2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.3.1 兩條直線相交、平行與重合的條件教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.3.1 兩條直線相交、平行與重合的條件教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 教材利用方程組解的個(gè)數(shù)來討論兩條直線相交、平行與重合的條件．值得注意的是在教學(xué)中，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自己歸納出兩條直線相交、平行和重合的條件． 三維目標(biāo)　　　　　 1．掌握兩條直線相交、平行與重合的條件，提高學(xué)生歸納、類比的能力． 2．能夠判斷兩直線的位置關(guān)系，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：兩條直線的位置關(guān)系、平行條件的應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：歸納兩直線平行、相交與重合的條件． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.在平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合．當(dāng)兩條直線無交點(diǎn)時(shí)，它們平行；當(dāng)兩條直線有唯一交點(diǎn)時(shí)，它們相交；當(dāng)兩條直線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，它們重合．本節(jié)利用直線方程來討論兩條直線的位置關(guān)系，教師引出課題． 設(shè)計(jì)2.在立體幾何中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，在本章所討論的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合．那么如何利用方程來討論兩直線的位置關(guān)系呢？教師引出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0上的一點(diǎn)，則x0與y0滿足什么條件？ (2)已知兩條直線的方程為l1：A2x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.試判斷直線l1與l2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并確定它們位置關(guān)系. (3)歸納兩條直線相交、平行與重合的條件. 討論結(jié)果： (1)Ax0＋By0＋C＝0. (2)解方程組， ①B2－②B1，得(A1B2－A2B1)x＋B2C1－B1C2＝0. 當(dāng)A1B2－A2B1≠0時(shí)，得x＝； 因此，當(dāng)A1B2－A2B1≠0時(shí)，方程組有唯一一組解．此時(shí)直線l1與l2相交，且有唯一交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解． 當(dāng)A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0時(shí)，方程組無解．兩直線無交點(diǎn)，此時(shí)l1∥l2. 當(dāng)A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2＝0或A2C1－A1C2＝0時(shí)，方程組有無數(shù)組，即此時(shí)，兩直線l1與l2有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即l1與l2重合． (3)l1與l2相交A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)． l1與l2平行 l1與l2重合 (1)兩直線平行，它們的傾斜角和在y軸上的截距相等嗎？ 討論結(jié)果： (1)畫圖分析，得它們的傾斜角相等，在y軸上的截距不相等．如下圖所示； (2)平行； (3)l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2； (4)l1與l2重合k1＝k2，且b1＝b2. 思路1 例1已知直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求證：當(dāng)C1≠C2時(shí)，l1與l2平行． 證明：因?yàn)锳B－BA＝0，所以l1與l2平行或重合．又因?yàn)锽C2－BC1＝B(C2－C1)：當(dāng)B≠0時(shí)，已知C1≠C2，所以BC2－BC1≠0，因此兩直線平行；當(dāng)B＝0時(shí)，由直線方程的定義，知A≠0，于是兩條直線的方程變?yōu)閤＝－，x＝－，這是兩條與x軸垂直的直線，所以它們平行或重合．又由于C1≠C2，所以它們是平行的直線． 點(diǎn)評(píng)：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋D＝0(C≠D)． 變式訓(xùn)練 1．過點(diǎn)A(1,2)，且平行于直線2x－3y＋5＝0的直線方程是______． 解析：設(shè)所求直線方程為2x－3y＋m＝0(m≠5)，則21－32＋m＝0，解得m＝4，即所求直線方程為2x－3y＋4＝0. 答案：2x－3y＋4＝0 2．求與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和是的直線l的方程． 解：設(shè)直線l的方程為2x＋3y＋m＝0(m≠5)． 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－. 則－－＝，解得m＝－1. 即直線l的方程為2x＋3y－1＝0. 3．求通過下列各點(diǎn)且與已知直線平行的直線方程： (1)(－1,2)，y＝x＋1； (2)(1，－4)，2x＋3y＋5＝0. 解：(1)因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，所以可設(shè)所求直線為y＝x＋b. 由于所求直線過點(diǎn)(－1,2)，代入方程，得b＝.因此所求方程為y＝x＋，即x－2y＋5＝0. (2)設(shè)所求的直線方程為2x＋3y＋D＝0.由于所求直線過點(diǎn)(1，－4)，代入方程， 得D＝10.因此，所求直線方程為2x＋3y＋10＝0. 思路2 例2判斷下列各對(duì)直線是否平行，并說明理由． (1)l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x＋5； (2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝3x； (3)l1：x＝5，l2：x＝8. 