2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（2）教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（2）教案 新人教A版必修1教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)使學(xué)生理解函數(shù)的最值是在整個(gè)定義域上來研究的，它是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(2)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、認(rèn)識(shí)問題和創(chuàng)造性地解決問題2過程與方法(1)通過滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育(2)探究與活動(dòng)，明白考慮問題要細(xì)致，說理要明確3情感、態(tài)度與價(jià)值觀理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現(xiàn)象重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)最大(小)值的定義和求法教學(xué)難點(diǎn)：如何求一個(gè)具體函數(shù)的最值導(dǎo)入新課思路1.某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m2的矩形新廠址，新廠址的長為x m，則寬為 m，所建圍墻y m，假如你是這個(gè)工廠的廠長，你會(huì)選擇一個(gè)長和寬各為多少米的矩形土地，使得新廠址的圍墻y 最短？學(xué)生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y2(x)，x>0的最小值引出本節(jié)課題：在生產(chǎn)和生活中，我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問題，這些最值對我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的那么什么是函數(shù)的最值呢？這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)解決問題思路2.畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？f(x)x3；f(x)x3，x1,2；f(x)x22x1；f(x)x22x1，x2,2學(xué)生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值推進(jìn)新課(1)如圖4所示是函數(shù)yx22x、y2x1，x1，)、yf(x)的圖象觀察這三個(gè)圖象的共同特征圖4(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？(3)你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的？(4)問題(1)中，在函數(shù)yf(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x，y)，如圖5所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，誰能用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋：函數(shù)yf(x)的圖象有最高點(diǎn)C?圖5(5)在數(shù)學(xué)中，形如問題(1)中函數(shù)yf(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)yf(x)的最大值誰能給出函數(shù)最大值的定義？(6)函數(shù)最大值的定義中f(x)M即f(x)f(x0)，這個(gè)不等式反映了函數(shù)yf(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)？其圖象又具有什么特征？(7)函數(shù)最大值的幾何意義是什么？(8)函數(shù)y2x1，x(1，)有最大值嗎？為什么？(9)點(diǎn)(1,3)是不是函數(shù)y2x1，x(1，)的最高點(diǎn)？(10)由問題(9)你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？討論結(jié)果：(1)函數(shù)yx22x的圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y2x1，x1，)的圖象有最高點(diǎn)B，函數(shù)yf(x)的圖象有最高點(diǎn)C.也就是說，這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn)(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值，縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值的大小(3)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值(4)由于點(diǎn)C是函數(shù)yf(x)圖象上的最高點(diǎn)，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方，即對定義域內(nèi)任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是對函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)任意x，均有f(x)f(x0)成立(5)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(6)f(x)M反映了函數(shù)yf(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M；這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn)，并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M.(7)函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)(8)函數(shù)y2x1，x(1，)沒有最大值，因?yàn)楹瘮?shù)y2x1，x(1，)的圖象沒有最高點(diǎn)(9)不是，因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒有1.(10)討論函數(shù)的最大值，要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最高點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最大值，最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn)(1)類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.(2)類比上面問題(9)，你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么？活動(dòng)：讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來類比定義最高點(diǎn)類比最低點(diǎn)，不等號(hào)“”類比不等號(hào)“”函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值討論結(jié)果：(1)函數(shù)最小值的定義是：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)(2)討論函數(shù)的最小值，也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最低點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最小值，最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn)例1 求函數(shù)y在區(qū)間2,6上的最大值和最小值活動(dòng)：先思考或討論，再到黑板上書寫當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，才提示：圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值利用變換法畫出函數(shù)y的圖象，只取在區(qū)間2,6上的部分觀察可得函數(shù)的圖象是上升的解：設(shè)2x1<x26，則有f(x1)f(x2).2x1<x26，x2x1>0，(x11)(x21)>0.f(x1)>f(x2)，即函數(shù)y在區(qū)間2,6上是減函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)y在區(qū)間2,6上取得最大值f(2)2；當(dāng)x6時(shí)，函數(shù)y在區(qū)間2,6上取得最小值f(6).變式訓(xùn)練1求函數(shù)yx22x(x3,2)的最大值和最小值解：最大值是f(3)15，最小值是f(1)1.2函數(shù)f(x)x42x21的最小值是_解析：(換元法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值設(shè)x2t，yt22t1(t0)，又當(dāng)t0時(shí)，函數(shù)yt22t1是增函數(shù)，則當(dāng)t0時(shí)，函數(shù)yt22t1(t0)取最小值1.所以函數(shù)f(x)x42x21的最小值是1.答案：13畫出函數(shù)yx22|x|3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值 分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，先畫出y軸右側(cè)的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)圖象如圖6所示圖6由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間(，1)和0,1上是上升的，在1,0和(1，)上是下降的，最高點(diǎn)是(1,4)， 故函數(shù)在(，1)，0,1上是增函數(shù)；函數(shù)在1,0，(1，)上是減函數(shù)，最大值是4. 點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及最值的求法求函數(shù)的最值時(shí)，先畫函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調(diào)性寫出最值，這種方法適用于做解答題單調(diào)法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)yf(x)在xb處有最大值f(b)；如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)yf(x)在xb處有最小值f(b).