2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4教學(xué)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫(huà)的銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系任意角的三角函數(shù)是刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了因此,與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問(wèn)題時(shí),對(duì)于研究哪些問(wèn)題以及用什么方法研究這些問(wèn)題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對(duì)稱(chēng)性)中得到啟發(fā)三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過(guò)程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來(lái),所以信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì);激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作,實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境三維目標(biāo)1通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)2正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái),即用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)3能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義教學(xué)難點(diǎn):用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)三角函數(shù);三角函數(shù)符號(hào)的掌握;利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)導(dǎo)入新課我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180,那么sin200的值還是三角形中200的對(duì)邊與斜邊的比值嗎?類(lèi)比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開(kāi)新課另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯(cuò)的選擇推進(jìn)新課任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)的定義角的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r(r0),則角的三角函數(shù)定義為:三角函數(shù)定義定義域sinRcosRtan|k,kZ2各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示圖1三角函數(shù)正值口訣:全正,正弦,兩切,余弦教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù)教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫(huà)出角的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)如圖2.設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限在的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離r0.過(guò)P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長(zhǎng)度為x,線段MP的長(zhǎng)度為y.圖2根據(jù)初中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義,我們有sin,cos,tan.怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢?教師先讓學(xué)生們相互討論,并讓他們動(dòng)手畫(huà)出圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來(lái)然后提問(wèn)學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問(wèn)題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變也就是說(shuō),對(duì)于確定的角,比值和都惟一確定,故正弦、余弦都是角的函數(shù)當(dāng)k(kZ)時(shí),角的終邊在y軸上,故有x0,這時(shí)tan無(wú)意義除此之外,對(duì)于確定的角(k,kZ),比值也是惟一確定的,故正切也是角的函數(shù)sin、cos、tan分別叫做角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)以上三種函數(shù)都稱(chēng)為三角函數(shù)(trigonometric function)由定義可知,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào),如圖3所示圖3與學(xué)生一起討論得到以上結(jié)論后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn),函數(shù)值是什么特別注意既表示一個(gè)角,又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù)):“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù)(2)sin不是sin與的乘積,而是一個(gè)比值;三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體,離開(kāi)自變量的“sin”“tan”等是沒(méi)有意義的研究函數(shù)我們首先要考慮它的定義域,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域?qū)τ谡液瘮?shù)sin,因?yàn)閥恒有意義,即取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說(shuō)sin恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類(lèi)似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tan,因?yàn)閤0時(shí),無(wú)意義,即tan無(wú)意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角的終邊落在縱軸上時(shí),才有x0,所以當(dāng)?shù)慕K邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tan恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是k(kZ)(由學(xué)生填寫(xiě)下表)三角函數(shù)定義域sinRcosRtan|k,kZ三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切、余切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的從而完成上面結(jié)論的探究思路1例1已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),求的正弦、余弦和正切值圖4解:因?yàn)閤2,y3,所以r.所以sin,cos,tan.點(diǎn)評(píng):本例是已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角的三角函數(shù)值問(wèn)題可以先根據(jù)三角形相似將這一問(wèn)題化歸到單位圓上,再由定義得解.變式訓(xùn)練求的正弦、余弦和正切值解:在平面直角坐標(biāo)系中,作AOB,如圖5.圖5易知AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,)所以sin,cos,tan.例2見(jiàn)課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練1求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角為第三象限角證明:我們證明如果式都成立,那么為第三象限角因?yàn)閟in0成立,所以角的終邊可能位于第一或第三象限因?yàn)槭蕉汲闪?,所以角的終邊只能位于第三象限于是角為第三象限角反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明點(diǎn)評(píng):本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào),其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn),在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問(wèn)題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明這一問(wèn)題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.2.已知costan0時(shí),rk,是第四象限角,sin,sec,10sin3sec10()3330.