2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版典例精析題型一求常見函數(shù)的定積分【例1】 計算下列定積分的值.(1)(x1)5dx;(2) (xsin x)dx.【解析】(1)因為(x1)6(x1)5,所以 (x1)5dx.(2)因為(cos x)xsin x,所以(xsin x)dx1.【點撥】(1)一般情況下,只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù),就能求出定積分的值;(2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時,應(yīng)對每個區(qū)間分段積分,再求和;(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),應(yīng)先去掉絕對值符號后積分;(4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時,可用以下結(jié)論:若f(x)是偶函數(shù)時,則f(x)dx2f(x)dx;若f(x)是奇函數(shù)時,則f(x)dx0.【變式訓(xùn)練1】求(3x34sin x)dx.【解析】(3x34sin x)dx表示直線x5,x5,y0和曲線y3x34sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,且在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負(fù)號.又f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x).所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇函數(shù),所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx,所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0.題型二利用定積分計算曲邊梯形的面積【例2】求拋物線y22x與直線y4x所圍成的平面圖形的面積.【解析】方法一:如圖,由得交點A(2,2),B(8,4),則S()dx4x()dx18.方法二:S(4y)dy18.【點撥】根據(jù)圖形的特征,選擇不同的積分變量,可使計算簡捷,在以y為積分變量時,應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤(y)的形式,同時,積分上、下限必須對應(yīng)y的取值.【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個正整數(shù),(1)k的展開式中x3的系數(shù)為,則函數(shù)yx2與ykx3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為.【解析】Tr1C()r,令r3,得x3的系數(shù)為C,解得k4.由得函數(shù)yx2與y4x3的圖象的交點的橫坐標(biāo)分別為1,3.所以陰影部分的面積為S(4x3x2)dx(2x23x.題型三定積分在物理中的應(yīng)用【例3】 (1) 變速直線運動的物體的速度為v (t)1t2,初始位置為x01,求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置;(2)一物體按規(guī)律xbt3作直線運動,式中x為時間t內(nèi)通過的距離,媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方,試求物體由x0運動到xa時阻力所做的功.【解析】(1)當(dāng)0t1時,v(t)0,當(dāng)1t2時,v(t)0,所以前2秒內(nèi)所走過的路程為sv(t)dt(v(t)dt(1t2)dt(t21)dt=2.2秒末所在的位置為x1x0v(t)dt1(1t2)dt.所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1.(2) 物體的速度為v(bt3)3bt2.媒質(zhì)阻力F阻kv2k(3bt2)29kb2t4,其中k為比例常數(shù),且k0.當(dāng)x0時,t0;當(dāng)xa時,tt1(),又dsvdt,故阻力所做的功為W阻ds kv2vdtkv3dt k(3bt2)3dtkb3t k.【點撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意:v(t)a(t)dt,s(t)v(t)dt和WF(x)dx這三個公式.【變式訓(xùn)練3】定義F(x,y)(1x)y,x,y(0,).令函數(shù)f(x)F1,log2(x24x9)的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標(biāo)原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n0),設(shè)曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.【解析】因為F(x,y)(1x)y,所以f(x)F(1,log2(x24x9)x24x9,故A(0,9),又過坐標(biāo)原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n0),f(x)2x4.所以解得B(3,6),所以S(x24x92x)dx(3x29x)=9.總結(jié)提高1.定積分的計算關(guān)鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過程和物理原理.3.利用定積分求平面圖形面積的步驟:(1)畫出草圖,在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點坐標(biāo),確定積分的上、下限;(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和;(4)計算定積分,寫出答案.