2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案8 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型及其應(yīng)用教案8 新人教A版必修11.幾類不同增長的函數(shù)模型：（1）一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b (k,b為常數(shù),k0)；（2）反比例函數(shù)模型：f(x)=(k ,b為常數(shù),k0);(3)二次函數(shù)模型：f(x)= ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0);(4)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)= abx+c(a,b,c為常數(shù),a0,b>0,b1);(5)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù)，a>0，a1),(6)冪函數(shù)模型：f(x)=axn+b(m,n,b為常數(shù)，a0，n1).注：學(xué)習(xí)時應(yīng)收集一些生活中普遍使用的函數(shù)模型（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.2.幾類函數(shù)模型增長差異：在區(qū)間（0，+）上，盡管函數(shù)y=ax (a>1), y =ax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)，但他們的增長速度不同，隨著x的增大，y=ax (a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度，而且y = ax(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0,當(dāng)x> x0時，就有ax< xn< ax.注：以上結(jié)論要結(jié)合幾個特殊函數(shù)(y=2x, y=2x和y=x2）的圖像進(jìn)行理解：如圖，剛開始函數(shù)y=2x增長的最快，隨后增長的速度越來越慢；而函數(shù)y=2x剛開始增長得較慢，隨后增長的速度越來越快；函數(shù)y=x2增長的速度也是越來越快，但越來越不如y=2x增長得快，函數(shù)y=2x 和y=x2的圖像有兩個交點（2，4）和（4，16）。在x（2，4）時，2x<2x< x2,在x（0，2）（2，4）時，2x< x2<2x ，所以，當(dāng)x>4時，總有2x< x2<2x.3.解函數(shù)應(yīng)用題的方法：一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題，另一方面是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象。這一方法即是數(shù)學(xué)建模，這也是本節(jié)內(nèi)容的一個難點. 數(shù)學(xué)建模的一般過程大致可以分為現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)化、模型求解、數(shù)學(xué)模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證四個階段。這四個階段實際上是完成從現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實問題的不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如圖所示：實際應(yīng)用（現(xiàn)實原型）數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型）實際解答（理論預(yù)期）數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)化驗證求解實際解釋數(shù)學(xué)化是指根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目的和所具備的數(shù)據(jù)、圖表、過程、現(xiàn)象等各種信息，將現(xiàn)實問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言將其準(zhǔn)確地表示出來.求解是指利用已有的數(shù)學(xué)知識，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題策略，求出數(shù)學(xué)模型的解答.解釋是指把數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實問題，給出實際問題的解答.驗證是指用現(xiàn)實問題的各種信息檢驗所得的實際問題的解答，以確認(rèn)解答的正確性和數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性.上圖直觀地顯示了現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實問題的信息加以數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，熟悉模型來源于現(xiàn)實、有超越于現(xiàn)實，它用精確的語言揭示了現(xiàn)實問題的內(nèi)在特性。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過求解，得到數(shù)學(xué)形式的解答，再經(jīng)過一次轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實問題，給出現(xiàn)實問題的決策、預(yù)報、分析等結(jié)果，最后這些結(jié)果還要經(jīng)受實踐的檢驗，完成由實踐到理論再到實踐這樣一個不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如果檢驗結(jié)果基本正確或者與實際情況的擬合度非常高，就可以用來指導(dǎo)實踐，反之則應(yīng)重復(fù)上述過程重新建立模型或者修正模型.4.根據(jù)收集的數(shù)據(jù)直接去解決問題的過程：通過收集數(shù)據(jù)直接去解決問題的一般過程如下：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點圖；第三步：根據(jù)點的分布特征，選擇一個能刻畫散點特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，則重復(fù)第三、四、五步；如符合實際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解決實際問題。舉例說明：根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國xx年的人口數(shù).時間（年份）人口數(shù)（百萬）18303.93018405.30918507.24118609.639187012.867188017.070189023.193190031.444時間(年份) 191019201930194019501960197019801990人口數(shù)(百萬）38.55950.15662.94975.99691.973105.712122.712131.670142.698分析：這是一個確定人口增長模型的問題。一個國家的人口數(shù)與眾多因素有關(guān)。為使問題簡化，我們作如下假設(shè)：（1）該國的政治、經(jīng)濟(jì)、社會環(huán)境穩(wěn)定；（2）該國的人口增長數(shù)由其人口的生育、死亡引起，與外界移民無關(guān)；（3）該國的人口數(shù)量變化是連續(xù)的；（4）該國的每一個人有相同的生育能力和死亡機(jī)率?；谏鲜黾僭O(shè)，我們認(rèn)為人口數(shù)量是時間的函數(shù).記時間為t,t時刻的人口數(shù)為P(t).建模思路是，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點圖，然后找出一條直線或曲線，使它們盡可能與這些點吻合，該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國人口增長規(guī)律，從而進(jìn)一步做出預(yù)測.觀察散點圖，從整體趨勢看，可以認(rèn)為散點近似分布在一條以直線t=1830為對稱軸的拋物線上，選兩點（1830，3.930）、（1930，62.949） 可定出該拋物線方程為P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2 此即欲建的人口增長拋物線模型.我們還可以認(rèn)為散點近似分布在一條指數(shù)曲線上，我們?nèi)?970，1980這兩年確定方程（而用1990年的數(shù)據(jù)作檢驗）。因此，過兩點（1970，122.776）,(1980,131.670)求得指數(shù)方程為P(t)=122.776，此即該國人口增長的指數(shù)模型.通過1990年的人口數(shù)據(jù)的檢驗，其誤差分別為8.59%和1.07% .所以，我們認(rèn)為第二個模型精確度更好。選取第二個模型預(yù)測該國到xx年的人口預(yù)測數(shù)為P（xx）=157.824.