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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語章末復(fù)習提升 蘇教版選修2-1
1．要注意全稱命題、存在性命題的自然語言之間的轉(zhuǎn)換．
2．正確理解“或”的意義，日常用語中的“或”有兩類用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我們這里僅研究“可兼”的“或”．
3．有的命題中省略了“且”“或”，要正確區(qū)分．
4．常用“都是”表示全稱肯定，它的存在性否定為“不都是”，兩者互為否定；用“都不是”表示全稱否定，它的存在性肯定可用“至少有一個是”來表示．
5．在判定充分條件、必要條件時，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顧此失彼．證明題一般是要求就充要條件進行論證，證明時要分兩個方面，防止將充分條件和必要條件的證明弄混．
6．否命題與命題的否定的區(qū)別．對于命題“若p，則q”，其否命題形式為“若綈p，則綈q”，其否定為“若p，則綈q”，即否命題是將條件、結(jié)論同時否定，而命題的否定是只否定結(jié)論．有時一個命題的敘述方式是簡略式，此時應(yīng)先分清條件p，結(jié)論q，改寫成“若p，則q”的形式再判斷.
題型一 充分條件與必要條件的理解及判斷方法
例1 已知p：－2
0}．
(1)若m＝1，則p是q的什么條件？
(2)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)因為p：＝{x|－2≤x≤10}，
q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
顯然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分條件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因為p是q的充分不必要條件，
所以
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
題型二 命題的否定與否命題
例2 寫出下列命題的否定．
(1)所有人都晨練；
(2)?x∈Q，x2＋x＋1不是有理數(shù)．
解 (1)“所有人都晨練”的否定是“有的人不晨練”．
(2)“?x∈Q，x2＋x＋1不是有理數(shù)”的否定是“?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)”．
跟蹤演練2 寫出下列命題的否命題，并判斷其真假．
(1)若m>0，則關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0有實根；
(2)若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是奇數(shù)．
解 (1)若m≤0，則關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0無實根，假命題．
(2)若x，y不都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)，假命題．
題型三 等價轉(zhuǎn)化思想
對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分、必要條件的判斷，往往利用“原命題與逆否命題是等價命題”進行轉(zhuǎn)化．
例3 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
解 方法一 由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
由≤2，解得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．
∵綈p是綈q的必要而不充分條件．
∴AB，∴或
即m≥9或m>9.∴實數(shù)m的取值范圍是m≥9.
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分條件，
∴p是q的充分而不必要條件，
由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，
∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
由≤2，解得－2≤x≤10，
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
∵p是q的充分而不必要條件，
∴PQ，∴或
即m≥9或m>9.∴實數(shù)m的取值范圍是m≥9.
跟蹤演練3 已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集為R，若p和q有且只有一個正確，求a的取值范圍．
解 函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減知0＜a＜1，由p真知0＜a＜1，不等式：x＋|x－2a|＞1的解集為R，即y＝x＋|x－2a|在R上恒大于1，又∵x＋|x－2a|＝
∴函數(shù)y＝x＋|x－2a|在R上的最小值為2a，故要使解集為R，只需2a＞1，
∴a＞，∴q真時a＞；若p真且q假，則0＜a≤；若p假q真，則a≥1.故a的取值范圍為0＜a≤或a≥1.
題型四 分類討論思想
若命題“p∨q”“p∧q”中含有參數(shù)，在求解時，可以先等價轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個命題為真時參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p∨q”“p∧q”的真假情況分類討論參數(shù)的取值范圍．
例4 已知p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，若p、q一真一假，求m的取值范圍．
解 若p真，則Δ1＝m2－4＞0且m＞0，即m＞2；若q真，則Δ2＝16(m－2)2－16＜0，即1＜m＜3；若p真q假，則即m≥3；若p假q真，則即1＜m≤2.綜上，m的取值范圍是{m|1＜m≤2或m≥3}．
跟蹤演練4 已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．
解 p真：Δ＝(－a)2－44≥0，∴a≤－4或a≥4.
q真：－≤3，∴a≥－12.
由“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題得：p、q兩命題一真一假．
當p真q假時，a<－12；當p假q真時，－4
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