2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.3不等式的證明（備課資料） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.3不等式的證明（備課資料） 大綱人教版必修一、參考例題例1已知a0，b0，求證：.分析：將不等式左邊通分后，可以看到分子化為()3（）3的形式，結(jié)合右邊的形式，考慮左、右作差或作商后，都易于化簡(jiǎn)，故選用作差比較法或作商比較法.證法一：(作差比較法)0，0，（）20.證法二：(作商比較法)評(píng)述：比較法是把兩個(gè)數(shù)或式的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)或式與零或1作比較，是一種簡(jiǎn)化思想，這種思想除可以獨(dú)立完成某些不等式的證明外，還可以用于對(duì)較復(fù)雜問(wèn)題的分析，探索.另外，還應(yīng)注意通常在不等式兩邊均為正數(shù)時(shí)，才考慮運(yùn)用作商比較法.例2求證：a2b21abab分析：不等式兩邊是關(guān)于a、b的多項(xiàng)式，可考慮運(yùn)用作差比較法.證法一：a2b21（abab）（a1）2（b1）2abab1（a1）2（b1）2（a1）（b1）（a1）2（b1）20a2b21abab.證法二：a2b21（abab）（2a22b222ab2a2b）（a1）2（b1）2（ab）20a2b21abab證法三：令ya2b21（abab）則ya2（b1）ab2b1將y看作a的二次函數(shù)，它的判別式為：（b1）24（b2b1）3（b1）20y0恒成立.即a2b21（abab）0a2b21abab.評(píng)述：作差比較法的關(guān)鍵在于作差后，如何變形來(lái)達(dá)到判斷差值符號(hào)之目的，本例中前兩種方法為典型的配方法，且技巧性較強(qiáng)；第三種證法是通過(guò)研究二次函數(shù)的正負(fù)，來(lái)確定差的符號(hào).這種方法對(duì)于那些較難分解及較難配方的問(wèn)題，往往很奏效.例3已知a>0、b>0，求證：分析：不等式兩邊均為關(guān)于a、b的冪的形式，且都是正數(shù)，故可用作商比較法.證明： (1)當(dāng)ab0時(shí)，則1，0由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，（）1.(2)當(dāng)ba0時(shí)，則01，0由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：（）1綜上可知：對(duì)于a0，b0，總有1所以，成立.評(píng)述：在判斷商值與1的大小時(shí)，經(jīng)常要用到常見(jiàn)基本函數(shù)的性質(zhì).本例用到了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).綜觀例1、例2、例3說(shuō)明，多項(xiàng)式型的不等式證明常用作差比較法，其步驟是作差變形定號(hào)結(jié)論.冪指數(shù)型的單項(xiàng)式常用作商比較法，其步驟是作商變形與1比較結(jié)論.二、參考練習(xí)題1.選擇題(1)下列一組不等式：2a2a，a3a2，3a2a，3a2a，lgalg（a1）中，條件不等式的個(gè)數(shù)為( )A.2 B.3 .4 D.5答案：C(2)xR，那么（1x）（1x）0的一個(gè)充分必要條件是( )A.x1B.x1C.x1D.x1或x1答案：D(3)設(shè)a、b、m都是正數(shù)，且ab，則下列不等式中恒不成立的是( )A.B.C.D. 答案：B(4)若a，b是不等的正數(shù)，則abkakb（ak1bk1）（kN*）的符號(hào)是( )A.恒正B.恒負(fù)C.與k的奇偶有關(guān)D.與a、b的大小有關(guān)答案：B(5)設(shè)x、y、zR，且x2y2z2，則x3y3與z3的大小關(guān)系是( )A.x3y3z3 B.x3y3z3C.x3y3z3 D.無(wú)法確定答案：D2.填空題(1)當(dāng)條件 滿足時(shí)，成立.答案：ab0，ab或ab0，ab(2)使不等式a2b2，1，lg（ab）0，2a2b1都成立的a與b的關(guān)系式為 .答案：ab1且b0(3)設(shè)a0，b0，ab1，試比較大?。?2.答案：3.用比較法證明不等式：若ab0，則aabb（ab）.證明：(作商比較法)ab0 ab0，11(由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知)即aabbab）.4.求證：3（1a2a4）（1aa2）2證明：(作差比較法)3（1a2a4）（1aa2）22（a1）2（a2a1）0故3（1a2a4）（1aa2）2.5.