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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-11橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線幾何條件與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0,b>0)y22px(p>0)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0,b)(a,0)(0,0)對稱軸x軸,長軸長2a;y軸,短軸長2bx軸,實(shí)軸長2a;y軸,虛軸長2bx軸焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)c(c,0)c(,0)離心率0<e<1,ee>1,ee1準(zhǔn)線xxx漸近線yx(1)曲線與方程:如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上,那么,這條曲線叫做方程的曲線,這個(gè)方程叫做曲線的方程(2)圓錐曲線的共同特征:圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是定值e;當(dāng)0<e<1時(shí),圓錐曲線是橢圓;當(dāng)e>1時(shí),圓錐曲線是雙曲線;當(dāng)e1時(shí),圓錐曲線是拋物線3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交設(shè)直線l的方程為AxByC0,與圓錐曲線D的方程聯(lián)立可得(消去y)ax2bxc0(*)(1)當(dāng)a0時(shí),若關(guān)于x的方程(*)的判別式>0,則直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn);若<0,則直線與圓錐曲線沒有交點(diǎn);若0,則直線與圓錐曲線相切(2)當(dāng)a0時(shí),若方程(*)有解,則直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)題型一圓錐曲線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)??疾榈膬?nèi)容,往往體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸思想圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓、雙曲線、拋物線的對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率,雙曲線的漸近線,拋物線的準(zhǔn)線等內(nèi)容,主要考查這些性質(zhì)的理解記憶例1如圖,已知橢圓1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(1);一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1k21.(1)解由題意知,橢圓離心率為,得ac,又由以橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(1),結(jié)合橢圓定義得2a2c4(1),所以可解得a2,c2,故b2a2c24,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.易得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線,且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則k1,k2,所以k1k2,又點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上,所以有1,即yx4,所以k1k21.跟蹤演練1已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B,O為原點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn)過F、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(m,n)(1)當(dāng)mn0時(shí),求橢圓的離心率的取值范圍;(2)當(dāng)(1)的條件下,橢圓的離心率最小時(shí),若點(diǎn)D(b1,0),()的最小值為,求橢圓的方程解(1)設(shè)半焦距為c.由題意得FC、BC的中垂線方程分別為x、y,于是圓心坐標(biāo)為.所以mn0,即abbcb2ac0,即(ab)(bc)0,所以bc,于是b2c2,即a2b2c22c2,所以e2,即e1.(2)由(1)知emin,abc,此時(shí)橢圓的方程為1,設(shè)P(x,y),則cxc,所以()x2xc2(x1)2c2.當(dāng)c時(shí),上式的最小值為c2,即c2,得c2;當(dāng)0c時(shí),上式的最小值為(c)2cc2,即(c)2cc2,解得c,與0c矛盾,舍去綜上所述,橢圓的方程為1.題型二與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題軌跡是動點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動而形成的,軌跡的條件可以用動點(diǎn)坐標(biāo)表示出來求軌跡方程的基本方法是(1)直接法求軌跡方程:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)條件列出方程;(2)待定系數(shù)法求軌跡方程:根據(jù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)定義法求軌跡方程:動點(diǎn)的軌跡滿足圓錐曲線的定義;(4)代入法求軌跡方程:動點(diǎn)M(x,y)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo)變化,根據(jù)兩者關(guān)系,得到x,y,x0,y0的關(guān)系式,用x,y表示x0,y0,代入曲線C的方程例2如圖,已知線段AB4,動圓O1與線段AB切于點(diǎn)C,且ACBC2,過點(diǎn)A、B分別作圓O1的切線,兩切線交于點(diǎn)P,且P、O1均在AB的同側(cè),求動點(diǎn)P的軌跡方程解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(2,0),B(2,0),由切線長定理得ACBCPAPB2<4,點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不包括頂點(diǎn))a,c2,b22.動點(diǎn)P的軌跡方程是x2y22 (x>)跟蹤演練2若動圓P過點(diǎn)N(2,0),且與另一圓M:(x2)2y28相外切,求動圓P的圓心的軌跡方程解設(shè)P(x,y),因?yàn)閯訄AP過點(diǎn)N,所以PN是該圓的半徑,又因?yàn)閯訄AP與圓M外切,所以有PMPN2,即PMPN2,故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2,焦距MN為4的雙曲線的左支,即a,c2,所以b,從而動圓P的圓心的軌跡方程為1 (x)題型三圓錐曲線的綜合問題圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題是圓錐曲線的綜合問題,它是解析法的應(yīng)用,它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系,圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系,圓錐曲線知識與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系解這類問題的分析思想與方法是可循的,重要的是要善于掌握圓錐曲線知識縱向、橫向的聯(lián)系,努力提高解題能力例3如圖,設(shè)A(a,0) (a>0),B、C分別為x軸、y軸上的點(diǎn),非零向量滿足:2,.(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動時(shí),求點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)設(shè)Q是曲線E上異于P的點(diǎn),且0,求證:直線PQ過定點(diǎn)(1)解設(shè)B(x0,0),C(0,y0),P(x,y)2,C是BP的中點(diǎn),易知(x0,y0),(a,y0),由,即,得ax0y0,axy20,即y24ax.又(2x,y)0,P點(diǎn)的軌跡方程是y24ax (a>0,x0)(2)證明0,OPOQ,顯然直線OP的斜率存在,且不為0,可設(shè)直線OP:ykx,則直線OQ:yx,由得P;由得Q(4ak2,4ak)當(dāng)k1時(shí),直線PQ的方程為x4a,過定點(diǎn)(4a,0);當(dāng)k1時(shí),直線PQ的方程為,整理得k(x4a)(k21)y0,k0,過定點(diǎn)(4a,0)綜上,直線PQ必過定點(diǎn)(4a,0)跟蹤演練3如圖,已知A(3p,0) (p>0),B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動,并且滿足0,.(1)求動點(diǎn)Q的軌跡方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn),A(3p,0),求直線AE,AF的斜率之和解(1)設(shè)Q(x,y),B(0,y0),C(x0,0),則(x0,y0),(xx0,y),(x0,y0)(xx0,y),即x0,y0.B,C.又A(3p,0),由0,得3pxy20,即y24px.Q點(diǎn)的軌跡方程為y24px (p>0)(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為yk(x3p) (k0),E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2)聯(lián)立方程組消去x,得y2y3kp0.y1y212p2,kAEkAF,又y4px1,y4px2,kAEkAF.由y1y212p2,得kAEkAF0.1圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本,利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn),在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ),高考對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種:一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查;二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查3圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容,高考對此進(jìn)行重點(diǎn)考查,主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解,試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題4雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識,但直線與圓錐曲線是密不可分的,如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線,圓錐曲線的對稱軸等都是直線高考不但不回避直線與圓錐曲線,而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查,考查方式既可以是填空題,也可以是解答題5考綱對曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系”,高考對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程,以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程6高考對圓錐曲線的考查是綜合性的,這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯,高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行,一般以橢圓或者拋物線為依托,全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用

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