2019-2020年高中數(shù)學 6.3不等式的證明（第二課時） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學 6.3不等式的證明（第二課時） 大綱人教版必修教學目標(一）教學知識點1.公式法證明不等式.2.兩正數(shù)和為定值或積為定值求最值.(二）能力訓練要求1.掌握用公式法證明不等式.2.理解并掌握用兩正數(shù)和為定值或積為定值求最值.(三）德育滲透目標利用公式法證明不等式，既培養(yǎng)了學生觀察應(yīng)變的邏輯思維能力，又培養(yǎng)了學生實事求是的科學態(tài)度，進一步加強對學生辯證唯物主義觀念的教育.教學重點公式法證明不等式.1.a,bR,a2+b22ab,當且僅當a=b時，取等號.2.a>0,b>0,當且僅當a=b時取等號.(1）若ab為定值P,則當a=b時，a+b有最小值2.(2)若a+b為定值S,則當a=b時，ab有最大值S2.3.利用求最大值最小值是解決最值問題常用的方法，在具體解題過程中應(yīng)注意三點：(1)兩數(shù)均為正數(shù)；(2)兩正數(shù)之和或之積為定值；(3)在兩正數(shù)的取值范圍內(nèi)，兩正數(shù)可以相等.教學難點1.對一些條件不等式，條件的合理利用.2.求最值時，找和為定值或積為定值，如何湊和或積為定值.教學方法讀、議、練、講單元教學法教具準備幻燈片兩張第一張：記作6.3.2 A公式法證明不等式一、基本公式(1)若a,bR,則a2+b22ab,當且僅當a=b時取“=”號.(2)若a,bR,則,當且僅當a=b時取“=”號.若ab為定值P，則當a=b時，a+b有最小值2.若a+b為定值S,則當a=b時，ab有最大值S2.二、基本公式的等價形式及推廣(1）ab (a,bR),當且僅當a=b時取“=”號.(2)ab()2(a>0,b>0),當且僅當a=b時取“=”號.(3)2(ab>0),當且僅當a=b時取“=”號.第二張：記作6.3.2 B基本公式及其推廣的應(yīng)用：例1已知a>0,b>0,且a+b=1,求證：(1)4;(2)a2+b2;(3)8;(4)a3+b3;(5);(6) (1+)(1+)9; (7)(1-)(1-)9;(8)(a+)2+(b+)2;(9)(a+)2+(b+)2.教學過程.課題導入今天，我和同學們來共同探索“公式法”證明不等式.這節(jié)課并不難，而涉及的題目變形靈活，只要我們理解并掌握了“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(均值不等式）”，這一重要定理，在此基礎(chǔ)上，靈活利用它的推廣及其變形(幾個重要的不等式），就能學會并把握好“公式法”證明不等式這一重要方法.相信同學們能獲得成功.(打出幻燈片6.3.2 A，引導學生閱讀基本公式及基本公式的變形及推廣）我們要重點掌握下面的基本公式及變形：（1）若a,bR,a2+b22ab,當且僅當a=b時取“=”號.（2）若a>0,b>0,當且僅當a=b時取“=”號.若ab為定值P,則當a=b時，a+b有最小值2.若a+b為定值S,則當a=b時，ab有最大值S2.(3)a,bR,則ab,當且僅當a=b時取“=”號.(4)a>0,b>0,則ab()2,當且僅當a=b時取“=”號.(通過閱讀幻燈片6.3.2 A，疏理出重點知識，引導同學們完成下面例1的證明過程）.講授新課(打出幻燈片6.3.2 B，引導學生閱讀例1）例1已知a>0,b>0,且a+b=1,求證：(1）4;(2)a2+b2;(3)+8;(4)a3+b3;(5);(6)(1+)(1+)9;(7)(1-)(1-)9;(8)(a+)2+(b+)2;(9)(a+)2+(b+)2.師解題時，正確、迅速地把握解題的“切入點”是很重要的，而“切入點”的選擇一方面要依靠對題設(shè)的分析，另一方面來自解題的“經(jīng)驗”，本題中由目標不等式發(fā)現(xiàn)含有形如ab,a+b,a2+b2等式子，故由“經(jīng)驗”馬上聯(lián)想公式a2+b22ab(a,bR)及 (a,bR+)，即可很快得證.在不等式證明中，兩個正數(shù)a,b的和為1(即a+b=1),作為條件出現(xiàn)在題設(shè)，這時用好這個“1”常常成為解題的關(guān)鍵.生(1)a>0,b>0，.(2)a>0,b>0，且a+b=1a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2()2=1-=故a2+b2.(3)a>0,b>0，且a+b=1故8.(4)a>0,b>0，且a+b=1.a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=1-3ab1-3()2=或a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=1-3ab1-3()2=故a3+b3.(3)a>0,b>0，且a+b=1()2=a+b+2=1+21+(a+b)=2故.(6)a>0,b>0，且a+b=1(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9故(1+)(1+)9.(7)a>0,b>0，且a+b=1故(1-)(1-)9.(8)a>0,b>0，且a+b=1(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+(a+b)2-2ab+4+故(a+)2+(b+)2.