已知：a，b，c是ABC中的三邊，求證：3（abbcca）（abc）24（abbcca）證明：(作差比較法)（abc）23（abbcca）（ab）2（bc）2（ca）20（abc）24（abbcca）a（abc）b（bac）c（cab）0(三角形三邊的關(guān)系定理，若a、b、c為ABC的三邊，則abc，即abc0)3（abbcca）（abc）24（abbcca）.6.證明：acbd證明：(作差比較法)(a2b2）（c2d2）（acbd）2（ad）2（bc）22abcd（adbc）20（a2b2）（c2d2）（acbd）2故acbd.7.設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，試比較c3與a3b3的大小.解：(作商比較法)c是直角三角形的斜邊，a、b是直角邊abc，01，a2b2c2（）3（）3（）2（）21即1，故a3b3c3.8.已知a>0、b>0，nN，求證：（ab）（anbn）2（an1bn1）證明：(作差比較法)（ab）（anbn）2（an1bn1）anbabnan1-bn1（ab）（bnan）當(dāng)ab0時(shí)，bnan0，ab0（ab）（bnan）0；當(dāng)ba0時(shí)，bnan0，ab0（ab）（bnan）0；當(dāng)ab0時(shí)，bnan0，ab0（ab）（bnan）0；綜合、可知：（ab）（anbn）2（an1bn1）三、證明不等式的基本方法比較法比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法.比較法有差值比較法和商值比較法兩種.1.差值比較法的基本思路(1)作差：作差的目的是根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，將證明不等式AB，轉(zhuǎn)化為證明AB0.(2)將差變形：變形的目的在于判斷差的符號(hào)，它與一般的化簡(jiǎn)有所不同.其常用的變形目標(biāo)是將差變形為常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與幾個(gè)平方和的形式，再運(yùn)用實(shí)數(shù)a20這一特征判斷差的符號(hào)；將差變?yōu)閹讉€(gè)因式的積的形式，這樣便可判斷復(fù)雜的差值符號(hào)問(wèn)題，簡(jiǎn)化為判斷若干個(gè)簡(jiǎn)單的因式的符號(hào)問(wèn)題，再運(yùn)用實(shí)數(shù)的符號(hào)運(yùn)算法則得出差的符號(hào).(3)判斷差的正負(fù)：這一環(huán)節(jié)往往被一些學(xué)生“省略”，要知道這是差值比較法的關(guān)鍵環(huán)節(jié).它是運(yùn)用已知條件或基本不等式，判斷變形后的差值符號(hào)，要做到判斷嚴(yán)謹(jǐn)，表述規(guī)范.(4)得出結(jié)論.2.商值比較法的基本思路在不等式兩端均為正值時(shí)，還可考慮商值比較法.它的依據(jù)是：若a0，b0，則它的基本思路是：作商將商變形判斷商與1的大小得出結(jié)論.備課資料一、參考例題例若a,b,c均為正數(shù)，且滿足a+b+c=1,求證：<5.分析:把握題的結(jié)構(gòu),找準(zhǔn)“切入點(diǎn)”，構(gòu)造均值不等式（,a,b同正），是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.例如： =2a+1.證明：a>0 4a+1>0 =2a+1,同理可得：2b+1,2c+1.由不等式基本性質(zhì),三式相加,得+2a+2b+2c+3=5.其中等號(hào)成立的充分必要條件是:此時(shí)有a=b=c=0,因而a+b+c=0,這與a+b+c=1相矛盾.所以不等式中的等號(hào)不成立.故+<5.評(píng)述:此題的證明有兩點(diǎn)值得重視:一是已知條件a+b+c=1在證明中的作用和由此而引發(fā)的思考;另一點(diǎn)是均值不等式的運(yùn)用問(wèn)題.顯然,在證明過(guò)程中,由不等式的性質(zhì),三式相加而產(chǎn)生小于5的結(jié)論.試想如果a+b+c=t(t是一個(gè)正的實(shí)常數(shù)),那么就可以導(dǎo)致小于2t+3的結(jié)論,由此我們可以構(gòu)造不同的題目.另外,在運(yùn)用均值不等式時(shí),根據(jù)需要,我們可以把某一個(gè)正數(shù)或幾個(gè)正數(shù)的和作為一個(gè)數(shù)看待,而另一個(gè)數(shù)可以取“1”,這是靈活運(yùn)用均值不等式的一個(gè)技巧.二、參考練習(xí)題1.選擇題(1)已知x>0,y>0,且x2+y2=1,則x+y的最大值為（ ）A. B.1 C. D.答案:A(2)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值為（ ）A.2B.4C. D. 答案:B(3)已知a>1,algb=,則lg(ab)的最小值是（ ）A.1 B.log210C.log210 D.答案:D(4)下列各函數(shù)中,最小值為2的是（ ）A.x+B.C.logax+logxa(a>0,x>0,且a1,x1)D.3-x+3x (x>0)答案:B(5)若實(shí)數(shù)m,n,x,y滿足m2+n2=a,x2+y2=b(ab),則mx+ny的最大值是（ ）A.B.C.D.