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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十一篇 第8講 二項分布與正態(tài)分布限時訓(xùn)練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(xx湖北)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為( )．
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
解析 P＝0.9[1－(1－0.8)2]＝0.864.
答案 B
2．(xx廣東)甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為 ( )．
A. B. C. D.
解析 問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2＝＝.故甲隊獲得冠軍的概率為P1＋P2＝.
答案 A
3．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是 ( )．
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故選A.
答案 A
4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X
1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.
∵X～N(0,1)，∴μ＝0.
∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，
∴P(－11)＝0.682 6.
∴P(－1σ)
＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∴540.841 3≈45(人)，即及格人數(shù)約為45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴540.158 7≈9(人)，
即130分以上的人數(shù)約為9人．
8．(13分)(xx重慶)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
(1)求甲獲勝的概率；
(2)求投籃結(jié)束時甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望．
解 設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則
P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．
(1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算公式知
P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3)
＝＋＋22
＝＋＋＝.
(2)ξ的所有可能值為1,2,3由獨(dú)立性，知
P(ξ＝1)＝P(A1)＋P( B1)＝＋＝，
P(ξ＝2)＝P(A2)＋P(B2)
＝＋22＝，
P(ξ＝3)＝P＝22＝.
綜上知，ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(xx金華模擬)已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則 ( )．
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解析 正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2＜σ3.
答案 D
2．位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是 ( )．
A.5 B．C5
C．C3 D．CC5
解析 由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質(zhì)點P必須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為
C32＝C5＝C5，故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(xx湘潭二模)如果X～B(20，p)，當(dāng)p＝且P(X＝k)取得最大值時，k＝________.
解析 當(dāng)p＝時，P(X＝k)＝Ck20－k＝C20，顯然當(dāng)k＝10時，P(X＝k)取得最大值．
答案 10
4．(xx九江一模)將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小1球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為________．
解析 記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，若小球落入B袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，從而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案
三、解答題(共25分)
5．(12分)(xx湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.
一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55 %.
(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的分布列為
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)＝1＋1.5＋2＋2.5＋3＝1.9.
(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則
P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．
由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X1＝1)P(X2＝1)＋P(X1＝1)P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)P(X2＝1)
＝＋＋＝.
故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
6．(13分)(xx山東)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．
(1)求該射手恰好命中一次的概率；
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．
解 (1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.
由題意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，
由于A＝B ＋C＋ D，
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得
P(A)＝P(B ＋C＋ D)
＝P(B )＋P(C)＋P( D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝＋＋
＝.
(2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]
＝＝；
P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P()
＝＝；
P(X＝2)＝P( C＋ D)＝P( C)＋P( D)
＝＋＝；
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)
＝＋＝；
P(X＝4)＝P(CD)＝＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝＝.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝.
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