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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 章末總結(jié) 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 章末總結(jié) 蘇教版選修2-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 章末總結(jié) 蘇教版選修2-1知識點(diǎn)一空間向量的計(jì)算空間向量及其運(yùn)算的知識與方法與平面向量及其運(yùn)算類似,是平面向量的拓展,主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算,是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ)例1沿著正四面體O-ABC的三條棱、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1,f2,f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱夾角的余弦值知識點(diǎn)二證明平行、垂直關(guān)系空間圖形中的平行、垂直問題是立體幾何當(dāng)中最重要的問題之一,利用空間向量證明平行和垂直問題,主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量,借助空間中已有的一些關(guān)于平行和垂直的定理,再通過向量運(yùn)算來解決例2如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)(1)用向量法證明平面A1BD平面B1CD1;(2)用向量法證明MN面A1BD.例3如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn),CPm.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成的角為60.例4正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED平面A1FD1.知識點(diǎn)三空間向量與空間角求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角,一般有兩種方法:即幾何法和向量法,幾何法求角時(shí),需要先作出(或證出)所求空間角的平面角,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,難度很大而利用向量法,只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可求解,體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性例5如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB5,AD8,AA14,M為B1C1上一點(diǎn)且B1M2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1DAN.(1)求cos,;(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值知識點(diǎn)四空間向量與空間距離近年來,對距離的考查主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離,兩點(diǎn)間的距離可以直接代入向量模的公式求解,點(diǎn)面距可以借助直線的方向向量與平面的法向量求解,或者利用等積求高的方法求解例6如圖,PA平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PAAD2,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)(1)求二面角PCDB的大小;(2)求證:平面MND平面PCD;(3)求點(diǎn)P到平面MND的距離章末總結(jié)重點(diǎn)解讀例1解如圖所示,用a,b,c分別代表棱、上的三個(gè)單位向量,則f1a,f22b,f33c,則ff1f2f3a2b3c,|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012 cos 601423625,|f|5,即所求合力的大小為5.且cosf,a,同理可得:cosf,b,cosf,c.例2證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中,又,.BDB1D1.同理可證A1BD1C,又BDA1BB,B1D1D1CD1,所以平面A1BD平面B1CD1.(2)()().設(shè)a,b,c,則(abc)又ba,(abc)(ba)(b2a2cbca)又A1AAD,A1AAB,cb0,ca0.又|b|a|,b2a2,b2a20.0,MNBD.同理可證,MNA1B,又A1BBDB,MN平面A1BD.例3解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)則(1,1,0),(0,0,1),(1,1,m),(1,1,0)又由0,0知,為平面BB1D1D的一個(gè)法向量設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為,則sin|cos,|.依題意得sin60,解得m.故當(dāng)m時(shí),直線AP與平面BDD1B1所成角為60.例4證明如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1,則E、D1(0,0,1)、F、A(1,0,0)(1,0,0),.設(shè)m(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量由.令y11,得m(0,1,2)又由,令z21,得n(0,2,1)mn(0,1,2)(0,2,1)0,mn,故平面AED平面A1FD1.例5解(1)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)則A(0,0,0),A1(0,0,4),D(0,8,0),M(5,2,4)(5,2,4),(0,8,4)016160,.cos,0.(2)A1DAM,A1DAN,且AMANA,平面ANM,(0,8,4)是平面ANM的一個(gè)法向量又(0,8,0),|4,|8,64,cos,.AD與平面ANM所成角的余弦值為.(3)平面ANM的法向量是(0,8,4),平面ABCD的法向量是a(0,0,1),cos,a.平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值為.例6(1)解PA平面ABCD,由ABCD是正方形知ADCD.CD面PAD,PDCD.PDA是二面角PCDB的平面角PAAD,PDA45,即二面角PCDB的大小為45.(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),M(1,0,0),N是PC的中點(diǎn),N(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,2,2)設(shè)平面MND的一個(gè)法向量為m(x1,y1,z1),平面PCD的一個(gè)法向量為n(x2,y2,z2)m0,m0,即有令z11,得x12,y11.m(2,1,1)同理,由n0,n0,即有令z21,得x20,y21,n(0,1,1)mn20(1)1110,mn.平面MND平面PCD.(3)設(shè)P到平面MND的距離為d.由(2)知平面MND的法向量m(2,1,1),m(0,2,2)(2,1,1)4,|m|4,又|m|,d.即點(diǎn)P到平面MND的距離為.

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