答案:B(6)設(shè)a>0,b>0,且ab,則下列各式中最小值是（ ）A.B.C.D.答案:A2.填空題(1)若a>0,b>0,c>0,d>0,則 ， ， ()() .答案:2 6 4(2)若a>1,b>1,則logab+logba .答案:2(3)當(dāng)0x1時(shí),函數(shù)y=x的最大值是 ,最小值是 ;當(dāng)-1x1時(shí),函數(shù)y=x的最大值是 ,最小值是 .答案: 0 -(4)不等式>2成立的充要條件是 .答案:ab>0且ab(5)設(shè)a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,則的最大值是 .答案:3.設(shè)a>0,b>0,c>0,求證:.證明:a>0,b>0,c>0，6-3=3故.4.求證:(a2+b2)+1.證明: (a2+b2)+1=故(a2+b2)+15.若x>0,y>0,x+2y=1,求證:.證明:x>0,y>0,且x+2y=1 故.6.求證:logn(n+1)>log(n+1)(n+2)(n>1,nN)證明:n>1,且nNlogn(n+1)>0,log(n+1)(n+2)>0=log(n+1)(n+2)log(n+1)n<2=2<2=1.故logn(n+1)>log(n+1)(n+2)(n>1,nN)7.已知x,y,z為正數(shù),且xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值.解:x,y,z為正數(shù),且xyz(x+y+z)=1(x+y)(y+z)=xz+y(x+y+z)2=2當(dāng)x=z=1,y=-1時(shí),(x+y)(y+z)取最小值2.備課資料一、參考例題例1已知:a,b,cR,求證abc.分析：某些不等式中的特殊結(jié)構(gòu)及特殊數(shù)字都在暗示著你該使用哪個(gè)基本不等式.如本例中雖然有三個(gè)正數(shù)之和（即a2b2+c2a2+b2c2及a+b+c)及“abc”形式，考慮到式子“a2b2”“b2c2”“c2a2”的特殊性，一般選擇利用不等式a2+b22ab,而不選擇不等式a+b+c3 (a>0,b>0,c>0).證明：a>0,b>0,c>0，a+b+c>0b2c2+c2a22abc2c2a2+a2b22a2bca2b2+b2c22ab2c將以上三式相加，得2(b2c2+c2a2+a2b2)2abc(a+b+c)故abc.評(píng)注：（1）此題最常見(jiàn)的錯(cuò)誤證法是：a>0,b>0,c>0,由均值不等式得b2c2+c2a2+a2b23=3abc>0 a+b+c3 由得：=abc.事實(shí)上，這種證法是把分子、分母都縮小3，各自縮小的倍數(shù)不確定，因此分式的值不一定變小.（2）此題的基本原型是：a2+b2+c2ab+bc+ca,證法類似，具有相同結(jié)構(gòu)的不等式還有：求證：.求證：a2+b22(2a+b)-5.求證：sin2+sin2+1sinsin+sin+sin.等例2若a>0,b>0,求證：loga+logb2log.分析：不等式左邊是log(ab),其真數(shù)為積ab,它與不等式右邊的真數(shù)中的a+b之間可以由均值不等式來(lái)聯(lián)系，可由此展開(kāi)推理.證明：a>0,b>0,ab()20<<1,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：log (ab)log ()2=2log故loga+logb2log.評(píng)述：審題時(shí)，正確、迅速地把握解題的“切入點(diǎn)”是很重要的，而“切入點(diǎn)”的選擇一方面要依靠對(duì)題設(shè)的分析，另一方面來(lái)自解題的“經(jīng)驗(yàn)”，本題中由目標(biāo)不等式發(fā)現(xiàn)含有ab與,故由“經(jīng)驗(yàn)”馬上聯(lián)想不等式,即利用對(duì)數(shù)性質(zhì)即可很快得證.二、參考練習(xí)題1.選擇題（1）已知a,b,c是ABC的三邊,那么方程ax2-(a2-b2+c2)x+c2=0（ ）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.要依a,b,c的具體取值確定答案:C(2)設(shè)a>0,b>0,m>0,n>0,則“a+b>m+n且ab>mn”是“a<m且b>n”的（ ）A.僅充分條件B.僅必要條件C.充要條件D.既不充分也非必要條件答案:B（3）已知a,b,c均大于1，且logaclogbc=4,則下列各式中，一定正確的是（ ）A.acb B.abcC.bcaD.abc答案:B（4）若a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,則（ ）A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c答案:B（5）若0<x<,則下列各式中正確的是（ ）A.logx(1-x)>1B.