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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版一課標(biāo)要求:1能畫(huà)出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性;2借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2,正切函數(shù)在(/2,/2)上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等);3結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(wx+)的實(shí)際意義;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出y=Asin(wx+)的圖像,觀察參數(shù)A,w,對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。二命題走向近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求,而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),又是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具,因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái),即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為:1題型為1道選擇題(求值或圖象變換),1道解答題(求值或圖像變換);2熱點(diǎn)問(wèn)題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),特別是y=Asin(wx+)的圖象及其變換;三要點(diǎn)精講1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是,的遞增區(qū)間是,3函數(shù)最大值是,最小值是,周期是,頻率是,相位是,初相是;其圖象的對(duì)稱軸是直線,凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑,只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形,請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少。途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0),便得ysin(x)的圖象。途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0),再沿x軸向左(0)或向右(0平移個(gè)單位,便得ysin(x)的圖象。5由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式:給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(x+)的題型,有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)(,0)作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。6對(duì)稱軸與對(duì)稱中心:的對(duì)稱軸為,對(duì)稱中心為;的對(duì)稱軸為,對(duì)稱中心為;對(duì)于和來(lái)說(shuō),對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系,對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。7求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式,要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間;8求三角函數(shù)的周期的常用方法:經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外還有圖像法和定義法。9五點(diǎn)法作y=Asin(x+)的簡(jiǎn)圖:五點(diǎn)取法是設(shè)x=x+,由x取0、2來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值,再描點(diǎn)作圖。四典例解析題型1:三角函數(shù)的圖象例1(xx全國(guó),5)函數(shù)yxcosx的部分圖象是( )解析:因?yàn)楹瘮?shù)yxcosx是奇函數(shù),它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以排除A、C,當(dāng)x(0,)時(shí),yxcosx0。答案為D。例2(xx上海,15)函數(shù)y=x+sin|x|,x,的大致圖象是( )解析:由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|,x,為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù),B為偶函數(shù),C為非奇非偶函數(shù)。點(diǎn)評(píng):利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。題型2:三角函數(shù)圖象的變換例3試述如何由y=sin(2x+)的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。解析:y=sin(2x+)另法答案:(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位,得y=sin2x的圖象;(2)再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得y=sinx的圖象;(3)再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。例4(xx上海春,15)把曲線ycosx+2y1=0先沿x軸向右平移個(gè)單位,再沿y軸向下平移1個(gè)單位,得到的曲線方程是( )A(1y)sinx+2y3=0 B(y1)sinx+2y3=0C(y+1)sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析:將原方程整理為:y=,因?yàn)橐獙⒃€向右、向下分別移動(dòng)個(gè)單位和1個(gè)單位,因此可得y=1為所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.點(diǎn)評(píng):本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對(duì)平移有深刻理解,可直接化為:(y+1)cos(x)+2(y+1)1=0,即得C選項(xiàng)。題型3:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例5已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為。()右圖是(0,)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式;()如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi),電流都能取得最大值和最小值,那么的最小正整數(shù)值是多少? 解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力()由圖可知 A300。設(shè)t1,t2, 則周期T2(t2t1)2()。 150。又當(dāng)t時(shí),I0,即sin(150)0,而, 。故所求的解析式為。()依題意,周期T,即,(>0) 300942,又N*,故最小正整數(shù)943。點(diǎn)評(píng):本題解答的開(kāi)竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言其中,讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。圖例6(1)(xx上海春,18)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,xR)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,求直線y=與函數(shù)f(x)圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。解析:根據(jù)圖象得A=2,T=()=4,=,y=2sin(+),又由圖象可得相位移為,=,=.即y=2sin(x+)。根據(jù)條件=2sin(),=2k+(kZ)或=2k+(kZ),x=4k+(kZ)或x=4k+(kZ)。所有交點(diǎn)坐標(biāo)為(4k+)或(4k+)(kZ)。點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí),考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力。