在這些數(shù)值中出現(xiàn) 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．(　　) (2)頻率分布直方圖中各個(gè)長方形的面積之和為1.(　　) (3)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(　　) (4)莖葉圖只適用數(shù)據(jù)為兩位數(shù)字．(　　) (5)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(　　) 答案：　(1)　(2)√　(3)　(4)　(5)√ 2．從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：克)： 125　120　122　105　130　114　116　95　120　134 則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5,124.5)內(nèi)的頻率為(　　) A．0.2　 B．0.3 C．0.4　 D．0.5 解析：　落在[114.5,124.5)內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)為120,122,116,120，共4個(gè)，故所求頻率為＝＝0.4. 答案：　C 3．(xx廣東卷)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A．200,20　 B．100,20 C．200,10　 D．100,10 解析：　該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3 500＋2 000＋4 500＝10 000，則樣本容量為10 0002%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2 0002%50%＝20，故選A． 答案：　A 4．甲、乙兩個(gè)班各隨機(jī)選出15名同學(xué)進(jìn)行測驗(yàn)，所得成績的莖葉圖如圖．從圖中看，________班的平均成績較高． 解析：　結(jié)合莖葉圖中成績的情況可知，乙班平均成績較高． 答案：　乙 5．某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________； (2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________． 解析：　(1)＝＝7. (2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2. 答案：　(1)7　(2)2 樣本的數(shù)字特征 1．某廠10名工人在一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　 B．b＞c＞a C．c＞a＞b　 D．c＞b＞a 解析：　把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均數(shù)a＝(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位數(shù)b＝＝15，眾數(shù)c＝17，則a＜b＜c. 答案：　D 2．一個(gè)樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是(　　) A．3　 B．4 C．5　 D．6 解析：　由x2－5x＋4＝0兩根分別為1,4， ∴有或. 又a,3,5,7的平均數(shù)是b. 即＝b，＝b，a＋15＝4b， ∴符合題意，則方差s2＝5，故選C． 答案：　C 3．(xx陜西卷)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為(　　) A．，s2＋1002　 B．＋100，s2＋1002 C．，s2　 D．＋100，s2 解析：　法一：對(duì)平均數(shù)和方差的意義深入理解可巧解．因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)都加上了100，故平均數(shù)也增加100，而離散程度應(yīng)保持不變，故選D． 法二：由題意知x1＋x2＋…xn＝n ，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 則所求均值＝[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(xn＋100)]＝(n ＋n100)＝＋100， 而所求方差t2＝[(x1＋100－)2＋(x2＋100－)2＋…＋(xn＋100－)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝s2，故選D． 答案：　D 　眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計(jì)算方法 (1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小． (2)平均數(shù)、方差的公式推廣 ①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m ＋a. ②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2. (ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2； (ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2. (3)方差的簡化計(jì)算公式 s2＝[(x＋x＋…＋x)－n 2]，或?qū)懗蓅2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． 莖葉圖 (xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下： 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間： 0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5 2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間： 3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4 1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5 (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？ (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？ 解析：　(1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為. 由觀測結(jié)果可得 ＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， ＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6. 由以上計(jì)算結(jié)果可得＞，因此可看出A藥的療效更好． (2)由觀測結(jié)果可繪制莖葉圖如圖： 從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好． 1.如圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計(jì)年鑒xx》中的資料做成的xx年至xx我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖．圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字．從圖中可以得到xx年至xx我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口的平均數(shù)為(　　) A．304.6　 B．303.6 C．302.6　 D．301.6 解析：　由莖葉圖可知，這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù) ＝＝303.6. 