(1+x)<(1-x) C.(1-x)x<xn(nN*)D.cos(1+x)<cos(1-x)答案:D（6）若實(shí)數(shù)x與y滿足x+y-4=0,則x2+y2的最小值是（ ）A.4 B.6 C.8 D.10答案:C2.已知a,b為不等的正數(shù),且a3-b3=a2-b2,求證:1<a+b<.證明:a>0,且ab由a3-b3=a2-b2得a2+ab+b2=a+ba2+2ab+b2>a+b即(a+b)2>a+ba+b>1a2+b2>2ab，4a2+4ab+4b2>3a2+6ab+3b2.3(a+b)2<4(a+b).3(a+b)<4,即a+b<.故1<a+b<.3.證明下列不等式:(1)a>0,b>0,且ab,求證:(a+b)()>4.(2)a,b,c是互不相等的正數(shù),求證:.證明:(1)a>0,b>0且ab(a+b)( )>22 =4即(a+b)( )>4.(2)a>0,b>0,c>0且a,b,c互不相等>2+2+2-3=3故.4.已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:證明:a>0,b>0,c>0,a+b2,b+c2,c+a2(a+b)(b+c)(c+a)8abc又a,b,c不全等,(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.5.設(shè)x,y,z(0,1)且x+y+z=2,求W=xy+yz+zx的取值范圍.解:x,y,z(0,1)且x+y+z=2(1-x)(1-y)(1-z)>01-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz>0xy+yz+zx>(x+y+z)-1+xyz=1+xyz>1又x+y+z=2(x+y+z)2=44=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)3(xy+yz+zx)3(xy+yz+zx)4,即xy+yz+zx.故1<W6.若a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).證法一：a>0,b>0,c>0,且a+b+c=11+a=1+(1-b-c)=(1-b)+(1-c)2,同理可得:1+b2,1+c2故(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).證法二：a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1(1+a)(1+b)(1+c)=(a+b+a+c)(a+b+b+c)(a+c+c+b)=8(a+b)(b+c)(a+c)=8(1-c)(1-a)(1-b)故(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).三、證明不等式的基本方法綜合法由已知不等式或已被證明的(可作公式使用)重要不等式出發(fā),運(yùn)用不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出欲證不等式的方法叫做綜合法.用綜合法證明不等式的基本思路是:找一個(gè)基本不等式或已知結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn),進(jìn)行不等式的變形,最后推出要證明的結(jié)論.有的不等式其一邊具備某個(gè)定理的條件(或變形后具備),則可以直接由定理推出另一邊,從而完成不等式的證明,可見(jiàn),綜合法證明不等式是“執(zhí)因?qū)Ч?教材中主要講授運(yùn)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理及其推論來(lái)證明不等式,因而要加強(qiáng)對(duì)這個(gè)定理及其推論的理解、學(xué)習(xí)運(yùn)用時(shí),要認(rèn)識(shí)到以下幾個(gè)方面:(1)a2+b22abc和成立的條件總是不同的.前者只要求a,b都是實(shí)數(shù),而后者則要求a,b都是正數(shù);至于a3+b3+c33abc和,兩者都要求a,b,c為正數(shù).(2)這些公式都是帶有等號(hào)的不等式,因此要注意等號(hào)取到的條件,定理中“當(dāng)且僅當(dāng)a=b(或a=b=c)時(shí),取“=”號(hào)的含義是指:一方面是當(dāng)a=b(或a=b=c)時(shí),取到“=”號(hào);另一方面,取到“=”號(hào)時(shí),必有a=b(或a=b=c).(3)這些公式有許多重要的等價(jià)的寫(xiě)法,如(a,bR+),可以寫(xiě)成:a+b2,ab()2.學(xué)習(xí)時(shí),不僅要記住原來(lái)的形式,還要逐步熟練掌握它的變形形式.對(duì)哪些經(jīng)過(guò)“改頭換面”的形式也要一眼識(shí)破,如:,(a,bR+);x2y2等.