2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列同步練習(xí) 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列同步練習(xí) 文1了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式1an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an2數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)1,1,1,1，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列()(2)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(5)已知an2f(an1，an)時(shí)，如果要確定這個(gè)數(shù)列，則必須知道初始值a1，a2.()(6)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2數(shù)列3,7，11,15，的通項(xiàng)公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)答案：C3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpn(p，q為常數(shù))，且a2，a4，則a8()ABCD2解析：由題意知，解得.a88p8.答案：B4已知數(shù)列，則0.98是它的第_項(xiàng)解析：0.98，n7.答案：75已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.故an答案：an由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3333，.解析：(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故第n項(xiàng)的符號(hào)為(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n，也可寫為an(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為：，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；化異為同對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN*處理由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1.求an.解析：(1)因?yàn)閍5a6S6S4(6)(4)2，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也適合于此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S16；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不適合此式，所以an1已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解析：(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an23n1；當(dāng)b1時(shí)，an2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkcnk(其中c，k為常數(shù))，且a24，a68a3，求an.解析：由Snkcnk得anSnSn1kcnkcn1(n2)，由a24，a68a3得kc(c1)4，kc5(c1)8kc2(c1)，解得所以ankcnkcn12n(n2)，又a1S12，于是an2n.3(xx陜西四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1BanCan2nDan2n2解析：由題意可知，數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則a1a2a3an12(n1)5，n>1，兩式相減可得：2n52(n1)52，an2n1，n>1，nN*.當(dāng)n1時(shí)，7，a114，綜上可知，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an故選B答案：B4數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，兩式相減，得an1an2an，an13an(n2)a22S113，a23a1，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列an3n1.故填an3n1(n1，且nN)答案：an3n1(n1，且nN)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來(lái)寫由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a12，an1ann1；(2)a11，anan1(n2)；(3)a11，an13an2.解析：(1)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1.當(dāng)n1時(shí)，a11，上式也成立an.(3)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1 為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an 的通項(xiàng)公式：(1)a11，an1an2n.(2)a11，an12nan.解析：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)由于2n，故21，22，2n1，將這n1個(gè)等式疊乘，得212(n1)2，故an2.由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式常用方法有：累加法、累積法、構(gòu)造法形如anpan1m(p、m為常數(shù)，p1，m0)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)時(shí)，用累加法求解；形如f(n)(f(n)可求積)時(shí)，用累積法求解A級(jí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：根據(jù)定義，屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào))，屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C答案：C2數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n2時(shí)，an()A2n1Bn2CD解析：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，則Tnn2，當(dāng)n2時(shí)，an.答案：D3數(shù)列an滿足anan1(nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S21為()A5BCD解析：anan1，a22，anS2111102.故選B答案：B4(xx吉林普通中學(xué)摸底)已知數(shù)列an，an2n2n，若該數(shù)列是遞減數(shù)列， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(，6B(，4C(，5D(，3解析：數(shù)列an的通項(xiàng)公式是關(guān)于n(nN*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列， 則，即6.答案：A5(xx安徽合肥二檢)數(shù)列an滿足a12，an，其前n項(xiàng)積為Tn，則T2 014()ABC6D6解析：由an，得an1，而a12，則有a23，a3，a4，a52，故數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a41，所以T2 014(a1a2a3a4)503a1a215032(3)6.故選D答案：D6(xx海南三亞一模)在數(shù)列1,2，中，2是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)解析：因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.答案：267(xx天津六校第三次聯(lián)考)數(shù)列an中， 已知a11，a22，an1anan2(nN*)，則a7_.解析：由已知an1anan2，a11，a22，能夠計(jì)算出a31，a41，a52，a61，a71.答案：18數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snnan，則an_.解析：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1nan(n1)an1，anan1(n2)又a11，an1.答案：19數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？解析：(1)當(dāng)n4時(shí)，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn2bn.求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式解析：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，當(dāng)n1時(shí)，a1S14也適合，an的通項(xiàng)公式是an4n(nN*)Tn2bn，當(dāng)n1時(shí)，b12b1，b11.當(dāng)n2時(shí)，bnTnTn1(2bn)(2bn1)，2bnbn1.