2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練五 第1講 空間幾何體 理.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練五 第1講 空間幾何體 理考情解讀1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側面展開圖及簡單的組合體問題1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系2空間幾何體的三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣(3)畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高看不到的線畫虛線3直觀圖的斜二測畫法空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側面積公式：S柱側ch(c為底面周長，h為高)；S錐側ch(c為底面周長，h為斜高)；S臺側(cc)h(c，c分別為上，下底面的周長，h為斜高)；S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V臺(SS)h(不要求記憶)；V球R3.熱點一三視圖與直觀圖例1某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B8C. D16(2)(xx四川)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()思維啟迪(1)根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖；(2)分析幾何體的特征，從俯視圖突破答案(1)B(2)D解析(1)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖：則該幾何體的體積V2248.(2)由俯視圖易知答案為D.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結果(1)(xx課標全國)一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()(2)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為()答案(1)A(2)D解析(1)根據(jù)已知條件作出圖形：四面體C1A1DB，標出各個點的坐標如圖(1)所示，可以看出正視圖為正方形，如圖(2)所示故選A.(2)如圖所示，點D1的投影為C1，點D的投影為C，點A的投影為B，故選D.熱點二幾何體的表面積與體積例2(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(2)如圖，在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E4，C1F3，連接EF，F(xiàn)B，DE，則幾何體EFC1DBC的體積為()A66 B68C70 D72思維啟迪(1)由三視圖確定幾何體形狀；(2)對幾何體進行分割答案(1)(2)A解析(1)由三視圖可知，該幾何體是一個半圓錐，底面半圓半徑是1，半圓錐的高為1.由圓錐的體積公式，可以得該半圓錐的體積V121.(2)如圖，連接DF，DC1，那么幾何體EFC1DBC被分割成三棱錐DEFC1及四棱錐DCBFC1，那么幾何體EFC1DBC的體積為V346(36)66125466.故所求幾何體EFC1DBC的體積為66.思維升華(1)利用三視圖求解幾何體的表面積、體積，關鍵是確定幾何體的相關數(shù)據(jù)，掌握應用三視圖的“長對正、高平齊、寬相等”；(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用“割補”的思想多面體MNABCD的底面ABCD為矩形，其正視圖和側視圖如圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則該多面體的體積是()A. B.C. D.答案D解析過M，N分別作兩個垂直于底面的截面，將多面體分割成一個三棱柱和兩個四棱錐，由正視圖知三棱柱底面是等腰直角三角形，面積為S1222，高為2，所以體積為V14，兩個四棱錐為全等四棱錐，棱錐的體積為V12212，所以多面體的體積為V4，選D.熱點三多面體與球例3如圖所示，平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為()A. B3 C. D2思維啟迪要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關系確定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質：斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等，只要再證明這個點到點A的距離等于這個點到B，C，D的距離即可確定球心，進而求出球的半徑，根據(jù)體積公式求解即可答案A解析如圖，取BD的中點E，BC的中點O，連接AE，OD，EO，AO.由題意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD.因為ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為.所以該球的體積V()3.故選A.思維升華多面體與球接、切問題求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，則4R2a2b2c2求解(1)(xx湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A1 B2C3 D4(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是_；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是_答案(1)B(2)3解析(1)由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，如圖所示由題意知，當打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內切圓相同時，該球的半徑最大，故其半徑r(6810)2.因此選B.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐PABCD(如圖)，其中底面ABCD是邊長為1的正方形，PA底面ABCD，且PA1，該四棱錐的體積為V111.又PC為其外接球的直徑，2RPC，則球的表面積為S4R23.1空間幾何體的面積有側面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和2在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量(球除外)，因此體積計算中的關鍵一環(huán)就是求出這個量在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉體中的軸截面3一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補形的方法，從而轉化為規(guī)則的幾何體，而補形又分為對稱補形(即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進行補形)、還原補形(即還臺為錐)和聯(lián)系補形(某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解)4長方體的外接球(1)長、寬、高分別為a、b、c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即2R；(2)棱長為a的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即a2R.