(2)(xx全國(guó)文5,理4)在(0,2)內(nèi),使sinxcosx成立的x取值范圍為( )A(,)(,) B(,)C(,) D(,)(,)解析:C;解法一:作出在(0,2)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象,解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,由圖1可得C答案。圖1 圖2解法二:在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線,由正弦線、余弦線知應(yīng)選C。(如圖2)題型4:三角函數(shù)的定義域、值域例7(1)已知f(x)的定義域?yàn)?,1,求f(cosx)的定義域;(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域;分析:求函數(shù)的定義域:(1)要使0cosx1,(2)要使sin(cosx)0,這里的cosx以它的值充當(dāng)角。解析:(1)0cosx12kx2k+,且x2k(kZ)。所求函數(shù)的定義域?yàn)閤x2k,2k+且x2k,kZ。(2)由sin(cosx)02kcosx2k+(kZ)。又1cosx1,0cosx1。故所求定義域?yàn)閤x(2k,2k+),kZ。點(diǎn)評(píng):求三角函數(shù)的定義域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是圖象,二是三角函數(shù)線。例8(xx京春,18)已知函數(shù)f(x)=,求f(x)的定義域,判斷它的奇偶性,并求其值域。解析:由cos2x0得2xk+,解得x,kZ,所以f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x,kZ,因?yàn)閒(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)=f(x)。所以f(x)是偶函數(shù)。又當(dāng)x(kZ)時(shí),f(x)=。所以f(x)的值域?yàn)閥|1y<或<y2。點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí),考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力。題型5:三角函數(shù)的單調(diào)性例9求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=sin();(2)y=sin(x+)。分析:(1)要將原函數(shù)化為y=sin(x)再求之。(2)可畫(huà)出y=|sin(x+)|的圖象。解:(1)y=sin()=sin()。故由2k2k+。3kx3k+(kZ),為單調(diào)減區(qū)間;由2k+2k+。3k+x3k+(kZ),為單調(diào)增區(qū)間。遞減區(qū)間為3k,3k+,遞增區(qū)間為3k+,3k+(kZ)。(2)y=|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為k+,k+,減區(qū)間為k,k+。例10(xx京皖春文,9)函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是( )A2k,2k(kZ)B2k,2k(kZ)C2k,2k(kZ)D2k,2k(kZ)解析:A;函數(shù)y=2x為增函數(shù),因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間。題型6:三角函數(shù)的奇偶性例11判斷下面函數(shù)的奇偶性:f(x)=lg(sinx+)。分析:判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后再看f(x)與f(x)的關(guān)系。解析:定義域?yàn)镽,又f(x)+f(x)=lg1=0,即f(x)=f(x),f(x)為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng):定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。例12(xx上海春)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題:對(duì)任意的,f(x)都是非奇非偶函數(shù);不存在,使f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);存在,使f(x)是奇函數(shù);對(duì)任意的,f(x)都不是偶函數(shù)。其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_.因?yàn)楫?dāng)=_時(shí),該命題的結(jié)論不成立。答案:,k(kZ);或者,+k(kZ);或者,+k(kZ)解析:當(dāng)=2k,kZ時(shí),f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2(k+1),kZ時(shí)f(x)=sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2k+,kZ時(shí),f(x)=cosx,或當(dāng)=2k,kZ時(shí),f(x)=cosx,f(x)都是偶函數(shù).所以和都是正確的。無(wú)論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。和都是假命題。點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問(wèn)題的能力,注意kZ不能不寫(xiě),否則不給分,本題的答案不惟一,兩個(gè)空全答對(duì)才能得分。題型7:三角函數(shù)的周期性例13求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x為何值時(shí),y有最大值。分析:將原函數(shù)化成y=Asin(x+)+B的形式,即可求解。解析:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4xsin2xcos2x+cos4x)=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。當(dāng)cos4x=1,即x=(kZ)時(shí),ymax=1。例14設(shè)的周期,最大值,(1)求、的值;(2)。解析:(1) , , ,又 的最大值。, ,且 ,由 、解出 a=2 , b=3.(2) , , , , 或 , 即 ( 共線,故舍去) , 或 , 。點(diǎn)評(píng):方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法;在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。題型8:三角函數(shù)的最值例15(xx京春文,2)設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx1的最大值和最小值,則M+m等于( )A B C D2解析:D;因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=cosx的最大值、最小值分別為1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值為和。因此M+m=2。例16(xx京、皖春理,10)函數(shù)y的最大值是( )A1 B1 C1 D1解析:B;。五思維總結(jié)1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法,在中學(xué)階段,對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開(kāi)圖象,很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過(guò)觀察圖象而得到的。2作函數(shù)的圖象時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域。3對(duì)于具有周期性的函數(shù),應(yīng)先求出周期,作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象,就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。4求定義域時(shí),若需先把式子化簡(jiǎn),一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。5求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù),且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。6函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的,要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小。7判斷y=Asin(x+)(0)的單調(diào)區(qū)間,只需求y=Asin(x+)的相反區(qū)間即可,一般常用數(shù)形結(jié)合而求y=Asin(x+)(0單調(diào)區(qū)間時(shí),則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎?,再設(shè)法求之。

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