(9)a>0,b>0，且a+b=1(a+)2+(b+)2=a2+b2+2(+)+故(a+)2+(b+)2.注：以上各題中均當且僅當a=b=時取等號.師生共析運用“公式法”證明不等式的難點在于如何通過對所證命題進行變形，使其反應(yīng)出某種形式的“和”與“積”之間的關(guān)系(不妨簡記為“和”不小于“積”）.那么，我們在解題時，就可以充分利用這一特征，來選擇公式及其等價形式求得證明.例2(必要時此題可打在幻燈片上）小強家住在農(nóng)村，十月一日，國慶節(jié)放假回家，正趕上父親收割莊稼，由于今年大豐收糧食太多，自家的谷倉已全部裝滿，還剩下很多.這時爸爸想出了一個主意，決定用一個長方形木板，借助兩面墻，在西屋的墻角處圍了一個直三棱柱的谷倉，木板可立，可橫.小強心想，這么多的糧食，怎樣圍才能裝最多的糧食呢？經(jīng)過測量和運算，小強得到了滿意的方案，向父親提供了建議.請你敘述小強的作法.如果換成任意的兩面墻，如何處理？(引導學生認真審題，尋求數(shù)量關(guān)系，找準“切入點”，求得解答）師顯然，圍成直三棱柱的底面為直角三角形，若兩直角邊分別為x和y,則x2+y2是長方形木板的長或?qū)?定值）的平方.這樣，本例的問題主要體現(xiàn)在均值不等式的應(yīng)用上.生小強用直尺測出木板的長為a,寬為b，依題可知：a>b>0，且兩墻夾角(即二面角）為90.(1)a作底邊,設(shè)S底為底面直角三角形的面積,兩直角邊一個是x,一個是y,則有:S底=xy,V1=(xy)b,且x2+y2=a2x2+y22xyxyV1,當且僅當x=y=a時取“=”號.(2)b作底邊，同(1)可得V2,當且僅當x=y=b時取“=”號.又a>b>0 ab>0,a-b>0V1-V2=-=ab(a-b)>0V1>V2,即>故把長方形木板的長邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形時，容積最大.若兩面夾角(即二面角)換成時，解答如下：設(shè)用矩形木板長a作直三棱柱的側(cè)棱，寬b作為底面的一條邊，底面三角形的另兩邊的長分別是x,y,體積為V1，則有：xy=,x2+y2=b2+2xyb2+整理得：V1ab2cot,當x=y時取“=”號.設(shè)矩形木板的寬b作側(cè)棱，則當x=y時，V2=a2bcot.a>b>0,ab>0,a-b>0a2b>ab2 即V2>V1故把矩形木板的長邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰三角形(頂角為)時，容積最大，且最大值Vmax=a2bcot.師生共析均值不等式在實際問題中的應(yīng)用相當廣泛，解題過程為：(1）建模(即函數(shù)關(guān)系式），(2）構(gòu)造定值(構(gòu)造“積”或“和”為定值），(3）驗證“=”號成立.課堂練習1.已知a>0,b>0,a+b4,求證：1.分析：公式：若a>0,b>0,則 (當且僅當a=b時取等號）的應(yīng)用.證明：a>0,b>0,a+b42a+b42,即故22=1即1.2.已知a,b,c為不等的正數(shù)，且abc=1,求證：.分析：根據(jù)已知條件，對abc=1作適當變形，即,然后利用公式 (a>0,b>0)得證：證明：a,b,c是不等的正數(shù)，且abc=13.求證：>2.分析：考慮分子、分母的關(guān)系可知：x2+5=(x2+4)+1,所以用基本公式 (a>0,b>0)即可得證.證明：xR x20x2+5>0,x2+4>0時有x2+3=0，這不可能，上述均值不等式中等號不成立.故>2.4.設(shè)a>b>c,求證：.分析：我們通常在不等式兩邊均為正值時，才能考慮公式ab()2的應(yīng)用.證明：a>b>ca-b>0,b-c>0,a-c>0.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學習了用“公式法(均值不等式）”證明不等式，其核心是靈活變形.關(guān)鍵在于認清公式(均值不等式）的結(jié)構(gòu)特點和取“=”條件，要在證明不等式的具體問題中尋求運用公式(均值不等式）的適當形式和具體方式，自覺提高解決遇到不同題型的應(yīng)變能力.課后作業(yè)(一）練習1.已知：lg(x2+1)+lg(y2+4)=lg8+lgx+lgy,求x,y的值.分析：應(yīng)用對數(shù)的運算法則將原方程轉(zhuǎn)化為：lg+lg=0.解：x2+12x>0(依題知x>0,y>0)1即lg0同理可知：lg0對于兩非負數(shù)，當且僅當它們都為零時，其和才為零，即lg=0,lg =0.所以,x2+1=2x,y2+4=4y.故x=1,y=2.2.已知a>0,b>0,求證：a+b+.分析：本題采用公式法.題中含有形如：a+b,ab等式子，多次運用公式,(a>0,b>0)即可得證.直接使用公式時，要從式子的形式和條件兩個方面進行觀察.證明：a>0,b>0 a+b>0,ab>0.a+b+ 2故a+b+.(二）1.預習內(nèi)容：課本P14“綜合法”證明不等式.2.預習提綱：(1）什么是綜合法？它的基本思想是什么？(2）它適合證明哪類不等式？板書設(shè)計6.3.2 不等式的證明(二)一、基本公式 例題若a>0,b>0,則 課堂練習 二、基本公式的變形 課時小結(jié)若a>0,b>0,則ab()2. 課后作業(yè)