2019-2020年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4.doc

2019-2020年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4教學分析學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關系任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型，它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關系了因此，與學習其他基本初等函數(shù)一樣，學習任意角的三角函數(shù)，關鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質，并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實際問題本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們在討論三角函數(shù)的問題時，對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等，都可以從圓的性質(特別是對稱性)中得到啟發(fā)三角函數(shù)的研究中，數(shù)形結合思想起著非常重要的作用利用信息技術，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系，并在角的變化過程中，將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來，所以信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)的本質；激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情，培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境三維目標1通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號2正確利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來3能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題重點難點教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義教學難點：用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù)；三角函數(shù)符號的掌握；利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示課時安排2課時第1課時導入新課我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為180，那么sin200的值還是三角形中200的對邊與斜邊的比值嗎？類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義？由此展開新課另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯的選擇推進新課任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)的定義角的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點的距離為r(r>0)，則角的三角函數(shù)定義為：三角函數(shù)定義定義域sinRcosRtan|k，kZ2各象限角的三角函數(shù)值的符號如下圖所示圖1三角函數(shù)正值口訣：全正，正弦，兩切，余弦教師提示：前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充，并且學習了弧度制，知道了角的集合與實數(shù)集是一一對應的，在此基礎上，我們來研究任意角的三角函數(shù)教師在直角三角形所在的平面上建立適當?shù)淖鴺讼?，畫出角的終邊；學生給出相應點的坐標，并用坐標表示銳角三角函數(shù)如圖2.設銳角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限在的終邊上任取一點P(x，y)，它與原點的距離r>0.過P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長度為x，線段MP的長度為y.圖2根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義，我們有sin，cos，tan.怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢？教師先讓學生們相互討論，并讓他們動手畫出圖形，看看從圖形中是否能找出某種關系來然后提問學生，由學生回答教師的問題，教師再引導學生選幾個點，計算一下對應的比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質來證明最后可以發(fā)現(xiàn)，由相似三角形的知識，對于確定的角，這三個比值不會隨點P在的終邊上的位置的改變而改變也就是說，對于確定的角，比值和都惟一確定，故正弦、余弦都是角的函數(shù)當k(kZ)時，角的終邊在y軸上，故有x0，這時tan無意義除此之外，對于確定的角(k，kZ)，比值也是惟一確定的，故正切也是角的函數(shù)sin、cos、tan分別叫做角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù)(trigonometric