真題感悟1(xx北京)在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)若S1，S2，S3分別是三棱錐DABC在xOy，yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1答案D解析如圖所示，ABC為三棱錐在坐標平面xOy上的正投影，所以S1222.三棱錐在坐標平面yOz上的正投影與DEF(E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點)全等，所以S22.三棱錐在坐標平面xOz上的正投影與DGH(G，H分別為AB，OC的中點)全等，所以S32.所以S2S3且S1S3.故選D.2(xx江蘇)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等，且，則的值是_答案解析設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，則，所以.押題精練1把邊長為的正方形ABCD沿對角線BD折起，連接AC，得到三棱錐CABD，其正視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形(如圖所示)，則其側視圖的面積為()A. B.C1 D.答案B解析在三棱錐CABD中，C在平面ABD上的投影為BD的中點O，正方形邊長為，AOOC1，側視圖的面積為SAOC11.2在三棱錐ABCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，ABC，ACD，ABD的面積分別為，則三棱錐ABCD的外接球體積為()A. B2 C3 D4答案A解析如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長據(jù)題意解得長方體的體對角線長為，三棱錐外接球的半徑為.三棱錐外接球的體積為V()3.(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1已知正三棱錐VABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖的面積為()A2 B4C6 D8答案C解析如圖，作出正三棱錐VABC的直觀圖，取BC邊的中點D，連接VD，AD，作VOAD于O.結合題意，可知正視圖實際上就是VAD，于是三棱錐的棱長VA4，從俯視圖中可以得到底面邊長為2，側視圖是一個等腰三角形，此三角形的底邊長為2，高為棱錐的高VO.由于VO 2.于是側視圖的面積為226，故選C.2右圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A2 B.C. D.答案D解析多面體ABCDE為四棱錐，利用割補法可得其體積V4，選D.3如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為()A153 B9C306 D18答案B解析由三視圖知幾何體是一個底面為3的正方形，高為的斜四棱柱，所以VSh339.4已知正四棱錐的底面邊長為2a，其側(左)視圖如圖所示當正(主)視圖的面積最大時，該正四棱錐的表面積為()A8 B88C8 D48答案B解析由題意可知該正四棱錐的直觀圖如圖所示，其主視圖與左視圖相同，設棱錐的高為h，則a2h24.故其主視圖的面積為S2ahah2，即當ah時，S最大，此時該正四棱錐的表面積S表(2a)242a288，故選B.5某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為()A. B. C. D.答案A解析三視圖復原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故圓錐的高為h.易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積，即V圓錐r2h12.故選A.6(xx大綱全國)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A. B16 C9 D.答案A解析如圖，設球心為O，半徑為r，則RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，該球的表面積為4r24()2.二、填空題7有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_答案2解析如圖，在直觀圖中，過點A作AEBC，垂足為E，則在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四邊形AECD為矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可還原原圖形如圖在原圖形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，這塊菜地的面積為S(ADBC)AB(11)22.8如圖，側棱長為2的正三棱錐VABC中，AVBBVCCVA40，過A作截面AEF，則截面AEF的周長的最小值為_答案6解析沿著側棱VA把正三棱錐VABC展開在一個平面內，如圖則AA即為截面AEF周長的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6，故答案為6.9如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1EDF的體積為_答案解析111.10已知矩形ABCD的面積為8，當矩形周長最小時，沿對角線AC把ACD折起，則三棱錐DABC的外接球的表面積等于_答案16解析設矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab8，此時2a2b48，當且僅當ab2時等號成立，此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是42216.三、解答題11已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.解由已知可得，該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的投影是矩形中心的四棱錐EABCD.(1)V(86)464.(2)四棱錐EABCD的兩個側面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高h1 4；另兩個側面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h2 5.因此S2(6485)4024.12如圖，在RtABC中，ABBC4，點E在線段AB上過點E作EFBC交AC于點F，將AEF沿EF折起到PEF的位置(點A與P重合)，使得PEB30.(1)求證：EFPB；(2)試問：當點E在何處時，四棱錐PEFCB的側面PEB的面積最大？并求此時四棱錐PEFCB的體積(1)證明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解設BEx，PEy，則xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.當且僅當xy2時，SPEB的面積最大此時，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，則PO平面EFCB.即PO為四棱錐PEFCB的高又POPEsin 3021.SEFCB(24)26.VPBCFE612.