2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版自主梳理1. 正弦定理:_2R,其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為:(1)abc_ sin Asin Bsin C _;(2)a_)2Rsin A _,b_2Rsin B _,c_2Rsin C _;(3)sin A_,sin B_,sin C_等形式,以解決不同的三角形問題.2.余弦定理:a2_ b2c22bccos A _,b2_a2c22accos B_,c2_ a2b22abcos C_.余弦定理可以變形為:cos A_,cos B_,cos C_.3.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑),并可由此計(jì)算R、r.4.在解三角形時(shí),正弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩角及任一邊,求其它邊或角;(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角,求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解,應(yīng)注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題: (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題;(2)已知三邊問題.解三角形時(shí),三角形解的個(gè)數(shù)的判斷在ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解5判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手,充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化邊為角或化角為邊,邊角統(tǒng)一等腰三角形:ab或AB.直角三角形: b2c2a2 或 A90 .鈍角三角形: a2b2c2 或 A90 .銳角三角形:若a為最大邊,且滿足 a2b2c2 或A為最大角,且 A90 .6由正弦定理容易得到:在三角形中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即ABabsinAsinB.基礎(chǔ)自測(cè)1.在ABC中,若A60,a,則_.2.(xx北京)在ABC中,若b1,c,C,則a_.3.在ABC中,a15,b10,A60,則cos B_.4.ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,已知c3,C,a2b,則b的值為_.5.已知圓的半徑為4,a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊,若abc16,則三角形的面積為 ()A.2 B.8 C. D.1.22.13.4.5.C6在ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若a、b、c成等差數(shù)列,B30,ABC的面積為,則b .【解析】SABCacsinBacsin30,ac6.又a、b、c成等差數(shù)列,故2bac.由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accos30,b24b2126,得b242,b1.7在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a2bcosC,則此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】由a2bcosC得sinA2sinBcosCABC sinAsin(BC)sin(BC)2sinBcosC 即sin(BC)00B,0Cb,A60或A120.當(dāng)A60時(shí),C180456075,c;當(dāng)A120時(shí),C1804512015,c.(2)B60,C75,A45.由正弦定理,得b4,c44.b4,c44.(2)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2bsinA.求角B的大小; 求cosAsinC的取值范圍解析 由a2bsinA,根據(jù)正弦定理得sinA2sinBsinA,所以sinB,由ABC為銳角三角形得B.cosAsinCcosAsin(A)cosAsin(A)cosAcosAsinAsin(A)由ABC為銳角三角形知,AB,又B.A,sin(A).由此有sin(A),所以cosAsinC的取值范圍為(,)點(diǎn)評(píng) 解決這類問題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理,要么把角化成邊,要么把邊化成角,然后再進(jìn)行三角恒等變換得到y(tǒng)Asin(x)B型函數(shù),從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題,注意限制條件ABC,0A,B,C的應(yīng)用,如本題中由ABC為銳角三角形得到AB,從而推到A.探究提高(1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對(duì)角,解三角形時(shí),利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角,這是解題的難點(diǎn),應(yīng)引起注意. 變式訓(xùn)練1 (1) 已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若a1,b,AC2B,則角A的大小為_. (2)在ABC中,若tan A,C150,BC1,則AB_;(3)在ABC中,若a50,b25,A45,則B_解析(2)在ABC中,tan A,C150,A為銳角,sin A.又BC1.根據(jù)正弦定理得AB.(3)由ba,得BA,由,得sin B,0B180 B60或B120.(4)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且滿足csinAacosC.求角C的大?。磺髎inAcos(B)的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,B的大小解析 由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因?yàn)?A,所以sinA0,從而sinCcosC,又cosC0,所以tanC1,則C.由(1)知BA.于是sinAcos(B)sinAcos(A)sinAcosA2sin(A)0A,A,從而當(dāng)A,即A時(shí),2sin(A)取最大值2.綜上所述,sinAcos(B)的最大值為2,此時(shí)A,B.(5)如圖,已知ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn),線段MN經(jīng)過ABC的重心G.設(shè)MGA()試將AGM、AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為的函數(shù);求y的最大值與最小值解析因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的重心,所以AG,MAG,由正弦定理,得GM.則S1GMGAsin(或)又,得GN,則S2GNGAsin()(或),ysin2()sin2()72(3cot2)因?yàn)?,所以,?dāng)或時(shí),y取得最大值ymax240;當(dāng)時(shí),y取得最小值ymin216.題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且.(1)求角B的大??;(2)若b,ac4,求ABC的面積.解(1)由余弦定理知:cos B,cos C.將上式代入得: ,整理得:a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角,B.(2)將b,ac4,B代入b2a2c22accos B,得b2(ac)22ac2accos B,13162ac,ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論,同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.變式訓(xùn)練2 1已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對(duì)邊,且a2c2b2ac.(1)求角B的大小;(2)若c3a,求tan A的值解(1)a2c2b2ac,cos B.0B,B.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac,得ba.由余弦定理,得cos A.0Aa,BA,cos A.tan A.方法三c3a,由正弦定理,得sin C3sin A.B,C(AB)A,sin(A)3sin A,sincos Acossin A3sin A,cos Asin A3sin A,5sin Acos A,tan A.2在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足cos ,3. (1)求ABC的面積; (2)若bc6,求a的值.解(1)cos ,cos A2cos21,sin A.