2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線橢圓教案 蘇教版選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線橢圓教案 蘇教版選修1-1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2. 掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；3. 了解運(yùn)用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。B級(jí)要求【自學(xué)評(píng)價(jià)】1.橢圓的定義與方程橢圓定義：2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的方程：，焦點(diǎn)在y軸上的方程：3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：方程圖像焦點(diǎn)范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)長(zhǎng)短軸準(zhǔn)線離心率 4平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以AB為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙成立的 （填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。5已知橢圓過點(diǎn)(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。6橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓中心到其準(zhǔn)線的距離為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。7如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 。【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 本題主要考查過圓外一點(diǎn)圓的切線知識(shí)、橢圓的離心率，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。【精題演練】 例1. 求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過。（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)。（3）橢圓的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為。 說明根據(jù)已知條件求橢圓方程時(shí)，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸（即長(zhǎng)軸所在坐標(biāo)軸），從而確定所求方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如無法確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，要分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況討論；（2）當(dāng)根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后，要設(shè)法建立基本量， ，的方程組，然后求出基本量。例2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求的值。 說明1橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運(yùn)用三角形的特殊關(guān)系。2有關(guān)橢圓焦點(diǎn)的問題要注意利用橢圓的定義。例 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 橢圓上存在一點(diǎn)P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。點(diǎn)撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用，常能簡(jiǎn)捷地使問題獲解。例 4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。（1）求圓C的方程；（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 說明 1橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動(dòng)向。2有關(guān)橢圓焦點(diǎn)的問題要注意利用橢圓的定義。例5. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B過F、B、C作P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）（1）當(dāng)mn>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；（2）直線AB與P能否相切？證明你的結(jié)論 說明 1此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍2第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與P相切，則有AB2AFAC，易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾【要點(diǎn)整合】1. 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸。2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、等之間的關(guān)系并應(yīng)用于解題。3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于（或)的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體化簡(jiǎn)；對(duì)于中點(diǎn)弦及對(duì)稱問題運(yùn)用“點(diǎn)差法”可減少運(yùn)算量。4.橢圓的兩個(gè)定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動(dòng)點(diǎn)到兩頂點(diǎn)的距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一定直線距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第二定義。 5友情提醒：（1）運(yùn)用橢圓定義時(shí)注意橢圓第一定義的限制條件（兩定點(diǎn)間的距離小于定長(zhǎng)）。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，要防止遺漏。（3）討論直線與橢圓相交時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗(yàn)橢圓是否與直線相交。橢圓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2. 掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；3. 了解運(yùn)用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。B級(jí)要求【自學(xué)評(píng)價(jià)】1.橢圓的定義與方程橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長(zhǎng)2a（2a|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（e（0，1）的點(diǎn)的軌跡。2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的方程：，焦點(diǎn)在y軸上的方程：（ab0）。3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：方程圖像焦點(diǎn) 范圍對(duì)稱性橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點(diǎn)都對(duì)稱頂點(diǎn) 長(zhǎng)短軸長(zhǎng)軸: A1A2 長(zhǎng)軸長(zhǎng) 短軸：B1B2短軸長(zhǎng) 準(zhǔn)線離心率 4平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以AB為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙成立的必要不充分條件（填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。5已知橢圓過點(diǎn)(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或 。6橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓中心到其準(zhǔn)線的距離為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。7如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是0k1。【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 本題主要考查過圓外一點(diǎn)圓的切線知識(shí)、橢圓的離心率，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。【解】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得。答案：【精題演練】 1. 求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過。（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)。