(4)由定理引出兩個(gè)非常重要的概念:“算術(shù)平均數(shù)”“幾何平均數(shù)”,于是這兩個(gè)推論可以敘述為“兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)”.這一結(jié)論有著廣泛的應(yīng)用.如:證明不等式,求函數(shù)最值,判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等.在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意到“算術(shù)平均數(shù)”是以“和”為其本質(zhì)特征,而“幾何平均數(shù)”是以“積”為其本質(zhì)特征,這一點(diǎn)在解題中很重要.總之,綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?即從已知條件或已知真命題出發(fā),一步步推導(dǎo)出所要證明的不等式成立.備課資料一、參考例題例1已知a,b,c均為正數(shù),求證:.分析:從所證的不等式來(lái)看,形式比較復(fù)雜,目標(biāo)不等式中含有根式,直接論證比較困難,不妨用分析法從探索結(jié)論成立的充分條件來(lái)入手.證明:a,b,c均為正數(shù)a+b+c>0欲證,只要證,只要證3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,即證(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，上述不等式顯然恒成立,故原不等式成立.評(píng)述:帶有根式、分式或有條件的不等式證明,常用分析法證明,提醒注意分析法證明敘述過(guò)程(1)語(yǔ)言式:“要證,只需證,即證”;(2)箭頭式:“”或“”.分析法的本質(zhì)在于探索結(jié)論成立的原因,采用分析法證明不等式時(shí),要注意有意識(shí)地發(fā)現(xiàn)能足以說(shuō)明結(jié)論成立的關(guān)鍵不等式.例2已知函數(shù)f(x)=tanx,x(0,),若x1,x2(0, ),且x1x2,求證:f(x1)+f(x2)>f().分析:這是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題,我們可以采用分析法與綜合法并用的解題策略,也可以單用綜合法.證法一：(分析法與綜合法并用)f(x1)+f(x2)=tanx1+tanx2=因?yàn)閤1,x2(0,)所以sin(x1+x2)>0因此只需證cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2)即證cos(x1-x2)<1x1,x2(0, )且x1x2x1-x2(-,)且x1-x20cos(x1-x2)<1成立.故原不等式成立.證法二：(用綜合法)tanx1+tanx2x1,x2(0, ),且x1x2,x1+x2(0,),x1-x2(-,)且x1-x202sin(x1+x2)>0,cosx1,cosx2>0,且0<cos(x1-x2)<1從而有0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2)由此得:tanx1+tanx2>(tanx1+tanx2)>tan即f(x1)+f(x2)>f().評(píng)述:運(yùn)用分析法與綜合法聯(lián)合解題時(shí),要特別注意“分析”那部分的敘述,千萬(wàn)不能與綜合法混為一談.也就是說(shuō)要注意分析環(huán)節(jié)與綜合環(huán)節(jié)的區(qū)分,另一方面,要習(xí)慣運(yùn)用分析法探求解題途徑,再用綜法合完成命題的論證.例3若0<x<,求證:y-y2<.分析:此題可先嘗試運(yùn)用比較法,但會(huì)發(fā)現(xiàn)困難較大,因此采用分析法證明目標(biāo)不等式.證明:0<x<，>.欲證>y-y2成立,只需證>y-y2成立.y>0,所以只需證: >1-y，即證1-y2<1，即y2>0.y>0,y2>0成立.故若0<x<,則有y-y2<.評(píng)述:本例的證明中首先利用題設(shè)中x,y的關(guān)系將證明>y-y2的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明>y-y2,不等式的兩邊全是關(guān)于y的代數(shù)式較易證明,轉(zhuǎn)化的依據(jù)是不等式的傳遞性,可是這時(shí)>y-y2只是>y-y2的充分條件而不是充要條件,這也是使用分析法證題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題,其倒推過(guò)程中的每一步是上一步的充分條件即可.二、參考練習(xí)題1.選擇題(1)若logab為整數(shù),且loga>logalogba2,那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）>>a2 logab+logba=0 0<a<b<1 ab-1=0A.1 B.2 C.3 D.4答案:A(2)設(shè)x1和x2是方程x2+px+4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則（ ）A.