2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版自主梳理1. 正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為：(1)abc_ sin Asin Bsin C _；(2)a_)2Rsin A _，b_2Rsin B _，c_2Rsin C _；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式，以解決不同的三角形問題.2.余弦定理：a2_ b2c22bccos A _，b2_a2c22accos B_，c2_ a2b22abcos C_.余弦定理可以變形為：cos A_，cos B_，cos C_.3.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.4.在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)已知三邊問題.解三角形時，三角形解的個數(shù)的判斷在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin A<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解5判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊角關系入手，充分利用正、余弦定理進行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一等腰三角形：ab或AB.直角三角形： b2c2a2 或 A90 .鈍角三角形： a2b2c2 或 A90 .銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2b2c2 或A為最大角，且 A90 .6由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即ABabsinAsinB.基礎自測1.在ABC中，若A60，a，則_.2.(xx北京)在ABC中，若b1，c，C，則a_.3.在ABC中，a15，b10，A60，則cos B_.4.ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知c3，C，a2b，則b的值為_.5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為 ()A.2 B.8 C. D.1.22.13.4.5.C6在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a、b、c成等差數(shù)列，B30，ABC的面積為，則b .【解析】SABCacsinBacsin30，ac6.又a、b、c成等差數(shù)列，故2bac.由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accos30，b24b2126，得b242，b1.7在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2bcosC，則此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】由a2bcosC得sinA2sinBcosCABC sinAsin(BC)sin(BC)2sinBcosC 即sin(BC)00<B<，0<C< BC，選C.8在ABC中，設命題p：，命題q：ABC是等邊三角形，則命題p是命題q的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】，由正弦定理知：.sinBsinAsinC ABCabc，pq又若abc，則ABC60sinAsinBsinC.，qp.題型一利用正弦定理求解三角形及有關三角形中的三角函數(shù)的范圍(最值)例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和邊c.(2)在ABC中，a8，B60，C75，求邊b和c.解(1)由正弦定理得， ，sin A.a>b，A60或A120.當A60時，C180456075，c；當A120時，C1804512015，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.(2)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2bsinA.求角B的大小； 求cosAsinC的取值范圍解析 由a2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB，由ABC為銳角三角形得B.cosAsinCcosAsin(A)cosAsin(A)cosAcosAsinAsin(A)由ABC為銳角三角形知，AB，又B.A，sin(A).由此有sin(A)，所以cosAsinC的取值范圍為(，)點評 解決這類問題的關鍵是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成邊，要么把邊化成角，然后再進行三角恒等變換得到y(tǒng)Asin(x)B型函數(shù)，從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題，注意限制條件ABC，0A，B，C的應用，如本題中由ABC為銳角三角形得到AB，從而推到A.探究提高(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意. 變式訓練1 (1) 已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a1，b，AC2B，則角A的大小為_. (2)在ABC中，若tan A，C150，BC1，則AB_；（3）在ABC中，若a50，b25，A45，則B_解析(2)在ABC中，tan A，C150，A為銳角，sin A.又BC1.根據(jù)正弦定理得AB.(3)由b>a，得B>A，由，得sin B，0<B<180 B60或B120.（4）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足csinAacosC.求角C的大??；求sinAcos(B)的最大值，并求取得最大值時角A，B的大小解析 由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因為0A，所以sinA0，從而sinCcosC，又cosC0，所以tanC1，則C.由(1)知BA.于是sinAcos(B)sinAcos(A)sinAcosA2sin(A)0A，A，從而當A，即A時，2sin(A)取最大值2.綜上所述，sinAcos(B)的最大值為2，此時A，B.（5）如圖，已知ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過ABC的重心G.設MGA()試將AGM、AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為的函數(shù)；求y的最大值與最小值解析因為G是邊長為1的正三角形ABC的重心，所以AG，MAG，由正弦定理，得GM.則S1GMGAsin(或)又，得GN，則S2GNGAsin()(或)，ysin2()sin2()72(3cot2)因為，所以，當或時，y取得最大值ymax240；當時，y取得最小值ymin216.題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大?。?2)若b，ac4，求ABC的面積.解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得： ，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵.(2)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.