解：(1)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k1＝3，b1＝2，k2＝3，b2＝5. 因?yàn)閗1＝k2，b1≠b2，所以l1∥l2. (2)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k1＝2，k2＝3，b1＝1，b2＝0. 因?yàn)閗1≠k2，所以l1與l2不平行． (3)由方程可知l1⊥x軸，l2⊥x軸，且兩直線在x軸上截距不相等，所以l1∥l2. 點(diǎn)評(píng)：判斷兩直線是否平行時(shí)，要對(duì)直線的斜率討論，特別是當(dāng)斜率都不存在時(shí)，即直線x＝a與直線x＝b(a≠b)平行． 變式訓(xùn)練 1．直線l1過A(m,1)，B(－1，m)，直線l2過點(diǎn)P(1,2)，Q(－5,0)，且l1∥l2，則m＝______. 解析：k1＝，k2＝＝，由于l1∥l2，則＝，解得m＝. 答案： 2．已知直線l1：x＋y－1＝0，直線l2：kx－2y＋3＝0，且l1∥l2，則k＝______. 答案：－2 例3已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？ 解：對(duì)于平行及重合的判斷，可以通過斜率與截距來分析．而對(duì)于l1與l2相交的情況，只能通過解方程組來尋求規(guī)律，當(dāng)m＝0時(shí)，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，此時(shí)l1與l2相交． 當(dāng)m≠0時(shí)，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m. (1)若l1∥l2，則，解得m＝－1. (2)若l1與l2重合，則＝＝，解得m＝3. 故m＝－1時(shí)l1∥l2；m＝3時(shí)l1與l2重合． (3)由l1的方程得x＝－my－6，代入l2的方程得(m－2)(－my－6)＋3y＋2m＝0，即(m2－2m－3)y＝12－4m，顯然，m2－2m－3＝0時(shí)無解，只有當(dāng)m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3時(shí)，方程才有解，且是唯一解，故只有當(dāng)m≠－1且m≠3時(shí)兩直線相交． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩直線相交、平行與重合的條件，要正確解決本題需要有足夠的耐心和具有分類討論的能力． 變式訓(xùn)練 設(shè)三條直線l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若這三條直線交于一點(diǎn)，求k的值． 解：解由l1、l2的方程組成的方程組得 所以l1與l2的交點(diǎn)是P(，)． 又因?yàn)閘1、l2、l3交于一點(diǎn)，即P點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線l3的方程，－(k＋1)－5＝0. 解得k＝－7或－2(舍去)． 所以k＝－7.  1．已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，它們的傾斜角及斜率依次分別為α1，α2，k1，k2則 (1)a＝__________時(shí)，α1＝150；(2)a＝__________時(shí)，l2⊥x軸；(3)a＝__________時(shí)，l1∥l2；(4)a＝__________時(shí)，l1、l2重合． 答案：(1)　(2)2　(3)3　(4)－1 2．求下列兩條直線的交點(diǎn)： l1：x＋2y＋1＝0，l2：－x＋2y＋2＝0. 解：解方程組得所以這兩條直線的交點(diǎn)是M(，－)． 3．已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明． 分析：先作圖猜想，然后給出證明．由斜率相等得兩組直線分別平行，四邊形ABCD是平行四邊形． 證明：AB邊所在直線的斜率kAB＝－， CD邊所在直線的斜率kCD＝－， BC邊所在直線的斜率kBC＝， DA邊所在直線的斜率kDA＝. 因?yàn)閗AB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此，四邊形ABCD是平行四邊形． 4．判定下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，則求出交點(diǎn)． (1)l1：7x＋2y－1＝0，l2：14x＋4y－2＝0. (2)l1：(－)x＋y＝7，l2：x＋(＋)y－6＝0. (3)l1：3x＋5y－1＝0，l2：4x＋3y＝5. 答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)． 5．求過點(diǎn)A(0，－4)且與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線方程． 解法一：∵直線2x＋3y＋5＝0的斜率為－，∴所求直線斜率為－. 又直線過點(diǎn)A(0，－4)， 由直線方程的點(diǎn)斜式易得所求直線方程為2x＋3y＋12＝0. 解法二：設(shè)與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線l的方程為2x＋3y＋m＝0， ∵l經(jīng)過點(diǎn)A(0，－4)，∴20＋3(－4)＋m＝0，解之，得m＝12. ∴所求直線方程為2x＋3y＋12＝0. 請(qǐng)你探究一下三條直線l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋y＋a＝0，l3：ax＋y＋1＝0構(gòu)成三角形的條件是什么？ 方法一：任兩條直線都相交，則≠，≠，故a≠1.又三條直線不交于同一點(diǎn)，故其中兩條直線的交點(diǎn)(－1－a,1)不在直線ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0，∴a≠－2，a≠1. 綜合上述結(jié)果，以上三條直線構(gòu)成三角形的條件是a≠1，a≠－2. 方法二：因?yàn)槿龡l直線能構(gòu)成三角形，所以三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，即任意兩條直線都不平行，且三線不共點(diǎn)．可以把不能構(gòu)成三角形的情況排除掉． 若三條直線交于同一點(diǎn)，則其中兩條直線的交點(diǎn)(－1－a,1)在直線ax＋y＋1＝0上，∴a(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2. 若l1∥l2，則有－＝－1，a＝1；若l2∥l3，則有－1＝－a，a＝1；若l1∥l3，則有－＝－a，a＝1.所以若三條直線構(gòu)成三角形，則需a≠1，a≠－2. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1．兩條直線平行、相交與重合的條件； 2．求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，解決有關(guān)平行問題． 本節(jié)練習(xí)B　1,2題． 本節(jié)課從知識(shí)內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點(diǎn)看，就需要培養(yǎng)學(xué)生如何利用直線方程來討論其特點(diǎn)，得到直線交點(diǎn)，以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線在平面內(nèi)的相對(duì)位置關(guān)系．在教學(xué)過程中應(yīng)該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線位置特點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是直線方程Ax＋By＋C＝0中A、B、C就表示了直線的本質(zhì)屬性．還要注重研究方法的探討，為將學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，對(duì)于曲線交點(diǎn)的研究打下基礎(chǔ)． 著名數(shù)學(xué)家陳省身 (公元1911年～2004年12月3日) 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，沃爾夫獎(jiǎng)與菲爾茲獎(jiǎng)是公認(rèn)的能與諾貝爾獎(jiǎng)相媲美的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)．菲爾茲獎(jiǎng)主要獎(jiǎng)勵(lì)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中做出突出貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家，而沃爾夫獎(jiǎng)主要獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)上做出開創(chuàng)性工作、具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家．到1990年為止，世界上僅有24位數(shù)學(xué)家獲得過沃爾夫獎(jiǎng)，而陳省身教授就是其中之一．他由于在整體微分幾何上的杰出工作獲得1984年度沃爾夫獎(jiǎng)，成為唯一獲此殊榮的華人數(shù)學(xué)家． 陳省身先生1911年生，浙江嘉興人.1930年畢業(yè)于南開大學(xué)數(shù)學(xué)系，受教于姜立夫教授.1934年獲清華大學(xué)碩士學(xué)位．同年入德國(guó)漢堡大學(xué)隨布拉施克教授研究幾何，僅用了1年零3個(gè)月便在1936年獲博士學(xué)位后，以“法國(guó)巴黎索邦中國(guó)基金會(huì)博士后研究員”身份到巴黎大學(xué)從事研究工作，師從國(guó)際數(shù)學(xué)大師E嘉當(dāng).1937～1943年，任清華大學(xué)和西南聯(lián)合大學(xué)教授.1943～1946年在美國(guó)普林斯頓高級(jí)研究所任研究員．在微分幾何中高斯－波內(nèi)公式的研究和拓?fù)鋵W(xué)方面取得重要進(jìn)展.1946～1948年籌建中央數(shù)學(xué)研究所并任代理所長(zhǎng).1949～1960年，任美國(guó)芝加哥大學(xué)教授，1960～1979年任加州大學(xué)伯克利分校教授，1981～1984年任美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)研究所首任所長(zhǎng)，后任名譽(yù)所長(zhǎng)．他是美國(guó)科學(xué)院院士，法國(guó)、意大利、俄羅斯等國(guó)家科學(xué)院外籍院士．他對(duì)整體微分幾何的深遠(yuǎn)貢獻(xiàn)，影響了整個(gè)數(shù)學(xué)界，被公認(rèn)為“20世紀(jì)偉大的幾何學(xué)家”，先后獲美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)隆⒁陨形譅柗颡?jiǎng)、中國(guó)國(guó)際科技合作獎(jiǎng)及首屆邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)等多項(xiàng)榮譽(yù)． 陳省身對(duì)祖國(guó)心懷赤誠(chéng)，1972年后多次回到祖國(guó)訪問講學(xué)，慨言“為祖國(guó)工作，是我崇高的榮譽(yù)”.xx年定居南開大學(xué)，被天津市人民政府授予永久居留權(quán)．他盛贊新中國(guó)欣欣向榮，矚望祖國(guó)早日統(tǒng)一，誠(chéng)摯地向黨和國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人就發(fā)展科學(xué)事業(yè)、培養(yǎng)和引進(jìn)人才等建言獻(xiàn)策，受到高度重視.1984年應(yīng)聘出任南開數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，創(chuàng)辦立足國(guó)內(nèi)、面向世界培養(yǎng)中國(guó)高級(jí)數(shù)學(xué)人才基地．努力推進(jìn)中國(guó)科學(xué)家與美國(guó)及其他各國(guó)的學(xué)術(shù)交流，促成國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，并被推選為大會(huì)名譽(yù)主席．他殫精竭慮地為把中國(guó)建成數(shù)學(xué)大國(guó)、科技強(qiáng)國(guó)貢獻(xiàn)力量，多次受到鄧小平、江澤民等黨和國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人接見，高度稱贊他對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展所作的杰出貢獻(xiàn)． 除了在數(shù)學(xué)上做出的巨大成就，陳省身教授還培養(yǎng)了一大批世界級(jí)的科學(xué)家，其中包括諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者楊振寧，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者丘成桐，中國(guó)國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)獲得者吳文俊等．