2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復(fù)習 第八章 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復(fù)習 第八章 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案 新人教A版鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 解析幾何考查的重點是圓錐曲線，在歷年的高考中，占解析幾何總分值的四分之三以上.解析幾何的綜合問題也主要以圓錐曲線為載體，通常從以下幾個方面進行考查： 1.位置問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，是研究解析幾何的重點內(nèi)容，常涉及直線與曲線交點的判斷、弦長、面積、對稱、共線等問題.其解法是充分利用方程思想以及韋達定理. 2.最值問題，最值問題是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學問題的主要內(nèi)容.其解法是設(shè)變量、建立目標函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 3.范圍問題，范圍問題主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍，其解法主要有運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍，運用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識. 以上這些問題由于綜合性較強，所以備受的青睞.常用來綜合考查學生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類轉(zhuǎn)化、邏輯推理等多方面的能力. 二、點擊雙基1.方程=|x-y+3|表示的曲線是( )A.直線 B.雙曲線 C.橢圓 D.拋物線解析：原方程變形為=.它表示點(x,y)到點(-2,2)與定直線x-y+3=0的距離比是.故選B.答案：B2.若點（x,y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為（ ）A.1 B.-1 C.- D.以上都不對解析：的幾何意義是橢圓上的點與定點（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k(x-2),代入橢圓方程消去y得(4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0. 令=0，k=. kmin=-.答案：C3.雙曲線-=1的離心率為e1，雙曲線-=1的離心率為e2，則e1+e2的最小值為( )A.4 B.2 C.2 D.4解析：(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2 =+2 =2+2(+) 2+2+22=8. 當且僅當a=b時取等號.故選C.答案：C4.若橢圓x2+a2y2=a2的長軸長是短軸長的2倍，則a=_.解析：方程化為+y2=1, 若a2>1,2|a|=22,a=2. 當0<a2<1，2=4|a|.a=.答案：2,5.P是雙曲線-y2=1的右支上一動點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，已知A(3,1)，則|PA|+|PF|的最小值為_.解析：設(shè)F為雙曲線的左焦點， |PF|-|PF|=2. |PA|+|PF|=|PA|+|PF|-2|AF|-2=-2.答案：-2誘思實例點撥【例1】如圖,O為坐標原點,直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>0,b0),且交拋物線y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點.(1)寫出直線l的截距式方程;(2)證明+=;(3)當a=2p時,求MON的大小.剖析：易知直線l的方程為+=1,欲證+=,即求的值,為此只需求直線l與拋物線y2=2px交點的縱坐標.由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值,進而證得+=.由=0易得MON=90.亦可由kOMkON=-1求得MON=90.(1)解：直線l的截距式方程為+=1. (2)證明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0. 點M、N的縱坐標y1、y2為的兩個根,故y1+y2=,y1y2=-2pa. 所以+=.(3)解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2, 則k1=,k2=. 當a=2p時,由(2)知,y1y2=-2pa=-4p2, 由y12=2px1,y22=2px2,相乘得 (y1y2)2=4p2x1x2, x1x2=4p2,因此k1k2=-1. 所以O(shè)MON,即MON=90.講評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.【例2】已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0),雙曲線-=1的兩條漸近線為l1、l2,過橢圓C的右焦點F作直線l,使ll1,又l與l2交于P點,設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B.(如圖)(1)當l1與l2夾角為60,雙曲線的焦距為4時,求橢圓C的方程;(2)當=時,求的最大值.剖析：(1)求橢圓方程即求a、b的值,由l1與l2的夾角為60易得=,由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4,進而可求得a、b. (2)由=,欲求的最大值,需求A、P的坐標,而P是l與l1的交點,故需求l的方程.將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標,進而可求得點A的坐標.將A的坐標代入橢圓方程可求得的最大值.解：(1)雙曲線的漸近線為y=x,兩漸近線夾角為60, 又<1, POx=30,即=tan30=. a=b. 又a2+b2=4, a2=3,b2=1. 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)由已知l:y=(x-c),與y=x解得P(,), 由=得A(,). 將A點坐標代入橢圓方程得 (c2+a2)2+2a4=(1+)2a2c2. (e2+)2+2=e2(1+)2. 2=-(2-e2)+33-2. 的最大值為-1.講評：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識,及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用.解決本題的難點是通過恒等變形,利用重要不等式解決問題的思想.本題是培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的一道好題.【例3】 已知直線y=-2上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且，記點P的軌跡為C1.(1)求曲線C1的方程.(2)設(shè)直線l與x軸交于點A，且=(0).試判斷直線PB與曲線C1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)已知圓C2：x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交點處的切線互相垂直，求a的值.解：(1)設(shè)P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,-2). ,=0. x2-2y=0. 點P的軌跡方程為x2=2y(x0). (2)直線PB與曲線C1相切，設(shè)點P的坐標為(x0,y0)，點A的坐標為(x0,0). =,=(0,-y0). 點B的坐標為(0,-y0). 0,直線PB的斜率為k=. x02=2y0,k=x0. 直線PB的方程為y=x0x-y0. 代入x2=2y,得x2-2x0x+2y0=0. =4x02-8y0=0, 直線PB與曲線C1相切. (3)不妨設(shè)C1、C2的一個交點為N(x1,y1),C1的解析式即為y=x2，則在C1上N處切線的斜率為k=x1，圓C2過N點的半徑的斜率為k=. 又點N(x1,y1)在C1上，所以y1=x12. 由得y1=-a,x12=-2a, N(x1,y1)在圓C2上， -2a+4a2=2. a=-或a=1. y1>0,a<0. a=-.