變式訓練2 1已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對邊，且a2c2b2ac.(1)求角B的大??；(2)若c3a，求tan A的值解(1)a2c2b2ac，cos B.0<B<，B.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0<A<，sin A，tan A.方法二將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由正弦定理，得sin Bsin A.由(1)知，B，sin A.又ba>a，B>A，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ，3. (1)求ABC的面積； (2)若bc6，求a的值.解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52. (2)由(1)知，bc5，又bc6，根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范圍；(2)求函數(shù)f()2sin2()2cos2的值【解析】(1)8，BAC，bccos8.又a4，b2c22bccos42即b2c232. 又b2c22bcbc16，即bc的最大值為16.而bc，16，cos0<<，0<.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)10<， <2 sin(2)1.當2，即時，f()min212.當2，即時，f()max2113.點評 有關三角形中的三角函數(shù)求值問題，既要注意內(nèi)角的范圍，又要靈活利用基本不等式題型三正、余弦定理的綜合應用例3(xx浙江)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)當p，b1時，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍.解(1)由題設并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因為0<cos B<1，所以p2，由題設知p>0，所以<p<.探究提高在已知關系式中，若既含有邊又含有角.通常的思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角.變式訓練 1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c. (1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀.解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當cos A0時，0<A<，A，ABC為直角三角形；當sin Asin B0時，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形.ABC為等腰三角形或直角三角形.2. ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A= a 若c2=b2+ a2求B. 解:(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B>0，故cos B，所以B45.題型四判斷三角形的形狀一、判斷三角形的形狀例1在ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大??；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀解析 (1)由已知得：2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc由余弦定理得：a2b2c22bccosA cosAA(0，180)，A120.(2)由(1)得：sin2Asin2Bsin2CsinBsinC又sinBsinC1得sinBsinC0<B<60，0<C<60. BC.ABC是等腰的鈍角三角形點評有關三角形形狀的判定，途徑一：探究內(nèi)角的大小或取值范圍確定形式；途徑二：計算邊的大小或轉(zhuǎn)化為僅關于邊的關系式確定形式例4在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sinAsin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，0<2A<2，0<2B<2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰或直角三角形.變式訓練4 1.已知在ABC中，則ABC的形狀是 解析：cos2，.cos A. 又，即b2c2a22b2. a2b2c2.ABC為直角三角形探究提高利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時，對所給的邊角關系式一般都要先化為純粹的邊之間的關系或純粹的角之間的關系，再判斷.2. 設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值解(1)3b23c23a24bc，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A，又0<A<，故sin A(2)原式.所以方法與技巧1在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍2.應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：ABC，中互補和互余的情況，結(jié)合誘導公式可以減少角的種數(shù).3.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，練題一一、選擇題1在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.若acosAbsinB，則sinAcosAcos2B( )A B. C1 D1【解析】根據(jù)正弦定理，由acosAbsinB得sinAcosAsin2B.sinAcosAcos2Bsin2Bcos2B1，故選D.2.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2bcos C，則此三角形一定是 ()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC中，若A60，b1，SABC，則的值為()A. B. C. D.4.若ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA4sinB3sinC，則cosB( )A. B. C. D.【解析】結(jié)合正弦定理得：6a4b3c設3c12k(k>0) 則a2k，b3k，c4k.由余弦定理得cosB，選D.5.若ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a，b，c滿足(ab)2c24且C60，則ab的值為( )A. B84 C1 D.【解析】由已知得：兩式相減得：ab，選A.二、填空題6.在ABC中，若b5，B，sin A，則a_.7.若ABC的面積為，BC2，C60，則邊AB的長度等于_2_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC_.4或5.9已知ABC的一個內(nèi)角為120，且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為 .【解析】不妨設A120，c<b則ab4，cb4cos120解得：b10. SABCbcsin12015.三、解答題10已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A是銳角，且b2asin B.