|x1|>2且|x2|>2B.|x1+x2|>4C.|x1+x2|<4D.|x1|=4且|x2|=1答案:B (3)若x>0,y>0,且a成立,則a的最小值是（ ）A.B.C.2D.2答案:B(4)已知a>0,b>0,則下列各式中成立的是（ ）A.cos2lga+sin2lgb<lg(a+b)B.cos2lga+sin2lgb>lg(a+b)C.=a+bD. >a+b答案:A(6)設(shè)a>0,b>0,且ab-a-b1,則有（ ）A.a+b2(+1)B.a+b+1C.a+b(+1)2D.a+b2(+1)答案:A2.用分析法證明:3(1+a2+a4)(1+a+a2)2.證明:要證3(1+a2+a4)(1+a+a2)2只需證3(1+a2)2-a2(1+a+a2)2即證3(1+a2+a)(1+a2-a)(1+a+a2)21+a+a2=(a+)2+>0只需證3(1+a2-a)1+a+a2展開(kāi)得2-4a+2a20即2(1-a)20成立.故3(1+a2+a4)(1+a+a2)2成立.3.用分析法證明:ab+cd.證明:當(dāng)ab+cd<0時(shí),ab+cd<成立.當(dāng)ab+cd0時(shí),欲證ab+cd只需證(ab+cd)2()2展開(kāi)得a2b2+2abcd+c2d2(a2+c2)(b2+d2)即a2b2+2abcd+c2d2a2b2+a2d2+b2c2+c2d2即2abcda2d2+b2c2只需證a2d2+b2c2-2abcd0即(ad-bc)20因?yàn)?ad-bc)20成立.所以當(dāng)ab+cd0時(shí),ab+cd成立.綜合可知:ab+cd成立.4.用分析法證明下列不等式:(1)求證:(2)求證:(x4)證明:(1)欲證只需證展開(kāi)得12+2>16+2即2>4+2只需證(2)2>(4+2)2即4>這顯然成立故成立.(2)欲證(x4)只需證(x4)即證(x4)展開(kāi)得2x-5+2即只需證2<2即證x2-5x+4<x2-5x+6即4<6這顯然成立故(x4)成立.5.若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c2>ab；（2）c-<a<c+.證明:（1）ab()2<c2，ab<c2.（2）欲證c-<a<c+只需證-<a-c<即|a-c|<即a2-2ac+c2<c2-ab只需證a(a+b)<2aca>0,只要證a+b<2c(已知)故原不等式成立.6.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,證明:(1)如果|<2,|<2,那么2|<4+b且|b|<4.(2)如果2|<4+b且|b|<4,那么|<2,|<2.證明:依題設(shè)及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)得:+=-a,=b.則有:(1)(2)等價(jià)于證明|<2,|<22|+|<4+,且|<4.三、證明不等式的基本方法分析法分析法是從被證不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的條件,把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題,如果能夠肯定這些條件都已具備,那么可以判定原不等式成立.對(duì)于某些不等式(如含有根式、分式或兩端較為復(fù)雜)有時(shí)由題設(shè)條件很難展開(kāi)推理,這時(shí)可考慮運(yùn)用分析法.用分析法證題時(shí),要注意其語(yǔ)言“特色”.如用分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是:欲證命題B為真只需證命題B1為真,從而又只需證命題B2為真,從而又只需證明A為真今已知A為真,故B為真.可見(jiàn),分析法總是執(zhí)果索因,步步尋求上一步成立的充分條件.寫(xiě)成簡(jiǎn)要的形式就是:BB1B2BnA.例如要證a2+b22ab,我們通過(guò)分析知道,a2+b22ab成立的某一充分條件是a2-2ab+b20,即(a-b)20,因此只要證明(a-b)20就行了.由于(a-b)20是真命題,所以a2+b22ab成立.分析法的證明過(guò)程表現(xiàn)為一連串的“要證,只要證”,最后推至已知條件或真命題.備課資料一、參考例題例已知a,b,c,dR,求證:ac+bd分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然成立.(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)，即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，即證2abcdb2c2+a2d2.即證0(bc-ad)2.因?yàn)閍,b,c,dR,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立.