答案：　B 2．(xx安徽省“江南十?！甭?lián)考)一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后，從甲、乙兩班各抽取9名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪成莖葉圖如圖所示．據(jù)此估計(jì)兩個(gè)班成績的中位數(shù)的差的絕對(duì)值為(　　) A．8　 B．5 C．4　 D．2 解析：　甲、乙兩班成績按大小順序排列，處在最中間的數(shù)分別為87、89，故它們之差的絕對(duì)值是2. 答案：　D 　莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)． 頻率分布直方圖 (xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標(biāo)值分組 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)在下表作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： (2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？ 解析：　(1)如圖所示： (2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 ＝800.06＋900.26＋1000.38＋1100.22＋1200.08＝100. 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為： s2＝(－20)20.06＋(－10)20.26＋020.38＋1020.22＋2020.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104. (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為 0．38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定． 1．(xx廣東卷)隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： (1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值； (2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率． 解析：　(1)由所給數(shù)據(jù)知，落在區(qū)間(40,45]內(nèi)的有7個(gè)，落在(45,50]內(nèi)的有2個(gè)，故n1＝7，n2＝2， 所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08. (2)樣本頻率分布直方圖如圖． (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率為0.2，設(shè)所取的4人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的人數(shù)為ξ，則ξ～B(4,0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率為0.590 4. 2．(xx重慶卷)20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如下： (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù)； (3)從成績在[50,70)的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績都在[60,70)中的概率． 解析：　(1)據(jù)直方圖知組距＝10， 由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)10＝1， 解得a＝＝0.005. (2)成績落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù)為20.0051020＝2，成績落在[60,70)中的學(xué)生人數(shù)為30.0051020＝3. (3)記成績落在[50,60)中的2人為A1，A2，成績落在[60,70)中的3人為B1，B2，B3，則從成績在[50,70)的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個(gè)： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)， 其中2人的成績都在[60,70)中的基本事件有3個(gè)： (B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，故所求概率為P＝. 3．(xx黑龍江大慶一中第二次階段考試)某班同學(xué)利用寒假在5個(gè)居民小區(qū)內(nèi)選擇兩個(gè)小區(qū)逐戶進(jìn)行一次“低碳生活習(xí)慣”的調(diào)查，以計(jì)算每戶的碳月排放量．若月排放量符合低碳標(biāo)準(zhǔn)的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”．若小區(qū)內(nèi)有至少75%的住戶屬于“低碳族”，則稱這個(gè)小區(qū)為“低碳小區(qū)”，否則稱為“非低碳小區(qū)”．已知備選的5個(gè)居民小區(qū)中有三個(gè)非低碳小區(qū)，兩個(gè)低碳小區(qū)． (1)求所選的兩個(gè)小區(qū)恰有一個(gè)為“非低碳小區(qū)”的概率； (2)假定選擇的“非低碳小區(qū)”為小區(qū)A，調(diào)查顯示其“低碳族”的比例為，數(shù)據(jù)如圖1所示，經(jīng)過同學(xué)們的大力宣傳，三個(gè)月后，又進(jìn)行了一次調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖2所示，問這時(shí)小區(qū)A是否達(dá)到“低碳小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)？ 解析：　(1)設(shè)三個(gè)“非低碳小區(qū)”為B，C，D，兩個(gè)“低碳小區(qū)”為m，n，則從5個(gè)小區(qū)中任選兩個(gè)小區(qū)，所有可能的結(jié)果有10種，它們是(B，C)，(B，D)，(B，m)，(B，n)，(C，D)，(C，m)，(C，n)，(D，m)，(D，n)，(m，n)，恰有一個(gè)為“非低碳小區(qū)”的結(jié)果有(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(D，m)，(D，n)，共6種，故所求概率為P＝＝. (2)由題圖1可知月碳排放量不超過300千克的稱為“低碳族”． 由題圖2可知，三個(gè)月后的“低碳族”的比例為0.07＋0.23＋0.46＝0.76>0.75，所以三個(gè)月后小區(qū)A達(dá)到了“低碳小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)． 　解決頻率分布直方圖問題時(shí)要抓?。? (1)直方圖中各小長方形的面積之和為1. (2)直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距，即矩形的面積． (3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體數(shù)． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是(　　) A．0.05　 B．0.25 C．0.5　 D．0.7 解析：　由題知，在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為＝0.7. 答案：　D 2．(xx山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組．如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(　　) A．6　 B．8 C．12　 D．