function)由定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各象限的符號，如圖3所示圖3與學生一起討論得到以上結論后，教師可以引導學生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么，對應關系有什么特點，函數(shù)值是什么特別注意既表示一個角，又是一個實數(shù)(弧度數(shù))：“它的終邊與單位圓交于點P(x，y)”包含兩個對應關系從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)(2)sin不是sin與的乘積，而是一個比值；三角函數(shù)的記號是一個整體，離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的研究函數(shù)我們首先要考慮它的定義域，教師要注意引導學生從定義出發(fā)，利用坐標平面內(nèi)點的坐標的特征得定義域對于正弦函數(shù)sin，因為y恒有意義，即取任意實數(shù)，y恒有意義，也就是說sin恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)tan，因為x0時，無意義，即tan無意義，又當且僅當角的終邊落在縱軸上時，才有x0，所以當?shù)慕K邊不在縱軸上時，恒有意義，即tan恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是k(kZ)(由學生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinRcosRtan|k，kZ三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號，當點P在第一、二象限時，縱坐標y>0，點P在第三、四象限時，縱坐標y<0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示)；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的；正切、余切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負的從而完成上面結論的探究思路1例1已知角的終邊經(jīng)過點P(2，3)，求的正弦、余弦和正切值圖4解：因為x2，y3，所以r.所以sin，cos，tan.點評：本例是已知角終邊上一點的坐標，求角的三角函數(shù)值問題可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上，再由定義得解.變式訓練求的正弦、余弦和正切值解：在平面直角坐標系中，作AOB，如圖5.圖5易知AOB的終邊與單位圓的交點坐標為(，)所以sin，cos，tan.例2見課本本節(jié)例2.變式訓練1求證：當且僅當下列不等式組成立時，角為第三象限角證明：我們證明如果式都成立，那么為第三象限角因為sin<0成立，所以角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；又因為式tan>0成立，所以角的終邊可能位于第一或第三象限因為式都成立，所以角的終邊只能位于第三象限于是角為第三象限角反過來請同學們自己證明點評：本例的目的是認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號，其條件以一個不等式出現(xiàn)，在教學時要讓學生把問題的條件、結論弄清楚，然后再給出證明這一問題的解決可以訓練學生的數(shù)學語言表達能力.2.已知costan<0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案：C思路2例1已知角的終邊在直線y3x上，則10sin3sec_.活動：要讓學生獨立思考這一題目，本題雖然是個填空題，看似簡單但內(nèi)含分類討論思想，教師可以找兩個學生來板演這個例題對解答思路正確的學生給以鼓勵，對思路受阻的學生教師要引導其思路的正確性，并適時地點撥學生：假如是個大的計算題應該怎樣組織步驟？解析：設角終邊上任一點為P(k，3k)(k0)，則xk，y3k，r|k|.(1)當k>0時，rk，是第四象限角，sin，sec，10sin3sec10()3330.(2)當k<0時，rk，為第二象限角，sin，sec，10sin3sec103()330.綜合以上兩種情況均有10sin3sec0.答案：0點評：本題的解題關鍵是要清楚當k>0時，P(k，3k)是第四象限內(nèi)的點，角的終邊在第四象限；當k<0時，P(k，3k)是第二象限內(nèi)的點，角的終邊在第二象限內(nèi)，這與角的終邊在y3x上是一致的例2求函數(shù)ytan的定義域活動：教師讓學生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點，并讓學生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求，根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍對于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時要結合三角函數(shù)的定義進行求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時，正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略，教師提醒學生應注意這種情況同時，函數(shù)的定義域是一個集合，所以結論要用集合形式表示解：要使函數(shù)ytan有意義，則sin0且k(kZ)由正弦函數(shù)的定義知道，sin0就是角的終邊與單位圓的交點的縱坐標非負角的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負半軸上，即2k2k(kZ)函數(shù)的定義域是|2k<2k，或2k<(2k1)，kZ點評：本題的關鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義，必須sin0，且tan有意義，由此推導出的取值范圍就是函數(shù)的定義域.變式訓練求下列函數(shù)的定義域：(1)ysinxcosx；(2)ysinxtanx；(3)y.解：(1)使sinx、cosx有意義的xR，ysinxcosx的定義域為R.(2)要使函數(shù)有意義，必須使sinx與tanx有意義有函數(shù)ysinxtanx的定義域為x|xk，kZ(3)要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，且tanx0.有(kZ)函數(shù)y的定義域為x|x，kZ.課本本節(jié)練習16.本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義，并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實質上是銳角三角函數(shù)的擴展，是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺伺c距離、坐標與坐標的比，記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶，至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到課本習題1.21,5,6.