2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 17.立體幾何教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 17.立體幾何教案 新人教A版1三個公理和三條推論：（1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。（2）公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。公理2和三個推論是確定平面的依據(jù)。（3）公理3、如果兩個平面有兩個公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。如（1）在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的_條件（答：充分非必要）；（2）給出命題：若Al，A，Bl ，B，則 l ；若A，A，B，B，則AB；若l，Al，則A若A、B、C，A、B、C，且A、B、C不共線，則與重合。上述命題中，真命題是_（答：）； （3）長方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P、Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM=MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_（答：24）2直觀圖與三視圖（1）直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時，要注意：使，所確定的平面表示水平平面。已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。如（1）用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（）（答：A）（2）已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_（答：）（2）三視圖畫法規(guī)則高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等3空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個公共點(diǎn)。（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。如（1）空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系_（答：相交）；（2）給出下列四個命題：異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是_（答：）4判定線線平行的方法：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（找一線和這兩線都平行）（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（5）利用中位線的性質(zhì)；5兩直線垂直的判定：轉(zhuǎn)化為證線面垂直；相交垂直可以考慮勾股定理. 6直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。如（1）下列命題中，正確的是、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b , 則 / 、若直線垂直于平面的斜線b在平面內(nèi)的射影，則b、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線、若一個棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：D）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，并且總保持APBD1，則動點(diǎn)P的軌跡是_（答：線段B1C）。7直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行；（在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行：找一平面過已知直線與已知平面相交，則交線就是）面面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。（找一平面過已知直線與已知平面平行）另外，如下方法有時也用：、表示平面，a、b表示直線 （定義法）：通常反證.（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。如（1）、表示平面，a、b表示直線，則a的一個充分不必要條件是A、，aB、b，且abC、ab且b D、且a（答：D）；（2）正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN面AA1B1B。8直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。如（1）如果命題“若z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a，b，c是直線，、是平面，下列條件中能得出直線a平面的是 A、ab，其中，B、ab ，C、， D、，（答：D）；（3）AB為O的直徑，C為O上的一點(diǎn)，AD面ABC，AEBD于E，AFCD于F，求證：BD平面AEF。9平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點(diǎn)；（2）相交有一條公共直線。10兩個平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定： 判定定理：一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。一面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行（線面面面）.依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定 .利用面面平行傳遞性依定義采用反證法證明兩平面沒有公共點(diǎn).（2）性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。如（1）是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是A、是內(nèi)一個三角形的兩條邊，且B、內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離都相等C、都垂直于同一條直線D、是兩條異面直線，且（答：B）；（2）給出以下六個命題：垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；與同一直線成等角的兩個平面平行；一個平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行。其中正確的序號是_（答：）；（3）正方體ABCD-ABCD中AB=。求證：平面AD1B1平面C1DB；求證：A1C平面AD1B1 ；求平面AD1B1與平面C1DB間的距離（答：）；11兩個平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（在一個面中找另一個面的一條垂線：在一面內(nèi)作兩面交線的垂線，即為所求）；定義法：找一個平面與這兩個平面都垂直相交，證明兩交線交角為直角；（2）性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。如（1）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，P到三個面的距離分別為3、4、5，則OP的長為_（答：5）；（2）在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時，平面MBD平面PCD（答：）；（3）過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC90，求證：平面ABC平面BSC。特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 如（1）已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：；。其中正確的命題是_（答：）；（2）設(shè)是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出下列四個命題：若則；若，則；若，則或；若則。其中正確的命題是_（答：）12棱柱：（1）棱柱的分類：按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形。與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。如（1）斜三棱柱A1B1C1ABC，各棱長為，A1B=A1C=，則側(cè)面BCC1B1是_形，棱柱的高為_（答：正方；）；（2）下列關(guān)于四棱柱的四個命題：若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱。其中真命題的為_（答：）。13平行六面體：（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體；（3）性質(zhì)：平行六面體的任何一個面都可以作為底面；平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和；長方體的一條對角線的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和。如長方體三度之和為a+b+c6，全面積為11，則其對角線為_（答：5）14棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比。如若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個小棱錐與原棱錐體積之比為_（答：18）15正棱錐：（1）定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體。