18 解析：　由題圖可知，第一組和第二組的頻率之和為(0.24＋0.16)1＝0.40，故該試驗(yàn)共選取的志愿者有＝50人．所以第三組共有500.36＝18人，其中有療效的人數(shù)為18－6＝12. 答案：　C 3．某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間(單位：h)，隨機(jī)選擇了n位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，且從左到右的第1個(gè)、第4個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)小長方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則n等于(　　) A．80　 B．90 C．100　 D．110 解析：　設(shè)第1個(gè)小長方形的面積為S， 則4個(gè)小長方形的面積之和為， 由題意知，4S＋40.1＝1， 故S＝0.1，又因?yàn)椋?.1，所以n＝100. 答案：　C 4．一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是(　　) A．13,12　 B．13,13 C．12,13　 D．13,14 解析：　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，平均數(shù)為＝＝13，中位數(shù)為＝13. 答案：　B 5.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)測試中的6次成績的莖葉圖如圖所示，1、2分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測試成績的平均數(shù)，s1、s2分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有(　　) A．1＞2，s1＜s2　 B．1＝2，s1＝s2 C．1＝2，s1＜s2　 D．1＝2，s1＞s2 解析：　1＝15，2＝15，s＝，s＝. 答案：　C 6．在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是________、________. 解析：　甲組數(shù)據(jù)為：28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位數(shù)為45. 乙組數(shù)據(jù)為：29,34,35,42,46,48,53,55,67，中位數(shù)為46. 答案：　45　46 7．(xx江蘇卷)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100 cm. 解析：　由頻率分布直方圖可得樹木底部周長小于100 cm的頻率是(0.025＋0.015)10＝0.4，又樣本容量是60，所以頻數(shù)是0.460＝24. 答案：　24 8．(xx湖北卷)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中x的值為________； (2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________． 解析：　(1)根據(jù)頻率和為1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)50＝1，解得x＝0.004 4； (2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)50100＝70. 答案：　(1)0.004 4　(2)70 9．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)； (2)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差； (3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些． 解析：　(1)甲＝(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7， 乙＝(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7. (2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]可求得s＝3.0，s＝1.2. (3)由甲＝乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)； 又∵s＞s，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動(dòng)大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定． 10．(xx北京卷)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖： 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計(jì) 100 (1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率； (2)求頻率分布直方圖中的a，b的值； (3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組．(只需寫出結(jié)論) 解析：　(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6＋2＋2＝10名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1－＝0.9. 從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9. (2)課外閱讀時(shí)間落在組[4,6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝＝＝0.085. 課外閱讀時(shí)間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝＝＝0.125. (3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組． B級(jí)　能力提升 1．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是(　　) A．平均數(shù)　 B．標(biāo)準(zhǔn)差 C．眾數(shù)　 D．中位數(shù) 解析：　A樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝，B樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)′＝－5.A樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝[(42－)2＋(43－)2＋…＋(50－)2]，B樣本數(shù)據(jù)的方差s′2＝[(42－)2＋(43－)2＋…＋(50－)2]，∴A、B兩樣本的標(biāo)準(zhǔn)差相同，故選B． 答案：　B 2.將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示，則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為________． 解析：　根據(jù)莖葉圖，去掉1個(gè)最低分87,1個(gè)最高分99， 則[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91， ∴x＝4. ∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝. 答案：　 3．(xx通化模擬)某學(xué)科在市?？己髲娜昙?jí)抽出100名學(xué)生的學(xué)科成績作為樣本進(jìn)行分析，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示． (1)利用組中值估計(jì)該次考試該學(xué)科的平均成績． (2)估計(jì)該學(xué)科成績在[100,130)之間的概率． (3)為詳細(xì)了解每題的答題情況，從樣本中成績在80～100之間的試卷中任選2份進(jìn)行分析，求至少有1人成績在80～90之間的概率． 