關于三角函數(shù)定義法，總的來說就兩種：“單位圓定義法”與“終邊定義法”這兩種方法本質上是一致的正因為這樣，各種數(shù)學出版物中，兩種定義方法都有采用在學習本節(jié)的過程中可以與初中學習的三角函數(shù)定義進行類比、學習理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學好本節(jié)內(nèi)容的關鍵，也是學好本章內(nèi)容的關鍵在教學中，教師應該充分調動學生獨立思考和總結的能力，以鞏固對知識的理解和掌握教師在教學中，始終引導學生緊扣三角函數(shù)的定義，善于利用數(shù)形結合在利用三角函數(shù)定義進行求值時，應特別強調要注意橫向聯(lián)系，即不僅僅能求出該值，還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系，找出規(guī)律來求解一、關于余切、正割、余割函數(shù)設是一個任意大小的角，角的終邊與單位圓的交點P(x，y)，那么除角的正弦、余弦、正切外，還可定義角的余切、正割、余割，它們分別是cot，sec，csc.角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割統(tǒng)稱為角的三角函數(shù)二、備用習題1角的終邊經(jīng)過點P(2a,3a)(a0)，則cos的值是()A. B. C D2已知tancos>0，且<0，則在()A第二象限 B第三象限C第四象限 D第三、四象限3下列各三角函數(shù)值中，負值的個數(shù)是()sin(660)tan160cos(740)sin(420)cos570A1 B2 C3 D44._.5確定下列各式的符號：(1)sin105cos230；(2)cos6tan6；(3)tan191cos191.6已知tanx>0，且sinxcosx>0，則角x是第_象限角參考答案：1.D2.A3.A4.5解：(1)105、230分別是第二、三象限角，sin105>0，cos230<0.sin105cos230<0.(2)<6<2，6是第四象限角cos6>0，tan6<0.cos6tan6<0.(3)tan191>0，cos191<0，tan191cos191>0.6一解析：由tanx>0，知x為第一或第三象限角，而當x是第三象限角時，sinx與cosx都取負值，這與sinxcosx>0矛盾，故知角x是第一象限角第2課時導入新課思路1.(情境導入)同學們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車，大家是否想過大觀覽車在轉動過程中，座椅離地面的高度隨著轉動角度的變化而變化，二者之間有怎樣的相依關系呢？由此導入新課思路2.(復習導入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域，這些內(nèi)容的研究，都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的，這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內(nèi)容時，是經(jīng)常、反復運用的，請同學們務必在理解的基礎上要加強記憶由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法幾何表示法我們知道，直角坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關因此自然產(chǎn)生一個想法是以坐標軸的方向來規(guī)定有向線段的方向，以使它們的取值與點的坐標聯(lián)系起來推進新課活動：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，即三角函數(shù)線2有向線段，有向線段的數(shù)量及單位圓來表示三角函數(shù)教師指導學生在平面直角坐標系內(nèi)作出單位圓，設任意角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(x，y)，x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0)，過P作x軸的垂線，垂足為M；過A作單位圓的切線，這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行)，設它與角的終邊或其反向延長線交于點T.教師點撥學生觀察線段的方向與點P的坐標顯然，線段OM的長度為|x|，線段MP的長度為|y|，它們都只能取非負值當角的終邊不在坐標軸上時，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段：如果x>0，OM與x軸同向，規(guī)定此時OM具有正值x；如果x<0，OM與x軸正向相反(即反向)，規(guī)定此時OM具有負值x，所以不論哪一種情況，都有OMx.如果y>0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時MP具有正值y；如果y<0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時MP具有負值y，所以不論哪一種情況，都有MPy.引導學生觀察OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有sinyMP，cosxOM.這兩條與單位圓有關的有向線段MP、OM分別叫做角的正弦線、余弦線類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識，就有tanAT.這條與單位圓有關的有向線段AT，叫做角的正切線(如圖6、7)當角終邊在y軸的右側時(圖6)，在角終邊上取點T(1，y)，則tanyAT(A為單位圓與x軸正半軸的交點)；當角終邊在y軸的左側時(圖7)，在角終邊的反向延長線上取點T(1，y)，由于它關于原點的對稱點Q(1，y)在角終邊上，故有tanyAT. 圖6 圖7即總有tanAT.