2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2探究一 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的面積問題對(duì)于多面體,只有直棱柱,正棱錐和正棱臺(tái)可直接用公式求側(cè)面積,其余多面體的側(cè)面積要把每個(gè)側(cè)面積求出來(lái)再相加,求解時(shí)還要注意區(qū)分是求側(cè)面積還是表面積【典型例題1】 如圖所示,正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4 cm,高與斜高的夾角為30,求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積思路分析:根據(jù)多面體的側(cè)面積公式,必須求出相應(yīng)多面體的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)面的斜高,我們可以把問題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析求解解:正四棱錐的高PO,斜高PE,底面邊心距OE組成一個(gè)RtPOE因?yàn)镺E2 cm,OPE30,所以PE4(cm)因此S正四棱錐側(cè)ch44432(cm2),S正四棱錐表S正四棱錐側(cè)S正四棱錐底324448(cm2)點(diǎn)評(píng)解決此類題目先利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解相應(yīng)的元素,再代入面積公式求解空間幾何體的表面積運(yùn)算,一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算,再充分利用平面幾何圖形的特性通過(guò)解三角形完成基本量的運(yùn)算【典型例題2】 已知正六棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為1 cm和2 cm,高是1 cm,求它的側(cè)面積解:如圖所示是正六棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面及其高組成的一部分(其余部分省略),則側(cè)面ABB1A1為等腰梯形,OO1為高,且OO11 cm,AB1 cm,A1B12 cm,取AB和A1B1的中點(diǎn)C,C1,連接OC,CC1,O1C1,則CC1為正六棱臺(tái)的斜高,且四邊形OO1C1C為直角梯形根據(jù)正六棱臺(tái)的性質(zhì)可得,OCAB (cm),O1C1A1B1(cm),所以CC1 (cm)又知上、下底面周長(zhǎng)分別為c6AB6(cm),c6A1B112(cm),斜高h(yuǎn)CC1cm所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為S正六棱臺(tái)側(cè)(cc)h(612)(cm2)點(diǎn)評(píng)求正棱臺(tái)的側(cè)面積同正棱錐類似,除了利用相對(duì)應(yīng)的側(cè)面積公式,也要利用正棱臺(tái)中的核心直角梯形探究二 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的面積問題1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式:S圓柱側(cè)2rl,S圓錐側(cè)rl,S圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l,如上圖,當(dāng)r1變化時(shí),相應(yīng)的圖形也隨之變化,當(dāng)r10,r2r時(shí),相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓錐,而當(dāng)r1r2r時(shí),相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓柱,相應(yīng)的側(cè)面積公式也隨之變化圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的變化關(guān)系為S圓柱側(cè)2rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)lS圓錐側(cè)rl2對(duì)于圓錐還要明確如下結(jié)論:(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形(2)圓錐的底面周長(zhǎng)扇形的弧長(zhǎng)(3)圓錐的母線長(zhǎng)扇形的半徑(4)S扇形(其中n為扇形圓心角的度數(shù),r為扇形的半徑)【典型例題3】 (1)圓錐的底面直徑為6,高是4,則它的側(cè)面積為()A12 B24 C15 D30解析:作圓錐軸截面如圖,高AD4,底面半徑CD3,則母線AC5,得S側(cè)3515答案:C(2)矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2,分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn),所形成幾何體的側(cè)面積之比為()A12 B11 C14 D13解析:以邊長(zhǎng)1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S12214,以2所在邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S22124,故S1S211,選B答案:B探究三 球的切接問題對(duì)球的表面積公式的考查,通常與球的性質(zhì)結(jié)合在一起與其他多面體和旋轉(zhuǎn)體組合也是考查球的表面積的一種常見方式常見的有關(guān)球的一些性質(zhì):(1)長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑;球與正方體的六個(gè)面均相切,則球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng);球與正方體的12條棱均相切,則球的直徑是正方體的面對(duì)角線(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑【典型例題4】 (1)已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,3,6,則其外接球的表面積為()A196 B49 C44 D36解析:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為7,所以其外接球的直徑為2R7,即R,所以它的表面積為4R249故選B答案:B(2)已知圓臺(tái)內(nèi)有一表面積為144 cm2的內(nèi)切球,如果圓臺(tái)的下底面與上底面半徑之差為5 cm,求圓臺(tái)的表面積解:其軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1,r2,母線長(zhǎng)為l,球半徑為R,則r2r15,母線lr1r2因?yàn)?R2144,所以R6又l2(2R)2(r2r1)2,所以(r1r2)2(2R)2(r2r1)2(26)252132所以r1r213結(jié)合r2r15得r14,r29,所以l13所以S圓臺(tái)表(r1r2)l4292(49)13266(cm2)探究四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):因考慮不全面而致誤【典型例題5】 用互相平行且距離為27的兩個(gè)平面截球面,兩個(gè)截面圓的半徑分別為r115,r224,試求球的表面積錯(cuò)解:設(shè)球的半徑為R,由題意可設(shè)球心到兩平行平面的距離為OO1d1,OO2d2,如圖所示,可得d1,d2,R之間的關(guān)系:所以225576(27d1)2,解得d120,d27,R25所以S球4R22 500錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中只分析了兩平行平面位于球心異側(cè)的情況,還應(yīng)該討論兩平行平面位于球心同側(cè)的情況正解:設(shè)球的半徑為R,球心O到兩平行截面的距離分別為OO1d1,OO2d2(1)當(dāng)兩平行截面位于球心O異側(cè)時(shí),如圖,則所以225576(27d1)2解得d120,d27,R25所以S球4R22 500(2)當(dāng)兩平行截面位于球心O同側(cè)時(shí),如圖,則所以225576(d127)2解得d120,d27,不符合題意,即這種情況不存在綜上可知,球的表面積為2 500