如四面體中，有如下命題：若，則；若分別是的中點(diǎn)，則的大小等于異面直線與所成角的大小；若點(diǎn)是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；若四個面是全等的三角形，則為正四面體。其中正確的是_（答：）（2）性質(zhì)：正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形。如圖，正棱錐的計算集中在四個直角三角形（特征三角形）中：，其中分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。如（1）在三棱錐的四個面中，最多有_個面為直角三角形（答：4）；（2）把四個半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個，上層一個，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為_（答：）。特別提醒：熟練掌握正三棱錐、正四棱錐中的線面位置關(guān)系和數(shù)量位置關(guān)系。16棱臺：一個棱錐被平行于底面的平面截去小錐以后所剩留部分的幾何體，叫做棱臺正棱臺： 由正棱錐截得的棱臺叫正棱臺正棱臺的特性，尤其是正棱臺的上、下底面半徑、邊心距和側(cè)棱、斜高和臺高所形成的三個直角梯形和兩個直角三角形，在解決問題中往往起到關(guān)鍵的作用。直角梯形可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，這四個直角三角形包含了正棱臺的主要元素，底面邊長、邊心距、高、斜高、側(cè)棱以及側(cè)面與底面、側(cè)棱與底面所成的角。應(yīng)用它們之間的關(guān)系就可以解決正棱臺的有關(guān)計算問題。特別提醒：由于棱臺是以棱錐用平行于底面的平面截得，所以棱臺與棱錐有相當(dāng)密切的關(guān)系，學(xué)習(xí)中應(yīng)引起足夠的重視.如.正四棱臺的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和16cm。求這個棱臺的側(cè)棱的長和斜高（如圖）。解：設(shè)棱臺兩底面的中心分別是和，和BC的中點(diǎn)分別是和。連結(jié)、，則和都是直角梯形。=4， AB=16，=2， OE=8， =cm, OB=.因此=，=即 這個棱臺的側(cè)棱長是19cm，斜高是17、直棱柱、正棱錐與正棱臺的側(cè)面積（各個側(cè)面面積之和）：（1）直棱柱：直棱柱的側(cè)面積底面周長側(cè)棱長.（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積底面周長斜高。（3）正棱臺：正棱臺的側(cè)面積（上底面周長+下底面周長）斜高.提醒：（1）直棱柱、正棱錐與正棱臺的側(cè)面積公式是通過其側(cè)面展開圖獲得的.（2）全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積側(cè)面積2底面積；棱錐的全面積側(cè)面積底面積，棱臺的全面積側(cè)面積（上底面積+下底面積）.如（1）已知正四棱錐PABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60，則該正四棱錐的側(cè)面積是_（答：）；（2）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于_（答：）。18、柱、錐、臺、球的體積：（1）柱體：體積底面積高，特別地，直棱柱的體積底面積側(cè)棱長。如（1）設(shè)長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于_（答：）；（2）斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA1和AB、AC都成45的角，則棱柱的側(cè)面積為_，體積為_（答：；）。（2）錐體：體積底面積高。如（1）已知棱長為1的正方體容器ABCDA1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點(diǎn)E、F、G處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是_（答：）；（2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EFDE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為_（答：）；（3）已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為_（答：）；（4）在平面幾何中有：RtABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐PABC的高為h，則結(jié)論為_（答：）特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體）。補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點(diǎn)、換底)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.如（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，則多面體的體積為_（答：7）；（2）直三棱柱ABCA1B1C1的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積為 （答：）；（3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABCDEFG，平面BEFADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為_（答：4）。19球的截面的性質(zhì)：用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則，即球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關(guān)球的計算問題，常歸結(jié)為解這個直角三角形 提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。如（1）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為_（答：）；（2）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為_（答：12）20、球的體積和表面積公式：V。如（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為_（答：）；（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）；（3）已知直平行六面體的各條棱長均為3，長為2的線段的一個端點(diǎn)在上運(yùn)動，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個面所圍成的幾何體的體積為為_（答：）；21圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)(1)圓柱的性質(zhì)：是連心線垂直圓柱的底面；是三個截面的性質(zhì)平行于底面的截面是與底面全等的圓；軸截面是一個以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形；平行于軸線的截面是一個以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形(2)圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面圓的性質(zhì)：截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的平方比過圓錐的頂點(diǎn)，且與其底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角，事實(shí)上，由BCAB，VC=VB=VA可得AVBBVC由于截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角所以，當(dāng)軸截面的頂角90，有090，即有當(dāng)軸截面的頂角90時，軸截面的面積卻不是最大的，這是因?yàn)?，?0180時，1sinsin0截面的面積的最大值為.圓錐的母線l，高h(yuǎn)和底面圓R的半徑組成一個直徑三角形，圓錐的有關(guān)計算問題，一般都要?dú)w結(jié)為解這個直角三角形，特別是關(guān)系式.(3)圓臺的性質(zhì)，都是從“圓臺為截頭圓錐”這個事實(shí)推得的，但必須明確：是連心線垂直圓柱的底面圓臺的母線l，高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個直角梯形，且有圓臺的有關(guān)計算問題，常歸結(jié)為解這個直角梯形圓臺的母線共點(diǎn)，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形如圓臺上、下底面半徑分別為r，R，平行于底面的截面把圓臺分成側(cè)面積相等的兩個部分，則以此截面為底面，圓臺所在的圓錐的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐與該圓臺的體積比為_22折疊問題：要將折疊前后的兩個圖形對照考察，弄清所涉及的元素在折疊前后的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系23幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問題：（1）柱、錐、臺的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間最短距離，就是其平面內(nèi)展開圖內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長如已知正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_（答：）； 由于球面不能平面展開，所以求球面內(nèi)兩點(diǎn)間的球面距離是一個全新的方法，這個最短距離是過這兩點(diǎn)大圓的劣弧長（2）球面距離（球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟：計算線段AB的長；計算球心角AOB的弧度數(shù)；用弧長公式計算劣弧AB的長。