分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd.故命題得證.分析三:用比較法證法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd.分析四:用放縮法證法四:為了避免討論,由ac+bd|ac+bd|,可以試證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).由證法一可知上式成立,從而有了證法四.分析五:用三角代換法證法五:不妨設(shè) (r1,r2均為變量).則ac+bd=r1r2coscos+r1r2sinsin=r1r2cos（-）又|r1r2|=|r1|r2|=及r1r2cos（-）|r1r2|所以ac+bd.分析六:用換元法證法六:(1)當(dāng)(a2+b2)(c2+d2)=0時(shí),原不等式顯然成立.(2)當(dāng)(a2+b2)(c2+d2)0時(shí),欲證原不等式成立,只需證|1.即證|1,注意到()2+()2=1與()2+()2=1和cos2x+sin2x=1的結(jié)構(gòu)特征很類同,不妨設(shè)=cos, =cos,則=sin, =sin,故|=|coscos+sinsin|=|cos（-）|1所以ac+bd.分析七:用構(gòu)造函數(shù)法(判別式法)證法七:待證不等式的結(jié)構(gòu)特征與一元二次方程的判別式=b2-4ac0的結(jié)構(gòu)特征很類似,由此不妨構(gòu)造函數(shù),f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=(a2x2+2acx+c2)+(b2x2+2bdx+d2)=(ax+c)2+(bx+d)2顯然不論x取任何實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)的值均為非負(fù)數(shù),因此,(1)當(dāng)a2+b20時(shí),方程f(x)=0的判別式0,即2(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)0,即(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)故ac+bd|ac+bd| (2)當(dāng)a2+b2=0時(shí),原不等式顯然成立.評(píng)述:證明不等式就是證明所給不等式在給定條件下恒成立.由于不等式的形式是多種多樣的,因此,不等式的證明方法也可謂是千姿百態(tài).針對(duì)不等式證明,要具體問(wèn)題具體分析,靈活選用證明方法,提高代數(shù)變形,推理論證能力,一題多解,有助于我們對(duì)辯證唯物主義觀點(diǎn)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).二、參考練習(xí)題1.填空題(1)已知x2+y2=1,則3x+4y的最大值是 .答案:5(2)設(shè)x=,則x+y的最小值是 .答案:-1(3)若a5,則a+的取值范圍是 .答案:2,(4)A=1+(nN)的大小關(guān)系是 .答案:A(5)實(shí)數(shù)=x-y,則x的取值范圍是 .答案:(-,0)4,+(6)在使用數(shù)學(xué)歸納法證明:(nN*)時(shí),在假設(shè)后當(dāng)n=k+1時(shí),增加的項(xiàng)是 .答案:.2.已知x>0,y>0,且x+y>2,求證:中至少有一個(gè)小于2.證明:(反證法):假設(shè)均不小于2,即2,2,1+x2y,1+y2x.將兩式相加得:x+y2,與已知x+y>2矛盾,故中至少有一個(gè)小于2.3.設(shè)a,b,cR,證明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)0.證明:目標(biāo)不等式左邊整理成關(guān)于a的二次式且令f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc.判別式=(c+3b)2-4(c2+3b2+3bc)=-3(b+c)20當(dāng)=0時(shí),即b+c=0,等號(hào)成立.故a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc0成立.4.已知1x2+y22,求證:x2+xy+y23.證明:設(shè)x=kcos,y=ksin,1k22x2+xy+y2=k2(cos2+cossin+sin2)=k2(1+sin2)sin2-1,1k2k2(1+sin2)k2故x2+xy+y23.5.設(shè)an= (nN*),求證:對(duì)所有n(nN*)都成立.證明:=nan>1+2+3+n=故命題對(duì)nN*成立.6.求證:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左=原不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.綜合(1)(2),對(duì)于任意nN*,原不等式成立.