數(shù)列bn是公比為，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列bnn1.B級(jí)能力提升1定義：稱為n個(gè)正數(shù)P1，P2，Pn的“均倒數(shù)”若數(shù)列an的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1Ban4n1Can4n3Dan4n5解析：，2n1，a1a2an(2n1)n；a1a2an1(2n3)(n1)(n2)，當(dāng)n2時(shí)，an(2n1)n(2n3)(n1)4n3；a11也適合此等式，an4n3.答案：C2下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_解析：從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n1時(shí)，有1個(gè)；n2時(shí)，有3個(gè)；n3時(shí)，有6個(gè)；n4時(shí)，有10個(gè)；an1234n.答案：an3已知數(shù)列an滿足前n項(xiàng)和Snn21，數(shù)列bn滿足bn，且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性解析：(1)a12，anSnSn12n1(n2)anbn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是遞減數(shù)列4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snan1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列bn中，b15，bn1bnan，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，S1a1a11，所以a12.由Snan1，可知當(dāng)n2時(shí)，Sn1an11，得an，所以an3an1，又a10，故an10，所以3，故數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1.(2)由(1)知bn1bn23n1.當(dāng)n2時(shí)，bnbn123n2，b3b2231，b2b1230，將以上n1個(gè)式子相加并整理，得bnb12(3n23130)523n14.當(dāng)n1時(shí)，31145b1，所以bn3n14(nN*)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.1等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an的公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列2等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(5)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列()(6)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知在等差數(shù)列an中，a27，a415，則前10項(xiàng)和S10()A100B210C380D400解析：因?yàn)閍27，a415，所以d4，a13，故S101031094210.答案：B3(xx北京海淀區(qū)期末)若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A6B7C8D9解析：a119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)(3)223n.答案：B4(xx重慶卷)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則ca_.解析：設(shè)公差為d，2，a，b，c,9成等差數(shù)列，924d，d.又ca2d，ca2.答案：5在等差數(shù)列40,37,34，中，第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是_解析：a140，d37403，an40(n1)(3)3n43，令an0，即3n430，解得n，故第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第15項(xiàng)，即a15315432.答案：2等差數(shù)列的基本運(yùn)算1(xx福建卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A8B10C12D14解析：因?yàn)镾33a1d32d12，所以d2.所以a6a1(61)d25212.故選C答案：C2(xx天津卷)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_(kāi)解析：由已知得S1a1，S2a1a22a11，S44a1(1)4a16，而S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1(4a16)，整理得2a110，解得a1.答案：3(xx福建福州一模)已知等差數(shù)列an，其中a1，a2a54，an33，則n的值為_(kāi)解析：在等差數(shù)列an中，a2a52a15d5d4，所以d，又an(n1)33，解得n50.答案：504已知an2n27，則a1a4a7a3n2_.解析：由an2n27，知a3n26n31，故a3n2是首項(xiàng)為25，公差為6的等差數(shù)列從而a1a4a7a3n2(a1a3n2)(6n56)3n228n.答案：3n228n等差數(shù)列基本運(yùn)算的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想等差數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an滿足：a12，an13an3n12n.設(shè)bn.證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式證明：bn1bn1，bn為等差數(shù)列，又b10.bnn1，an(n1)3n2n.1已知數(shù)列an中，a12，an2(n2，nN*)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2，an12.bn1bn1，bn是首項(xiàng)為b11，公差為1的等差數(shù)列2在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：(1)證明：將 3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得13(n1)3n2，所以an.3(xx新課標(biāo)全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由解析：(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列等差數(shù)列的判定方法大全(1)等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是定義法，anan1d(常數(shù))(n2)；第二種方法是利用等差中項(xiàng)，即2anan1an1(n2)(2)解答選擇題和填空題時(shí)也可以用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式直接判定(3)若判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需要說(shuō)明某連續(xù)3項(xiàng)(如前三項(xiàng))不是等差數(shù)列即可等差數(shù)列的性質(zhì)(1)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()A0B37C100D37(2)(xx北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大(3)(xx上海虹口二模)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n8，下列四個(gè)命題1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；3：數(shù)列是遞增數(shù)列；4：數(shù)列a是遞增數(shù)列其中真命題是_解析：(1)設(shè)an，bn的公差分別為d1，d2，則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn為等差數(shù)列，又a1b1a2b2100，anbn為常數(shù)列，a37b37100.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7a8a93a8>0，即a8>0；而a7a10a8a9<0，故a9<0.所以數(shù)列an的前8項(xiàng)和最大(3)由已知an2n8可知等差數(shù)列an的公差d為2，an是遞增數(shù)列，命題1正確；而nan2n28n2(n2)28，易知數(shù)列nan不是遞增數(shù)列，命題2錯(cuò)誤；2，易證數(shù)列是遞增數(shù)列，命題3正確；a4(n4)2，有a>a>a>a<a<a<，a不是遞增數(shù)列，命題4錯(cuò)誤綜上，真命題是1，3.答案：(1)C(2)8(3)1，31等差數(shù)列an中，a13a8a15120，則2a9a10的值是()A20B22C24D8解析：a13a8a155a8120，a824，2a9a10a10a8a10a824.答案：C2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2030，S20S1020，S30301021030，S3060.答案：603設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn324(n>6)，則數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)n_.