（3）橢圓的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為。解：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為綜上述橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。（2）橢圓的焦點(diǎn)為 ， 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由題意，得 ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3）由題意，設(shè)AB的直線方程為，根據(jù)題意，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為說明根據(jù)已知條件求橢圓方程時(shí)，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸（即長(zhǎng)軸所在坐標(biāo)軸），從而確定所求方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如無法確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，要分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況討論；（2）當(dāng)根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后，要設(shè)法建立基本量， ，的方程組，然后求出基本量。 2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求的值。解：法一：當(dāng)PF2F1900時(shí)，由題意，得，又|PF1|>|PF2| ，當(dāng)F1PF2900時(shí)，同理求得|PF1|4，|PF2|2法二：當(dāng)PF2F1900時(shí)， F2坐標(biāo)為（，0）， P（） |PF2|， |PF1|2-|PF2|當(dāng)F1PF2900，設(shè)P()，由題意，得 P（），又|PF1|>|PF2| P（），4，2 說明1橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運(yùn)用三角形的特殊關(guān)系。2有關(guān)橢圓焦點(diǎn)的問題要注意利用橢圓的定義。 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 橢圓上存在一點(diǎn)P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。解：設(shè)P()，則F1（-，0），F(xiàn)2（，0），又PF1PF2-1 ，又點(diǎn)撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用，常能簡(jiǎn)捷地使問題獲解。 4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。（1）求圓C的方程；（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（1）由已知可設(shè)圓心坐標(biāo)為，得，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為（2）設(shè)，由已知得，則， 解之得： 說明 1橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動(dòng)向。2有關(guān)橢圓焦點(diǎn)的問題要注意利用橢圓的定義。5. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B過F、B、C作P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）（1）當(dāng)mn>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；（2）直線AB與P能否相切？證明你的結(jié)論 解：（1）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，聯(lián)立方程組，解出，即，即（1b）（bc）>0， b>c 從而即有，又， （2）直線AB與P不能相切由，如果直線AB與P相切，則1解出c0或2，與0c1矛盾，所以直線AB與P不能相切 說明 1此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍2第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與P相切，則有AB2AFAC，易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾【要點(diǎn)整合】1. 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸。2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、等之間的關(guān)系并應(yīng)用于解題。3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于（或)的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體化簡(jiǎn)；對(duì)于中點(diǎn)弦及對(duì)稱問題運(yùn)用“點(diǎn)差法”可減少運(yùn)算量。4.橢圓的兩個(gè)定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動(dòng)點(diǎn)到兩頂點(diǎn)的距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一定直線距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第二定義。 5友情提醒：（1）運(yùn)用橢圓定義時(shí)注意橢圓第一定義的限制條件（兩定點(diǎn)間的距離小于定長(zhǎng)）。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，要防止遺漏。（3）討論直線與橢圓相交時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗(yàn)橢圓是否與直線相交。【能力提升】1. 已知橢圓上有一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是5，則它到左準(zhǔn)線的距離為4。2若橢圓的離心率，則值或。 3（書本P28習(xí)題3改編）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過作橢圓的弦AB，若的周長(zhǎng)為16，橢圓的離心率為，則橢圓的方程為。 4橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是。5若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為。6以橢圓的左焦點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準(zhǔn)線交于不同的兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是。7（書本P32練習(xí)5改編）已知橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程。解：由題意設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為，半短軸為，半焦距為 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或8 橢圓的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。 解：由題意得，設(shè)P到左焦點(diǎn)F1的距離為，P到右焦點(diǎn)F2的距離為，P()-(-),|PF1|同理得|PF2|又F1PF2為鈍角cosF1PF209（書本P297改編）已知定點(diǎn)A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為的圓，P為圓上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點(diǎn)M，當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡記為曲線C建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線。PABMlOxy解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），則A(1,0)，B(1,0).設(shè)M(),由題意，得|MP|MA|, |BP|， |MB|+|MA|曲線C是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓， 其方程為10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1(a>1)，點(diǎn)D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長(zhǎng)、短半軸的橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=x+b與橢圓弧相切，與OA交于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部，且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的方程解：設(shè)橢圓的方程為. 由消去得. 由于直線l與橢圓相切，故，化簡(jiǎn)得. （2）由題意知A（，0），B（，1），C（0，1），于是OB的中點(diǎn)為. 因?yàn)閘將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點(diǎn)，即，亦即. 由解得，故直線l的方程為 （3）由（2）知.因?yàn)閳AM與線段EA相切，所以可設(shè)其方程為.因?yàn)閳AM在矩形及其內(nèi)部，所以 圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即. 代入得即 所以圓M面積最大時(shí)，這時(shí)，.故圓M面積最大時(shí)的方程為