又3,bccos A3,bc5.SABCbcsin A52. (2)由(1)知,bc5,又bc6,根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020,a2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,8,BAC,a4.(1)求bc的最大值及的取值范圍;(2)求函數(shù)f()2sin2()2cos2的值【解析】(1)8,BAC,bccos8.又a4,b2c22bccos42即b2c232. 又b2c22bcbc16,即bc的最大值為16.而bc,16,cos0,0.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)10, 2 sin(2)1.當(dāng)2,即時(shí),f()min212.當(dāng)2,即時(shí),f()max2113.點(diǎn)評(píng) 有關(guān)三角形中的三角函數(shù)求值問題,既要注意內(nèi)角的范圍,又要靈活利用基本不等式題型三正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(xx浙江)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知sin Asin Cpsin B (pR),且acb2.(1)當(dāng)p,b1時(shí),求a,c的值;(2)若角B為銳角,求p的取值范圍.解(1)由題設(shè)并由正弦定理,得解得或(2)由余弦定理,b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B,即p2cos B.因?yàn)?cos B0,所以p.探究提高在已知關(guān)系式中,若既含有邊又含有角.通常的思路是:將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?,再結(jié)合正、余弦定理即可求角.變式訓(xùn)練 1.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c. (1)若c2,C,且ABC的面積為,求a,b的值;(2)若sin Csin(BA)sin 2A,試判斷ABC的形狀.解(1)c2,C,由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為,absin C,ab4.聯(lián)立方程組解得a2,b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A,得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A,即2sin Bcos A2sin Acos A,cos A(sin Asin B)0,cos A0或sin Asin B0,當(dāng)cos A0時(shí),0A0,故cos B,所以B45.題型四判斷三角形的形狀一、判斷三角形的形狀例1在ABC中,a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC1,試判斷ABC的形狀解析 (1)由已知得:2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc由余弦定理得:a2b2c22bccosA cosAA(0,180),A120.(2)由(1)得:sin2Asin2Bsin2CsinBsinC又sinBsinC1得sinBsinC0B60,0C60. BC.ABC是等腰的鈍角三角形點(diǎn)評(píng)有關(guān)三角形形狀的判定,途徑一:探究?jī)?nèi)角的大小或取值范圍確定形式;途徑二:計(jì)算邊的大小或轉(zhuǎn)化為僅關(guān)于邊的關(guān)系式確定形式例4在ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),試判斷ABC的形狀.解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB),2sin Acos Bb22cos Asin Ba2,即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A,b2Rsin B,sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B,又sinAsin B0,sin Acos Asin Bcos B,sin 2Asin 2B.在ABC中,02A2,02B2,2A2B或2A2B,AB或AB.ABC為等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得:a2bb2a,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2),(a2b2)(a2b2c2)0,a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰或直角三角形.變式訓(xùn)練4 1.已知在ABC中,則ABC的形狀是 解析:cos2,.cos A. 又,即b2c2a22b2. a2b2c2.ABC為直角三角形探究提高利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí),對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系,再判斷.2. 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值;(2)求的值解(1)3b23c23a24bc,b2c2a2bc.由余弦定理得,cos A,又0A0) 則a2k,b3k,c4k.由余弦定理得cosB,選D.5.若ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a,b,c滿足(ab)2c24且C60,則ab的值為( )A. B84 C1 D.【解析】由已知得:兩式相減得:ab,選A.二、填空題6.在ABC中,若b5,B,sin A,則a_.7.若ABC的面積為,BC2,C60,則邊AB的長(zhǎng)度等于_2_.8.在ABC中,若AB,AC5,且cos C,則BC_.4或5.9已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為120,且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則ABC的面積為 .【解析】不妨設(shè)A120,c0,從而有sin A,A60或120,A是銳角,A60.(2)10bcsin 60,bc40,又72b2c22bccos 60,b2c289.11在ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c.已知a2c22b,且sin B4cos Asin C,求b.解方法一sin B4cos Asin C,由正弦定理,得4cos A,b4ccos A,由余弦定理得b4c,b22(b2c2a2),b22(b22b),b4.方法二由余弦定理,得a2c2b22bccos A,a2c22b,b0,b2ccos A2,由正弦定理,得,又由已知得,4cos A,b4ccos A. 解得b4. 12在ABC中,A,B為銳角,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且cos2A,sinB. (1)求AB的值;(2)若ab1,求a,b,c的值【解析】(1)A,B為銳角,且sinB cosB又cos2A12sin2AsinA,cosAcos(AB)cosAcosBsinAsinB又0ABbB.a90,B2A9030A45,cosA由AC2cosA得AC的取值范圍是(,)三、解答題8.在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大??;(2)若sin Bsin C1,試判斷ABC的形狀.解(1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A,故cos A,又0A180,A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C,又sin Bsin C1, sin Bsin C.解聯(lián)立的方程組,得sin Bsin C.因?yàn)?B60,0C60,故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形.9.在ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,4sin2cos 2A.(1)求A的度數(shù);(2)若a,bc3,求b、c的值.解(1)BCA,即,由4sin2cos 2A,得4cos2cos 2A,即2(1cos A)(2cos2A1),整理得4cos2A4cos A10,即(2cos A1)20.cos A,又0A0sinA2sinAcosB,cosB又B(0,),B.(2)由余弦定理得,b2a2c22accosBa2c2acac當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)“”成立又b2,ac12. SABCacsinB123,當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí),SABC的最大值為3.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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