解析：由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.答案：184在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值解析：法一：a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即當(dāng)n12時(shí)，an>0，n14時(shí)，an<0.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S131220130.法二：同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.等差數(shù)列的最值的處理方法：(1)利用Snan2bn轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值時(shí)要注意n的取值(2)若an是等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值時(shí)，若a10，d0，且滿足前n項(xiàng)和Sn最大若a10，d0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最小A級(jí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1(xx海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列an中，a23，a3a49，則a1a6的值為()A14B18C21D27解析：依題意得由此解得d1，a12，a6a15d7，a1a614.答案：A2(xx陜西五校三模)等差數(shù)列an中，如果a1a4a739，a3a6a927，則數(shù)列an前9項(xiàng)的和為()A297B144C99D66解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)392766，a2a5a833，則數(shù)列an前9項(xiàng)的和為663399.答案：C3(xx河北唐山一中調(diào)研)已知等差數(shù)列an中，a7a916，S11，則a12的值是()A15B30C31D64解析：由題意可知2a8a7a916a88，S1111a6，a6，則d，所以a12a84d15，故選A答案：A4(xx安徽六校聯(lián)考)數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列， 且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8()A0B3C8D11解析：設(shè)bn的公差為d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，a83.故選B答案：B5(xx遼寧鞍山檢測(cè))已知Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的nN*滿足an1ana2，且a32，則S2 014()A1 0062 013B1 0062 014C1 0072 013D1 0072 014解析：在an1ana2中，令n1，則a2a1a2，a10，令n2，則a322a2，a21，于是an1an1，故數(shù)列an是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，S2 0141 0072 013.故選C答案：C6(xx江蘇連云港二調(diào))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a13，ak1，Sk12，則正整數(shù)k_.解析：由Sk1Skak112，又Sk1，解得k13.答案：137設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.解析：由an2n10(nN*)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，當(dāng)n5時(shí)，an0，當(dāng)n5時(shí)，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：1308設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為_(kāi)解析：an，bn為等差數(shù)列，.，.答案：9各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn為an的前n項(xiàng)和(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，a4S12a11，即(a11)20，解得a11.當(dāng)n2時(shí)，a4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)a4Sn2an1，a4Sn12an11.得aa4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，an1an0，an1an2，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列an2n1.10(xx湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a1，a2，a5成等比數(shù)列，aa1a5，即(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d4.an2或an4n2.(2)當(dāng)an2時(shí)，Sn2n.由2n>60n800及nN*得n無(wú)解；當(dāng)an4n2時(shí)，Sn2n2，由2n2>60n800得n>40.nN*，n的最小值為41.B級(jí)能力提升1數(shù)列an滿足a11，an1ranr(nN*，rR且r0)，則“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)r1時(shí)，易知數(shù)列an為等差數(shù)列；由題意易知a22r，a32r2r，當(dāng)數(shù)列an是等差數(shù)列時(shí)，a2a1a3a2，即2r12r2r，解得r或r1，當(dāng)r時(shí)，an1，故“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的充分不必要條件，選A答案：A2已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn，若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：依題意得bn1，對(duì)任意的nN*，都有bnb8，即數(shù)列bn的最小項(xiàng)是第8項(xiàng)，于是有.又?jǐn)?shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，因此有，即，由此解得8<a<7，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(8，7)答案：(8，7)3已知數(shù)列an滿足2an1anan2(nN*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a310，S672，若bnan30，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最小值解析：2an1anan2，an1anan2an1.故數(shù)列an 為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a310，S672得，解得a12，d4.an4n2，則bnan302n31，令，即，解得n，nN*，n15，即數(shù)列bn的前15項(xiàng)均為負(fù)值，T15最小數(shù)列bn的首項(xiàng)是29，公差為2，T15225，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的最小值為225.4設(shè)同時(shí)滿足條件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列bn叫“特界”數(shù)列(1)若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a34，S318，求Sn；(2)判斷(1)中的數(shù)列Sn是否為“特界”數(shù)列，并說(shuō)明理由解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a12d4，S3a1a2a33a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2)Sn是“特界”數(shù)列，理由如下：由Sn110，得Sn1，故數(shù)列Sn適合條件.而Snn29n2(nN*)，則當(dāng)n4或5時(shí)，Sn有最大值20，即Sn20，故數(shù)列Sn適合條件.綜上，數(shù)列Sn是“特界”數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q.(2)等比中項(xiàng)：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即：G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn1等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和(1)若mnpq2r，則amanapaqa.