(2)當(dāng)k0時(shí),P(k,3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn),角的終邊在第四象限;當(dāng)k0時(shí),P(k,3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn),角的終邊在第二象限內(nèi),這與角的終邊在y3x上是一致的例2求函數(shù)ytan的定義域活動(dòng):教師讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),并讓學(xué)生歸納出一些常見(jiàn)函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來(lái)求自變量的范圍對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí),正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學(xué)生應(yīng)注意這種情況同時(shí),函數(shù)的定義域是一個(gè)集合,所以結(jié)論要用集合形式表示解:要使函數(shù)ytan有意義,則sin0且k(kZ)由正弦函數(shù)的定義知道,sin0就是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù)角的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上,即2k2k(kZ)函數(shù)的定義域是|2k2k,或2k0,且0,且sinxcosx0,則角x是第_象限角參考答案:1.D2.A3.A4.5解:(1)105、230分別是第二、三象限角,sin1050,cos2300.sin105cos2300.(2)60,tan60.cos6tan60,cos1910.6一解析:由tanx0,知x為第一或第三象限角,而當(dāng)x是第三象限角時(shí),sinx與cosx都取負(fù)值,這與sinxcosx0矛盾,故知角x是第一象限角第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些旅游景地或者在公園中見(jiàn)過(guò)大觀覽車(chē),大家是否想過(guò)大觀覽車(chē)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢?由此導(dǎo)入新課思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內(nèi)容的研究,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的,這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí),是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶由三角函數(shù)的定義我們知道,對(duì)于角的各種三角函數(shù)我們都是用比值來(lái)表示的,或者說(shuō)是用數(shù)來(lái)表示的,今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法幾何表示法我們知道,直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)推進(jìn)新課活動(dòng):1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示,即三角函數(shù)線2有向線段,有向線段的數(shù)量及單位圓來(lái)表示三角函數(shù)教師指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓,設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過(guò)P作x軸的垂線,垂足為M;過(guò)A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設(shè)它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.教師點(diǎn)撥學(xué)生觀察線段的方向與點(diǎn)P的坐標(biāo)顯然,線段OM的長(zhǎng)度為|x|,線段MP的長(zhǎng)度為|y|,它們都只能取非負(fù)值當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段:如果x0,OM與x軸同向,規(guī)定此時(shí)OM具有正值x;如果x0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時(shí)MP具有正值y;如果y1,|sin|cos|1.例2證明恒等式2.活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明恒等式的方法與步驟,特別地,在證明三角恒等式時(shí),一般地是從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊從方向上來(lái)推證三角恒等式主要有三種推證方法,即從左邊推向右邊;從右邊推向左邊;左、右兩邊同推向第三個(gè)式子證法一:設(shè)M(x,y)為角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn),|OM|r,由三角函數(shù)定義,有sin,cos,sec,csc.原式左邊2右邊原等式成立證法二:左邊2右邊左邊右邊原等式成立點(diǎn)評(píng):根據(jù)本題的特點(diǎn),被證式的左邊比較復(fù)雜,故可由左邊證向右邊.變式訓(xùn)練求證:.證明:設(shè)M(x,y)為終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn),|OM|r,由三角函數(shù)定義,有sin,cos,tan,sec.左邊,右邊,左邊右邊,故原等式成立.課本本節(jié)練習(xí)7、8.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義,這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊,一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合),二是其與單位圓有關(guān),這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值,所以說(shuō)它們是三角函數(shù)的一種幾何表示三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具,利用三角函數(shù)線可以解或證明三角不等式,求函數(shù)的定義域以及比較大小,三角函數(shù)線也是后面將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象的作圖工具利用單位圓和三角函數(shù)線證明:若為銳角,則(1)sincos1;(2)sin2cos21.證明:如圖10,記角與單位圓的交點(diǎn)為P,過(guò)P作PMx軸于M,則sinMP,cosOM.圖10 (1)在RtOMP中,MPOMOP,即sincos1.(2)在RtOMP中,MP2OM2OP2,即sin2cos21.對(duì)于三角函數(shù)線,開(kāi)始時(shí)學(xué)生可能不是很理解,教師應(yīng)該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用,讓學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)感知、了解三角函數(shù)線的定義在學(xué)生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用三角函數(shù)線來(lái)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì),以便為了以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ)教師要讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線了解即可,要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線來(lái)感知對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),不要再向深處挖掘,因?yàn)槿呛瘮?shù)線能解決的問(wèn)題都可以用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決教師在教學(xué)中要搞好師生互動(dòng),讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手,多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和歸納總結(jié)知識(shí)的能力一、一個(gè)三角不等式的證明已知(0,),求證:sintan.證明:如圖11,設(shè)銳角的終邊交單位圓于點(diǎn)P,過(guò)單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線交OP于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M,則MPsin,ATtan,的長(zhǎng)為,連結(jié)PA.圖11SOPAS扇形OPASOAT,|OA|MP|OA|2|OA|AT|.|MP|AT|,則MPAT,即sintan.二、備用習(xí)題1若,則sin,cos,tan的大小關(guān)系是()Atancossin BsintancosCcostansin Dcossintan2若02,則使sin同時(shí)成立的的取值范圍是()A(,) B(0,)C(,2) D(0,)(,2)3在(0,2)內(nèi),使sinxcosx成立的x的取值范圍是_4設(shè)0sinsin.5當(dāng)0,2)時(shí),試比較sin與cos的大小參考答案:1.D2.D3.(,)4證明:如圖12,設(shè)單位圓與角、的終邊分別交于P1、P2,作P1M1x軸于M1,作P2M2x軸于M2,作P2CP1M于C,連結(jié)P1P2,圖12則sinM1P1,sinM2P2,P1P2CP1M1P1M1CM1P1M2P2sinsin,即sinsin.5解:如圖13.(1)當(dāng)0y1,而siny1,圖13cosx1,cossin.(2)當(dāng)時(shí),x1y1,此時(shí)sincos.(3)當(dāng)x2,而siny2,cosx2,sincos.(4)當(dāng)時(shí),sin0,coscos.(5)當(dāng)時(shí),設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P3(x3,y3),此時(shí)x3y3cos.(6)當(dāng)時(shí),有sincos.(7)當(dāng)時(shí),設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P4(x4,y4),此時(shí)y4x40,而siny4,cosx4,sincos.(8)當(dāng)2時(shí),cos0,sinsin.綜上所述,當(dāng)(,)時(shí),sincos;當(dāng)或時(shí),sincos;當(dāng)0,)(,2)時(shí),sincos.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 蘇教版必修4 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 任意 教案 蘇教版 必修
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