2019-2020年高一數(shù)學(xué) 5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（備課資料） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高一數(shù)學(xué) 5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（備課資料） 大綱人教版必修1.概念辨析：正確理解向量夾角定義對(duì)于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見(jiàn)的錯(cuò)誤，如：例1已知ABC中，a5，b8，C60，求.對(duì)此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，a5，b8，C60，cosC58cos6020.分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒(méi)能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，C并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有(ab)ca(bc)，設(shè)a、b夾角為，b、c夾角為，則(ab)cabcosc，a(bc)abccos.若ac，則ac，進(jìn)而有：(ab)ca(bc)這是一種特殊情形，一般情況則不成立.舉反例如下：已知a1，b1，c，a與b夾角是60，b與c夾角是45，則：(ab)c(abcos60)cc，a(bc)(bccos45)aa而ca，故(ab)ca(bc)3.等式的性質(zhì)“實(shí)數(shù)a、b、c，且ab=ac，a0推出b=c”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例2舉例說(shuō)明ab=ac，且a0，推不出b=c.解：取a=1，b=，a與b的夾角為45，c=，a與c的夾角為0，顯然ab=ac=，但bc.4.“如果ab=0，那么a，b中至少有一個(gè)為零”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例3已知a=2，b=3，a與b的夾角為90，求ab.解：ab=23cos90=0，顯然a0，b0，由ab=0可推出以下四種可能：a=0，b0;b=0，a0;a=0且b=0;a0且b0但ab.備課資料1.常用數(shù)量積運(yùn)算公式在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛.即(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2上述兩公式以及(ab)(ab)a2b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過(guò)程中可以直接應(yīng)用.2.應(yīng)用舉例例1已知a2，b5，ab3，求ab，ab.解：ab2(ab)2a22abb2222(3)5223ab，(ab)2(ab)2a22abb2222(3)+5235，ab.例2已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角(精確到1).解：(ab)2(ab)2a22abb2a22abcosb2162822810cos102，cos，55例3在ABC中，=a，=b，且ab0，則ABC的形狀是( )A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定分析：此題主要考查兩向量夾角的概念，應(yīng)避免由ab=abcosB0得cosB0，進(jìn)而得B為鈍角，從而錯(cuò)選C.解：由兩向量夾角的概念，a與b的夾角應(yīng)是180Bab=abcos(180B)=abcosB0cosB0又因?yàn)锽(0，180)所以B為銳角.又由于角B不一定最大，故三角形形狀無(wú)法判定.所以應(yīng)選D.例4設(shè)e1、e2是夾角為45的兩個(gè)單位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，試求：a+b的值.分析：此題主要考查學(xué)生對(duì)單位向量的正確認(rèn)識(shí).解：a+b=(e1+2e2)+(2e1+e2)=3(e1+e2)，a+b=3(e1+e2)=3(e1+e2)=3=3=3=3.例5如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，E是從D作AC的垂線的垂足，F(xiàn)是DE的中點(diǎn).求證：AFBE.證明：=(+)=(+)+(+)=+=+cos=(+)=2=0故AFBE.例6(1)已知a=(cos，sin)，b=(cos5，sin5)，若ab+1=0，求sin2+cos2的值.(2)設(shè)m=2，n=1，向量m與n的夾角為，若a=4mn，b=m+2n，c=2m3n，求a2+3(ab)2(bc)+1的值.解：(1)ab=(cos，sin)(cos5，sin5)=coscos5+sinsin5=cos4.cos4+1=0，2cos22=0cos2=0sin2=1.sin2+cos2=1.(2)m=2，n=1且mn，m2=m2=4，n2=n=1，mn=0.a2+3(ab)2(bc)+1=(4mn)2+3(4mn)(m+2n)2(m+2n)(2m3n)+1=16m28mn+n2+12m2+24mn3nm6n24m26mn8nm+12n2+1=24m2+7n2+1=104.例7ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N.求證：(1)OBDF，OCDE；(2)OHMN.證明：如圖所示(1)=(+)=+=cos(+A)+sinB=RcosA+RcosAsinB=RcosA+RcosA=0(其中R為ABC外接圓半徑，即R=|OA|=|OB|=|OC|)OCDE同理可證OBDF.(2)設(shè)點(diǎn)H滿足 = + +，則=()=()()=22=0故AHBC.同理BHAC.所以H與H重合.即=+=( +)+ =(+)=sinB=RcosAsinB=2R2cosAsinBsinC，同理=2R2cosAsinBsinC，所以=()=0OHMN.