例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)4.9t214.7t18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少？(精確到1 m)活動(dòng)：可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò)并對學(xué)生的板書及時(shí)評價(jià)將實(shí)際問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值“煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)4.9t214.7t18取得最大值；“這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1 m)”就是函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的最大值及此時(shí)自變量t的值解：作出函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的圖象，如圖7所示，圖7顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度由二次函數(shù)的知識(shí)，對于函數(shù)h(t)4.9t214.7t18，我們有：當(dāng)t1.5時(shí)，函數(shù)有最大值h29.即煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約是29 m.點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力解應(yīng)用題的步驟是：審清題意讀懂題；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；歸納結(jié)論注意：要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合變式訓(xùn)練1把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()A. cm2B4 cm2C3 cm2D2 cm2 解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4x) cm，兩個(gè)三角形的面積和為S，則Sx2(4x)2(x2)222.當(dāng)x2時(shí)，S取最小值2 cm2.故選D.答案：D2某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗(yàn)，若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí)，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高銷售價(jià)格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取最大利潤，并求出最大利潤分析：設(shè)未知數(shù)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答利潤(售價(jià)進(jìn)價(jià))銷售量解：設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí)，利潤為y元，則y(x8)60(x10)1010(x12)21610(x12)2160(10x16)，當(dāng)且僅當(dāng)x12時(shí)，y有最大值160元，即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤160元.課本本節(jié)練習(xí)5.補(bǔ)充練習(xí)某廠xx年擬舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與去年促銷費(fèi)m(萬元)(m0)滿足x3.已知xx年生產(chǎn)的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將xx年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)m(萬元)的函數(shù)；(2)求xx年該產(chǎn)品利潤的最大值，此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬元？分析：(1)年利潤銷售價(jià)格年銷售量固定投入促銷費(fèi)再投入，銷售價(jià)格1.5每件產(chǎn)品平均成本；(2)利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值解：(1)每件產(chǎn)品的成本為元，故xx年的利潤為y1.5x(816xm)48xm48(3)m28m(萬元)(m0)(2)可以證明當(dāng)0m3時(shí)，函數(shù)y28m是增函數(shù)，當(dāng)m>3時(shí)，函數(shù)y28m是減函數(shù)，所以當(dāng)m3時(shí)，函數(shù)y28m取最大值21萬元問題：求函數(shù)y的最大值解：(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象，如圖8所示，故圖象最高點(diǎn)是(，)圖8則函數(shù)y的最大值是.(方法二)函數(shù)的定義域是R，可以證明當(dāng)x<時(shí)，函數(shù)y是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y是減函數(shù)則當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y取最大值，即函數(shù)y的最大值是.(方法三)函數(shù)的定義域是R，由y，得yx2yxy10.xR，關(guān)于x的方程yx2yxy10必有實(shí)數(shù)根當(dāng)y0時(shí)，關(guān)于x的方程yx2yxy10無實(shí)數(shù)根，即y0不屬于函數(shù)的值域當(dāng)y0時(shí)，則關(guān)于x的方程yx2yxy10是一元二次方程，則有(y)24y(y1)0.0<y.函數(shù)y的最大值是.點(diǎn)評：方法三稱為判別式法，形如函數(shù)y(d0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R(此時(shí)e24df<0)時(shí)，常用判別式法求最值，其步驟是：把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關(guān)于x的方程的形式mx2nxk0；分類討論m0是否符合題意；當(dāng)m0時(shí)，關(guān)于x的方程mx2nxk0中有xR，則此一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，得n24mk0，得關(guān)于y的不等式，解不等式組此不等式組的解集與中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大值和最小值本節(jié)課學(xué)習(xí)了：(1)函數(shù)的最值；(2)求函數(shù)最值的方法：圖象法，單調(diào)法，判別式法；(3)求函數(shù)最值時(shí)，要注意函數(shù)的定義域課本習(xí)題1.3A組5、6.為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下措施：(1)在探索概念階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對函數(shù)最值定義的三次認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生對概念的認(rèn)識(shí)不斷深入(2)在應(yīng)用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用圖象和單調(diào)法求函數(shù)最值的方法和步驟基本初等函數(shù)的最值1正比例函數(shù)：ykx(k0)在定義域R上不存在最值在閉區(qū)間a，b上存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)ykx的最大值為f(b)kb，最小值為f(a)ka；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)ykx的最大值為f(a)ka，最小值為f(b)kb.2反比例函數(shù)：y(k0)在定義域(，0)(0，)上不存在最值在閉區(qū)間a，b(ab>0)上存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y的最大值為f(a)，最小值為f(b)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y的最大值為f(b)，最小值為f(a).3一次函數(shù)：ykxb(k0)在定義域R上不存在最值在閉區(qū)間m，n上存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)ykxb的最大值為f(n)knb，最小值為f(m)kmb；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)ykxb的最大值為f(m)kmb，最小值為f(n)knb.4二次函數(shù)：yax2bxc(a0)：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)yax2bxc在定義域R上有最小值f()，無最大值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)yax2bxc在定義域R上有最大值f()，無最小值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況：(1)若p，則f(x)在區(qū)間p，q上是增函數(shù)，則f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)若pq，則f(x)minf()，此時(shí)f(x)的最大值視對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近而定：當(dāng)p時(shí)，則f(x)maxf(q)；當(dāng)時(shí)，則f(x)maxf(p)f(q)；當(dāng)q時(shí)，則f(x)maxf(p)(3)若q，則f(x)在區(qū)間p，q上是減函數(shù)，則f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)由此可見，當(dāng)p，q時(shí)，二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f()；當(dāng)p，q時(shí)，二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f(p)和f(q)中的最小值