如（1）設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求兩地間的球面距離（答：）；（2）球面上有3點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3點(diǎn)的小圓的周長為，那么這個球的半徑為_（答：）；（3）三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，若四個點(diǎn)都在同一球面上，則此球面上兩點(diǎn)A、B之間的球面距離是_（答：）。24“切”“接”問題：對簡單多面體、旋轉(zhuǎn)體的“切”“接”問題，一般是通過選擇能夠包含各元素間的關(guān)系的一個截面（多為軸截面），轉(zhuǎn)化為平面圖形或采用“等積法”來解決應(yīng)特別注意截面圖形與直觀圖的聯(lián)系，并注意兩者構(gòu)成元素的異同 對于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛婕纫芊从吵鑫恢藐P(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。如（1）甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_（答：123）；（2）若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_（答：）；（3）已知一個半徑為的球中有一個各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_（答：）；25（理科）空間向量之空間角：（1）異面直線所成的角：范圍：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方向向量的夾角，但必須注意角的范圍，必要時進(jìn)行處理設(shè)、分別為異面直線a、b的方向向量, 則兩異面直線所成的角，則,=（2）直線和平面所成的角：范圍：；設(shè)是斜線l的方向向量，是平面的法向量，則斜線l與平面所成的角,則，（平面的法向量與直線的方向向量的夾角，即為所求）（3）二面角：范圍：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面角，=法二、轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量所成的角，若二面角的兩個半平面的法向量都是指向二面角的內(nèi)部或外部，二面角的兩個半平面的法向量的夾角的補(bǔ)角即為所求；若二面角的兩個半平面的法向量一個指向二面角的內(nèi)部，一個指向外部，二面角的兩個半平面的法向量的夾角即為所求具體地：設(shè)是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角的平面角，=，若都是指向二面角的內(nèi)部或外部，則兩異面直線所成的角，則,=附：空間角的幾何求法（1）異面直線所成角的求法：計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。如（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于_（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為_（答：90）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50，P為空間一點(diǎn)，則過P且與a、b所成的角都是30的直線有且僅有_條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是_（答：）；（2）直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）求法：作出直線在平面上的射影；（3）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為_（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是_（答：）；（3）是從點(diǎn)引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為_（答：）；（4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角，則sin的值為_（答：）。（3）二面角：（1）平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的求法：轉(zhuǎn)化為求平面角；面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為_（答：）；（2）將A為60的棱形ABCD沿對角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角A-BD-C的余弦值是_（答：）；（3）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中對角線BD18，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30，則二面角C1BD1B1的大小為_（答：）；（4）從點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每兩條的夾角都是60，則二面角B-PA-C的余弦值是_（答：）；找垂面-找交線-作交線的垂線 過一點(diǎn)作平面垂線的一種方法（5）二面角-的平面角為120，A、B，AC，BD，AC，BD，若AB=AC=BD=1，則CD的長_（答：2）；（6）ABCD為菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為_（答：）。26（理科）空間向量之空間距：（1）點(diǎn)到平面的距離附：空間距離的幾何求法（1）異面直線的距離：直接找公垂線段而求之；轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個平面。如已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長為，則異面直線BD與B1C的距離為_（答：）。（2）點(diǎn)到直線的距離：一般作出垂線再求解。如（1）等邊三角形的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時點(diǎn)到的距離是_（答：）；（2）點(diǎn)P是120的二面角-內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到、的距離分別是3、4，則P到的距離為_（答：）；（3）在正方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動點(diǎn)P到棱A1B1與棱BC的距離相等，則動點(diǎn)P所在曲線的形狀為_（答：拋物線?。?。（3）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；（找一面過該點(diǎn)且與已知平面垂直，在所找到的面內(nèi)過該點(diǎn)作兩面交線的垂線，垂線段的長即為所求）；體積法：不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解（注意找三棱錐、換底）等價轉(zhuǎn)移法。必要時可通過平行線（面）轉(zhuǎn)化為另外一點(diǎn)與面的距離 如（1）長方體的棱，則點(diǎn)到平面的距離等于_（答：）；（2）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則A1到平面MBD的距離為_（答：a）。（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（特別強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和距離的計算，要遵循“一作，二證，三計算”的原則）27你熟悉下列結(jié)論嗎？三個平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過這一點(diǎn)；從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；如果兩個相交平面都與第三個平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個平面；在三棱錐中：側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；頂點(diǎn)到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.提醒：若頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形外，則頂點(diǎn)在底上射影為底面的旁心。正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r3：1。（理科）若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。如若正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于_（答：）（理科）AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)BAC=,則coscos=cos；（理科）若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1；若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2。如（1）長方體中若一條對角線與過同一頂點(diǎn)的三個面中的二個面所成的角為30、45，則與第三個面所成的角為_（答：30）；（2）若一條對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為_。（答：）