(1)求A； (2)若a7，ABC的面積為10，求b2c2的值.解(1)b2asin B，由正弦定理知 sin B2sin Asin B.B是三角形的內(nèi)角，sin B>0，從而有sin A，A60或120，A是銳角，A60.(2)10bcsin 60，bc40，又72b2c22bccos 60，b2c289.11在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c.已知a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.解方法一sin B4cos Asin C，由正弦定理，得4cos A，b4ccos A，由余弦定理得b4c，b22(b2c2a2)，b22(b22b)，b4.方法二由余弦定理，得a2c2b22bccos A，a2c22b，b0，b2ccos A2，由正弦定理，得，又由已知得，4cos A，b4ccos A. 解得b4. 12在ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且cos2A，sinB. (1)求AB的值；(2)若ab1，求a，b，c的值【解析】(1)A，B為銳角，且sinB cosB又cos2A12sin2AsinA，cosAcos(AB)cosAcosBsinAsinB又0<AB<，AB.(2)由(1)知C，sinC由正弦定理 得abc即ab，cb.ab1，即bb1，b1.a，c.13在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周長為5，求b的長【解析】(1)由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，所以，即sinBcosA2sinBcosC2sinCcosBsinAcosB，即有sin(AB)2sin(BC)，即sinC2sinA，所以2.(2)由(1)知2，所以有2，即c2a，又因為周長為5，所以b53a，由余弦定理得：b2c2a22accosB，即(53a)2(2a)2a24a2，解得a1，所以b2.練習2一、選擇題1在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，則A的取值范圍是( )A(0， B，) C(0， D，)【解析】由已知得：a2b2c2bc由余弦定理得：a2b2c22bccosA b2c22bccosAb2c2bccosA A(0，)，A(0，選C.2.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為()A. B. C. D.3.在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若C120，ca，則()A.a>bB.a<bC.abD.a與b的大小關系不能確定二、填空題4.在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則A_60_，ABC的形狀為_正三角形_.5.在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_4_.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若其面積S(b2c2a2)，則A_ _7.在銳角ABC中，BC1，B2A，則的值等于_，AC的取值范圍為 .【解析】由正弦定理得：，即，則2.又ABC為銳角三角形，AB3A>90，B2A<9030<A<45，<cosA<由AC2cosA得AC的取值范圍是(，)三、解答題8.在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀.解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0<A<180，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1， sin Bsin C.解聯(lián)立的方程組，得sin Bsin C.因為0<B<60，0<C<60，故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形.9.在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2cos 2A.(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b、c的值.解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0<A<180，A60.(2)由A60，根據(jù)余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3， b2c22bc9.0 整理得：bc2.解聯(lián)立方程組得或10在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中b，tanAtanCtantanAtanCtan.(1)求角B的大?。?2)求ac的取值范圍解析 (1)tan(AC)， AC，B.(2)由正弦定理有2R1，ac2R(sinAsinC)sinAsinCsinAsin(A)sinAcosAsin(A)又由0A，有A，ac，即ac的取值范圍是(，11在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，a2，tantan4，sinBsinCcos2，求A、B及b、c.【解析】由tantan4，得cottan4，即4，所以4，所以2，所以sinC，又C(0，)，所以C或，由sinBsinCcos2，得sinBsinC1cos(BC)，即2sinBsinC1cosBcosCsinBsinC，所以cosBcosCsinBsinC1，即cos(BC)1，所以BC， A(BC)，由正弦定理得， bca22.12若tanC，c，試求ab的最大值(2)tanCtan(AB)tan(AB)即sin(AB)cosAsin(AB)cosBcos(AB)sinAcos(AB)sinB0即sin(2AB)sin(A2B)0.2AB(A2B)2k(kZ)或(2AB)(A2B)2k(kZ)A，B為ABC的內(nèi)角，AB，即C.又c，由余弦定理c2a2b22abcosC得：3aba2b22abab3，當且僅當ab時“”成立故ab的最大值為3.13在ABC中，AC1，ABC，BACx，記f(x).(1)求函數(shù)f(x)的解析式及定義域；(2)設g(x)6mf(x)1，x(0，)，是否存在正實數(shù)m，使函數(shù)g(x)的值域為(1，？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由【解析】(1)由正弦定理，得BCsinx，ABsin(x)，f(x)ABBCcos(ABC)sinxsin(x)(cosxsinx)sinxsin(2x)，其定義域為(0，)(2)g(x)6mf(x)12msin(2x)m1(0x)，假設存在正實數(shù)m滿足題設0x，2x，則sin(2x)(，1又m0，則函數(shù)g(x)的值域為(1，m1，而g(x)的值域為(1，故m1，m.故存在正實數(shù)m使函數(shù)g(x)的值域為(1，14在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量p(c2a，b)，q(cosB，cosC)，pq.(1)求角B的大?。?2)若b2，求ABC面積的最大值解析 (1)由pq得：(c2a)cosBbcosC0由正弦定理得，sinCcosB2sinAcosBsinBcosC0sin(CB)2sinAcosBBCA sin(CB)sinA且sinA>0sinA2sinAcosB，cosB又B(0，)，B.(2)由余弦定理得，b2a2c22accosBa2c2acac當且僅當ac時“”成立又b2，ac12. SABCacsinB123，當且僅當ac2時，SABC的最大值為3.