解析：　(1)用每組的組中值作為該組的平均值，算得該次考試該學(xué)科的平均成績?yōu)?24.4分． (2)樣本中學(xué)生成績在[100,130)之間的頻率為0.58，故由頻率估計(jì)該學(xué)科成績在[100,130)之間的概率P1＝0.58. (3)樣本中成績在80～90之間有2人，設(shè)其編號(hào)為①②；樣本中成績在90～100之間有4人，設(shè)其編號(hào)為③④⑤⑥.從上述6人中任取2人的所有選取可能為：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，②⑤，②⑥，③④，③⑤，③⑥，④⑤，④⑥，⑤⑥. 故從樣本中成績在80～100之間任選2人所有可能結(jié)果數(shù)為15， 至少有1人成績在80～90之間可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率為P2＝0.6. 4．(xx唐山調(diào)研)在數(shù)學(xué)趣味知識(shí)培訓(xùn)活動(dòng)中，甲、乙兩名學(xué)生的6次培訓(xùn)成績?nèi)缜o葉圖所示： (1)從甲、乙兩人中選擇一人參加數(shù)學(xué)趣味知識(shí)競賽，你會(huì)選哪位？請(qǐng)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明理由； (2)從乙的6次成績中隨機(jī)選擇2個(gè)成績，試求選到123分的概率． 解析：　(1)甲＝＝112， 乙＝＝112， s＝[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝， s＝[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝， ∴甲＝乙，s＞s， 說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，乙發(fā)揮更穩(wěn)定，則選擇乙同學(xué)． (2)從6個(gè)成績中隨機(jī)選擇2個(gè)，共有15個(gè)基本事件，分別是： {102,105}，{102,112}，{102,113}，{102,117}，{102,123}，{105,112}，{105,113}，{105,117}，{105,123}，{112,113}，{112,117}，{112,123}，{113,117}，{113,123}，{117,123}，其中滿足條件的基本事件有5個(gè)，故所求概率P＝＝. 第三節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 1．會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系． 2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程． 3．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用． 4．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用． 1．相關(guān)關(guān)系與回歸方程 (1)相關(guān)關(guān)系的分類： ①正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)； ②負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)． (2)線性相關(guān)關(guān)系： 從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線． (3)回歸方程： ①最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法． ②回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋，則＝＝， ＝－，其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距． (4)樣本相關(guān)系數(shù)： r＝，用它來衡量兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系． ①當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； ②當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． ③r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)22列聯(lián)表 假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱22列聯(lián)表)為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)K2統(tǒng)計(jì)量： K2＝.(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量) 1．線性回歸直線方程的求法 求解回歸方程關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，，因求解的公式計(jì)算量太大，一般題目中給出相關(guān)的量，如，，，等，便可直接代入求解．充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(，)，即有＝ ＋，可確定. 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解 獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法，即要確定“兩個(gè)變量X與Y有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即它們之間沒有關(guān)系，也就是它們是相互獨(dú)立的，利用概率的乘法公式可推知，(ad－bc)接近于零，也就是隨機(jī)變量K2＝應(yīng)該很小，如果計(jì)算出來的K2的觀測值k不是很小，通過查表P(K2≥k0)的概率很?。指鶕?jù)小概率事件不可能發(fā)生，由此判斷假設(shè)不成立，從而可以肯定地?cái)嘌訶與Y之間有關(guān)系． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(　　) (2)K2＝.(　　) (3)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值越大．(　　) (4)任何一組數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)回歸直線方程．(　　) 答案：　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是(　　) A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是非確定關(guān)系 B．散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C．回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 D．散點(diǎn)圖中的點(diǎn)越集中，兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng) 答案：　D 3．某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運(yùn)用22列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”．(　　) 附： P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0.1%　 B．1% C．99%　 D．99.9% 解析：　因?yàn)?.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有1－0.010＝0.