因此，我們把有向線段AT叫做角的正切線有向線段MP、OM、AT都稱為三角函數(shù)線當角的終邊在不同象限時，其三角函數(shù)線如圖8所示圖8師生共同討論探究，最后一致得出以下幾點：(1)當角的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在(2)當角的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時，一定要先作單位圓(4)線段有兩個端點，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點字母，再寫終點字母，不能顛倒；或者說，含原點的線段，以原點為起點，不含原點的線段，以此線段與x軸的公共點為起點(5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致，三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線例1如圖9，、的終邊分別與單位圓交于點P、Q，過A(1,0)作切線AT，交射線OP于點T，交射線OQ的反向延長線于點T，點P、Q在x軸上的射影分別為點M、N，則sin_，cos_，tan_，sin_，cos_，tan_.圖9活動：根據(jù)三角函數(shù)線的定義，可知sinMP，cosOM，tanAT，sinNQ，cosON，tanAT.答案：MPOMATNQONAT點評：掌握三角函數(shù)線的作法，注意用有向線段表示三角函數(shù)線時，字母的書寫順序不能隨意顛倒.變式訓練利用三角函數(shù)線證明|sin|cos|1.解：當?shù)慕K邊落在坐標軸上時，正弦(或余弦)線變成一個點，而余弦(或正弦)線的長等于r，所以|sin|cos|1.當角終邊落在四個象限時，利用三角形兩邊之和大于第三邊有|sin|cos|OM|MP|>1，|sin|cos|1.例2證明恒等式2.活動：引導學生總結證明恒等式的方法與步驟，特別地，在證明三角恒等式時，一般地是從較繁的一邊推向較簡的一邊從方向上來推證三角恒等式主要有三種推證方法，即從左邊推向右邊；從右邊推向左邊；左、右兩邊同推向第三個式子證法一：設M(x，y)為角終邊上異于原點的一點，|OM|r，由三角函數(shù)定義，有sin，cos，sec，csc.原式左邊2右邊原等式成立證法二：左邊2右邊左邊右邊原等式成立點評：根據(jù)本題的特點，被證式的左邊比較復雜，故可由左邊證向右邊.變式訓練求證：.證明：設M(x，y)為終邊上異于原點的一點，|OM|r，由三角函數(shù)定義，有sin，cos，tan，sec.左邊，右邊，左邊右邊，故原等式成立.課本本節(jié)練習7、8.本節(jié)課我們學習了有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段，其之所以特殊，一是其與坐標軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關，這些線段分別都可以表示相應三角函數(shù)的值，所以說它們是三角函數(shù)的一種幾何表示三角函數(shù)線是利用數(shù)形結合的思想解決有關問題的重要工具，利用三角函數(shù)線可以解或證明三角不等式，求函數(shù)的定義域以及比較大小，三角函數(shù)線也是后面將要學習的三角函數(shù)的圖象的作圖工具利用單位圓和三角函數(shù)線證明：若為銳角，則(1)sincos>1；(2)sin2cos21.證明：如圖10，記角與單位圓的交點為P，過P作PMx軸于M，則sinMP，cosOM.圖10 (1)在RtOMP中，MPOM>OP，即sincos>1.(2)在RtOMP中，MP2OM2OP2，即sin2cos21.對于三角函數(shù)線，開始時學生可能不是很理解，教師應該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用，讓學生通過圖形來感知、了解三角函數(shù)線的定義在學生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后，教師應引導學生會利用三角函數(shù)線來發(fā)現(xiàn)、總結、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質，以便為了以后更好地學習三角函數(shù)的圖象和性質打下良好的基礎教師要讓學生對三角函數(shù)線了解即可，要讓學生利用任意角的三角函數(shù)線來感知對應的三角函數(shù)圖象的變化趨勢，不要再向深處挖掘，因為三角函數(shù)線能解決的問題都可以用三角函數(shù)的圖象來解決教師在教學中要搞好師生互動，讓學生自己動腦、動手，多啟發(fā)學生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，讓學生學會獨立思考和歸納總結知識的能力一、一個三角不等式的證明已知(0，)，求證：sin<<tan.證明：如圖11，設銳角的終邊交單位圓于點P，過單位圓與x軸正半軸的交點A作圓的切線交OP于點T，過點P作PMx軸于點M，則MPsin，ATtan，的長為，連結PA.圖11SOPA<S扇形OPA<SOAT，|OA|MP|<|OA|2<|OA|AT|.|MP|<<|AT|，則MP<<AT，即sin<<tan.二、備用習題1若<<，則sin，cos，tan的大小關系是()Atan<cos<sin Bsin<tan<cosCcos<tan<sin Dcos<sin<tan2若0<<2，則使sin<和cos>同時成立的的取值范圍是()A(，) B(0，)C(，2) D(0，)(，2)3在(0,2)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是_4設0<<<，求證：>sinsin.5當0,2)時，試比較sin與cos的大小參考答案：1.D2.D3.(，)4證明：如圖12，設單位圓與角、的終邊分別交于P1、P2，作P1M1x軸于M1，作P2M2x軸于M2，作P2CP1M于C，連結P1P2，圖12則sinM1P1，sinM2P2，>P1P2>CP1M1P1M1CM1P1M2P2sinsin，即>sinsin.5解：如圖13.(1)當0<時，設角的終邊與單位圓交于點P1(x1，y1)，此時x1>y1，而siny1，圖13cosx1，cos>sin.(2)當時，x1y1，此時sincos.(3)當<時，設角的終邊與單位圓交于點P2(x2，y2)，此時y2>x2，而siny2，cosx2，sin>cos.(4)當<時，sin0，cos<0，sin>cos.(5)當<<時，設角的終邊與單位圓交于點P3(x3，y3)，此時x3<y3<0，而siny3，cosx3，sin>cos.(6)當時，有sincos.(7)當<時，設角的終邊與單位圓交于點P4(x4，y4)，此時y4<x4<0，而siny4，cosx4，sin<cos.(8)當<<2時，cos0，sin<0，cos>sin.綜上所述，當(，)時，sin>cos；當或時，sincos；當0，)(，2)時，sin<cos.