(2)若數(shù)列an、bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an、a、anbn、(0)仍然是等比數(shù)列(3)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(4)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，當(dāng)公比為1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列2等比數(shù)列的三種判定方法(1)定義：q(q是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項(xiàng)公式：ancqn1(c、q均是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)等比中項(xiàng)法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數(shù)列1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列()(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(3)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(4)如果an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()答案：(1)(2)(3)(4)2設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為()A63B64C127D128解析：由a11，a516，得q416(q>0)，q2，S7127.答案：C3(xx重慶卷)對(duì)任意等比數(shù)列an，下列說(shuō)法一定正確的是()Aa1，a3，a9成等比數(shù)列Ba2，a3，a6成等比數(shù)列Ca2，a4，a8成等比數(shù)列Da3，a6，a9成等比數(shù)列解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閝3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列故選D答案：D4在等比數(shù)列an中，已知a7a125，則a8a9a10a11_.解析：a7a125，a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.答案：255設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則_.解析：8a2a50，8a2a5，即8.q38，q2.11.答案：11等比數(shù)列的基本運(yùn)算1(xx北京朝陽(yáng)一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，a2a312，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和為_(kāi)解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a12，a2a312，則a1qa1q212，解得q2，故S430.答案：302(xx揚(yáng)州中學(xué)期中測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a11，a34，Sk63，則k_.解析：設(shè)等比數(shù)列an公比為q，由已知a11，a34，得q24.又an的各項(xiàng)均為正數(shù)，q2.而Sk63，2k163，解得k6.答案：63已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，aa10,2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.答案：2n4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.解析：設(shè)an的公比為q，由題意得解得或，當(dāng)a13，q2時(shí)，an32n1，Sn3(2n1)；當(dāng)a12，q3時(shí)，an23n1，Sn3n1.1.等比數(shù)列基本運(yùn)算方法(1)使用兩個(gè)公式，即通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式(2)使用通項(xiàng)公式的變形：anamqnm(m，nN*)2等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)首先判斷公比q能否為1，若能，應(yīng)分q1與q1兩種情況求解等比數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：(1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首項(xiàng)c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知cnn1nan1n.1已知數(shù)列an的首項(xiàng)a15，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12Snn5(nN*)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列證明：由已知Sn12Snn5(nN*)可得當(dāng)n2時(shí)，Sn2Sn1n4，兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)，當(dāng)n1時(shí)，S22S115，即a2a12a16，又a15，所以a211，從而a212(a11)故an112(an1)，對(duì)nN*恒成立，又a15，a110，從而2.所以數(shù)列an1是等比數(shù)列2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a21，S1133.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan，求證：bn是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)依題意有解得，an.(2)證明：bnn，為常數(shù)bn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，Tn1n.3已知數(shù)列an和bn滿足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)證明：當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是等比數(shù)列證明：(1)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)，且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，an0，且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定某連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可等比數(shù)列的性質(zhì)(1)(xx山東淄博期末)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92a，a22，則a1()ABCD2(2)(xx廣東珠海質(zhì)量監(jiān)測(cè))等比數(shù)列an共有奇數(shù)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1()A1B2C3D4解析：(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9a2a，q>0，a6a5，q，a1，故選C(2)設(shè)等比數(shù)列an共有2k1(kN*)項(xiàng)，則a2k1192，則S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13，故選C答案：(1)C(2)C1(xx北京豐臺(tái)一模)已知等比數(shù)列an中，a2a31，a4a52，則a6a7等于()A2B2C4D4解析：因?yàn)閍2a3，a4a5，a6a7成等比數(shù)列，a2a31，a4a52，所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7)，解得a6a74.答案：C2(xx鄭州模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n()A12B13C14D15解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故選C答案：C等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：通項(xiàng)公式的變形；等比中項(xiàng)的變形；前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口A級(jí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1(xx北京海淀一模)在數(shù)列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)an0時(shí)，滿足an2an1，n2,3,4，但a n是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故充分性不成立；又當(dāng)an是公比為2的等比數(shù)列時(shí)，有2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立，故選B答案：B2(xx河北衡水中學(xué)五調(diào))已知等比數(shù)列an的公比q2，且2a4，a6,48成等差數(shù)列，則an的前8項(xiàng)和為()A127B255C511D1 023解析：2a4，a6,48成等差數(shù)列，2a62a448，2a1q52a1q348，又q2，a11，S8255.答案：B3(xx遼寧沈陽(yáng)模擬)已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，則log(a5a7a9)的值是()A5BC5D解析：由l